4. Понятие числовых характеристик
Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в ряду наблюдений. Однако на практике зачастую этого недостаточно, особенно когда возникает необходимость сравнить два ряда и более. Сравниваемые распределения могут существенно отличаться друг от друга. Они могут иметь различные средние значения случайной величины, вокруг которых группируются в основном остальные значения, или различаться рассеиванием данных наблюдений вокруг указанных значений и т.д. Поэтому для дальнейшего изучения используют числовые характеристики вариационных рядов. Поскольку эти характеристики вычисляются по статистическим данным, их обычно называют статистическими характеристиками или оценками. Выборочные числовые характеристики служат для оценки генеральных параметров. Например, параметрами нормального распределения являются математическое ожидание и дисперсия. В теории выборочного метода аналогами этих понятий являются генеральная средняя и генеральная дисперсия.
Рассмотрим важнейшие характеристики выборочной совокупности.
Определение 10.11. Точечной называют
статистическую оценку, которая
определяется одним числом
,
где
– результаты
наблюдений над количественным признаком
X.
Определение 10.12. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Определение 10.13. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Выборочная средняя:
(10.7)
Преобразуем формулу (10.7). Имеем:
(10.8)
Данные формулы применяют в том случае, если вариационный ряд сгруппирован по одинаковым значениям вариантов.
Выборочная дисперсия:
(10.9)
Более удобна формула для вычислений:
(10.10)
или:
(10.11)
эта оценка является смещенной.
В качестве оценки генеральной дисперсии принимают «исправленную» (несмещенную) дисперсию:
(10.12)
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
(10.13)
Коэффициент вариации:
(10.14)
Коэффициент вариации является критерием типичности средней. Если он относительно большой (например, свыше 40%), то это значит, что типичность такой средней очень невысока. И наоборот, ели его значение малое, то средняя является типической и надежной.
Средняя геометрическая:
(10.15)
Средняя геометрическая используется в статистики для определения темпов роста, например, преступлений.
В формуле (10.15):
– годовые темпы роста,
– число лет в периоде, за который
исчисляется средняя геометрическая,
не считая базового года.
Пример 10.3. Определить среднегодовой темп роста количества убийств в Мичуринске в период с 1995 по 1999 г., если известно, что в 1995 г. было совершено 20 убийств, в 1996 г. – 30, в 1997 г. – 45, в 1998 г. 65, в 1999г. – 70.
Решение:
В данном случае
= 30-20 = 10;
= 45-30 = 15;
= 65-45 = 20;
= 70-65 = 5.
Контрольные вопросы
1. Какие основные задачи решает математическая статистика?
2. Генеральная и выборочная совокупность?
3. Дайте определение объема выборки.
4. Какие выборки называются репрезентативными?
5. Ошибки репрезентативности.
6. Основные способы образования выборки.
7. Понятия частоты, относительной частоты.
8. Понятие статистического ряда.
9. Запишите формулу Стэрджеса.
10. Сформулируйте понятия размаха выборки, медианы и моды.
11. Полигон частот, гистограмма.
12. Понятие точечной оценки выборочной совокупности.
13. Смещенная и несмещенная точечная оценка.
14. Сформулируйте понятие выборочной средней.
15. Сформулируйте понятие выборочной дисперсии.
16. Сформулируйте понятие выборочного среднеквадратического отклонения.
17. Сформулируйте понятие выборочного коэффициента вариации.
18. Сформулируйте понятие выборочной средней геометрической.