Уравнения Колмогорова

Вероятности нахождения системы в различных состояниях являются исходной информацией для определения показателей эффективности системы массового обслуживания. Эти вероятности можно найти из так называемых уравнений Колмогорова. Их легко составить по известному размеченному графу состояний. Покажем это на примере графа (рис. 3.2).

Как было показано, для малых интервалов времени (t<<max [1/_ij]) вероятность перехода из состояния i в состояние j p _ij (t) _ijt (ij). Поставим задачу найти вероятность p₁(t), то есть вероятность нахождения системы в состоянии S₁ в момент t. Дадим малое приращение t и найдем вероятность того, что система окажется в состоянии S₁ в момент t+t. Это событие может произойти двумя способами:

- в момент t система уже была в состоянии S₁ и за время t состояние системы не изменилось;

- в момент t система находилась в состоянии S₃ и в течение t перешла из состояния S₃ в состояние S₁.

Вероятность первого варианта равна p₁(t)(1-₁₂t), вероятность второго - p₃(t) ₃₁t. Применяя правило сложения вероятностей, получим

p₁(t+t)= p₁(t)(1-₁₂t)+ p₃(t) ₃₁t.

Откуда

.

Переходя к пределу при t0, получим дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять вероятность p₁(t) :

.

Пользуясь этой же методикой, найдем дифференциальное уравнение для вероятности p₂(t). Найдем вероятность p₂(t+t), то есть вероятность того, что система окажется в состоянии S₂ в момент t+t. Это событие может произойти следующими способами (рис. 3.2) :

- В момент t система уже была в состоянии S₂ и за время t состояние системы не изменилось. Вероятность этого события равна

p₂(t) (1-₂₃t-₂₄ t).

- В момент t система находилась в состоянии S₁ и за время t перешла из состояния S₁ в состояние S₂. Вероятность этого события равна p₁ (t) ₁₂t.

- В момент t система находилась в состоянии S₄ и за время t перешла из состояния S₄ в состояние S₂. Вероятность этого события равна p₄ (t) ₄₂t.

Поскольку за время t (t<<max[1/_ij]) вероятность двух и более переходов пренебрежимо мала, искомая вероятность

p₂(t+t)= p₂(t) (1-₂₃ t-₂₄ t)+p₁(t) ₁₂t+ p₄(t) ₄₂t.

Проделав преобразования и перейдя к пределу при t0, получим дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять вероятность p₂(t) :

.

Рассуждая аналогично, получим систему дифференциальных уравнений (уравнения Колмогорова) :

Число уравнений равно числу возможных состояний. Интегрирование системы дает искомые вероятности. Начальные условия определяются постановкой задачи. Например, если известно, что при t=0 система находилась в состоянии S₁ , то начальные условия определяются как p₁(0)=1, p_i(0)=0, i=2, 3, 4. Отметим, что при составлении уравнений Колмогорова не накладывалось требование постоянства интенсивностей перехода _ij.

Поскольку вероятности состояний в любой момент времени образуют полную группу несовместных событий, то помимо уравнений Колмогорова для любого момента времени справедливо т.н. уравнение нормировки

p₁(t)+ p₂(t)+ p₃(t)+ p₄(t) =1.

Уравнением нормировки можно заменить одно из уравнений Колмогорова, что оказывается необходимым при решении многих задач.

Отсюда следует, что, имея размеченный граф состояний системы, можно записать систему уравнений Колмогорова, пользуясь простыми правилами [4]:

1) Число уравнений равно числу возможных состояний системы.

2) В левой части каждого уравнения стоит производная по времени вероятности состояния, а правая часть содержит столько слагаемых, сколько стрелок связано с данным состоянием.

3) Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак минус, если в состояние - знак плюс.

4) Каждое слагаемое равно произведению интенсивности перехода, соответствующего данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.