Правила предельного перехода.

Пусть имеем функции , ,..., .

1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых:

.

2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов сомножителей:

.

Следствия:

1) , где С – константа.

2) , где m – действительное число.

3) .

3. Предел частного от деления двух функций равен частному от деления пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

, .

З а м е ч а н и я. При пользовании последним правилом

- если , а , то ;

- если , а , то ;

- если , а , то представляет неопределенность типа ;

- если , и , то представляет неопределен-

ность типа .

Для раскрытия этих неопределенностей необходимы дополнительные преобразования и специальные рассмотрения. Именно эти неопределенности и их раскрытие являются камнем преткновения при практическом отыскании пределов.

Сравнение бесконечно малых величин

Сравнить две бесконечно малых величины и это, значит, найти предел их отношения. При этом могут возникнуть следующие случаи:

1. , тогда говорят, что бесконечно малая высшего порядка малости, чем и пишут ;

2. , тогда говорят, что бесконечно малая более низкого порядка малости, чем и пишут ;

3. , тогда говорят, что и - бесконечно малые величины одного порядка малости, если при этом , то и называются эквивалентными бесконечно малыми и пишут .

Эквивалентность некоторых переменных

Доказывается, что

. (3.1)

Соотношение (3.1) называется первым замечательным пределом и раскрывает неопределенность типа . Таким образом, из (3.1) видно, что при и эквивалентные бесконечно малые величины.

График логарифмической функции имеет , ,..., , ...- называется функцией целочисленного аргумента. Значения , ,..., , ... образуют числовую последовательность.

Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью целых чисел и расположенных в порядке возрастания номеров.

Например, последовательные значения функции будут: , , ,...

Может случиться, что с увеличением n значения будут неограниченно приближаться к некоторому числу A . Тогда говорят, что последовательность сходится к A или, что число А есть предел функции целочисленного аргумента или предел последовательности при : . Т.о., число A есть предел последовательности , если для всякого положительного сколь угодно малого числе можно указать такой номер N , что при всех будут справедливы неравенства .

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M , что для всех n .

Последовательность называется монотонной, если ее члены либо только возрастают, либо только убывают с ростом n .

Признак существования предела последовательности: если монотонная последовательность , ,..., , ... возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел.

Так, например, ранее показано, что , где x – действительные числа. Если x=n – натуральные числа, то - функция целочисленного аргумента. Для этой последовательности показывается, что она является возрастающей и с помощью бинома Ньютона показывается, что она ограничена сверху числом M=3. На основании приведенного признака эта последовательность при имеет предел , т.е. .