- •Дифференциальное исчисление функции двух и более переменных Частные производные , их геометрический и физический смыслы
- •Понятие дифференцируемости функции . Полный дифференциал .
- •Сложная функция двух переменных и ее дифференцирование
- •Инвариантность формы полного дифференциала сложной функции двух переменных
- •О частных производных и дифференциалах высших порядков.
- •О неявном способе задания функции двух переменных и ее дифференцировании в этом случае
- •Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (в )
- •О геометрической интерпретации
- •О формуле Тейлора для функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия существования экстремума
- •Достаточные условия существования экстремума в точке функции
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области
- •Об условном экстремуме. Функция и множитель Лагранжа (для )
Дифференциальное исчисление функции двух и более переменных Частные производные , их геометрический и физический смыслы
def 1.
называется производной от по при фиксированном или частной производной от по.
def 2.
называется производной от по при фиксированном или частной производной от по.
Из введенных определений следует, что нахождение и сводится к обычному дифференцированию соответственно по (при ) и по (при ) и использованию таблицы производных функции одной переменной.
Пример.
. .
а) геометрический смысл и .
Из рисунка 1 →
г
Рис.
1
где - угол наклона касательной к линии в точке .
б) ] - температура стержня, как функция данной точки стержня и от времени .
Ay
xy xy
0y
- скорость изменения температуры стержня в каждой точке стержня при фиксированном моменте времени
- скорость изменения температуры стержня в фиксированной точке стержня в каждый момент времени .
Понятие дифференцируемости функции . Полный дифференциал .
def. Функция называется дифференцируемой в точке, если
где и числа, не зависящие от и , а и →0 при и →0 (.
В этом случае будем писать
Итак, (1) ~ (2).
Теорема 1 .
Если , то . Доказательство следует из (1):
Теорема 2.
Если , то в точке и , причем и , .
Доказательство.
Пусть и при и (то есть ).
Положим в (1) :
Аналогично, при из (1):
Из теоремы 2 следует, что если , [
def.
Выражение вида
называют полным дифференциалом в точке и пишут
Замечание.
Утверждения, обратные теоремам 1 и 2, не имеют место в общем случае.
Пример.
] (часть конической поверхности ).
Так как при и →0, то
Однако и и предела не . Что и означает , ибо не имеет место равенство (1); то есть из
Пример.
] .
Имеем: и .
далее:
то есть и функции в точке и равны 0.
В силу (1)
Но .
С другой стороны:
(
Полученное противоречие показывает, что , хотя и . Вместе с тем имеет место
Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости или ).
] 1) и для всех точек .
2) и .
[ .
Краткое обоснование. ]
,
где .
В силу непрерывности и :
[
где , а
и →0 при .
Из (5) и следует, что (определение 1) теорема 3 доказана.
Важное замечание.
В отличие от функции одной переменной, (где ) для мы имеем лишь достаточное условие дифференцируемости .
С учетом (4), (5) перепишем:
В равенстве (6)
В силу (7) :
Из (8)
(ибо и
Соотношение (9) удобно использовать в приближенных вычислениях.
Пример.
Вычислить при
Решение:
]
[ в силу (9)
Итак, .
Напишем (9) в «развернутом» виде
Именно в этом виде мы и использовали формулу (9).
Сложная функция двух переменных и ее дифференцирование
а) def
]
а
Функцию (1), (2) называют сложной функцией (независимой переменной t); x и y – промежуточнаые переменные, зависящие от одной и той же переменной t.
Подставим (2) в (1):
получили функцию одной переменной z= z(t).
Теорема.
] 1)
2)
и
def: (4) – «полная» производная функция (1),(2).
Доказательство. Дадим приращение . [ и .
По условию 2) . Это означает, что
Разделим (5) на и перейдем к пределу при (при этом и )
- теорема доказана.
Замечание.
] и . [ и
, причем .
Пусть в (1)
Причем , где
б) def
Функция
называется сложной функцией двух переменных: и - промежуточные переменные, а и – независимые переменные.
Теорема.
] 1) и
2)
[
Для доказательства (6) фиксируемв (1), (5). Повторяя рассуждения при доказательстве формулы (4), приходим к формуле (6). Формула (7) получится, если фиксировать в (1) и (5).
в) Пусть
и
г) Если
то
Формула (10) – «полная» производная для (9), (8).
Формула (8а) – «полная» производная для (7а), (8).
Замечание:
Выражение производная синоним обычной производной (производной функции одной переменой), причем для (10)
(по смыслу).