5. Однобічні границі монотонної функції

Нехай функція _{визначена на .}

_{Визначення 8.} Функція _{називається обмеженою зверху на , якщо , що для виконується нерівність: . Стала називається верхньою межею функції на .}

_{Верхніх меж у обмеженої зверху функції існує безліч. Найменьша з усіх верхніх меж називається точною верхньою межею і позначається: .}

_{Визначення 9.} Функція _{називається обмеженою знизу на , якщо , що для виконується нерівність: . Стала називається нижньою межею функції на .}

_{Нижніх меж у обмеженої знизу функції існує безліч. Найбільша з усіх нижніх меж називається точною нижньою межею і позначається: .}

_{Визначення 10.} Функція _{називається обмеженою на , якщо вона обмежена і знизу, і зверху. Інакше:} функція _{є обмеженою на , якщо , що для виконується нерівність: .}

_{Приклад. Функція є обмеженою, коли , оскільки для : .}

_{Приклад. Функція є обмеженою, коли , але не буде обмеженою для .}

_{Визначення 11.} Функція _{називається монотонно зростаючою на множині , якщо для з того, що витікає, що .} Функція _{називається строго монотонно зростаючою на множині , якщо для з того, що витікає, що .}

_{Визначення 12.} Функція _{називається монотонно спадаючою на множині , якщо для з того, що витікає, що .} Функція _{називається строго монотонно спадаючою на множині , якщо для з того, що витікає, що .}

_{Визначення 13. Монотонно зростаючі, строго монотонно зростаючі, монотонно спадаючі, строго монотонно спадаючі функції називаються монотонними функціями.}

_{Приклад. Функція є строго монотонно зростаючою, коли , строго монотонно спадаючою, коли , не є монотонною, коли .}

_{Теорема 6. Нехай функція визначена і монотонна на , тоді для в кожній точці існують обидві однобічні границі.}

Питання

1. Визначення границі функції за Коші, за Гєйне.

2. Геометричний зміст границі функції у точці.

3. Як може взагалі поводити себе функція _{в точці ?}

4. _{Чи може} функція _{в точці мати границю, якщо вона не визначена в цій точці?}

5. _{Як впливає на існування границі функції і значення цієї границі в точці поведінка функції в самій точці ? Відповідь пояснити.}

6. Скільки границь може мати функція в точці?

7. Нехай для функцій _{і : , . Довести, що .}

8. Умова Коші для функції _{в точці . Критерій Коші існування границі функції в точці .}

9. Визначення однобічних границь функції в _{точці . Чи може функція не мати} однобічних границь в _{точці ? Навести приклади.}

10. Обмеженість функції. Навести приклади обмежених і необмежених функцій.

11. Монотонність функції. Теорема про однобічні границі монотонної функції.