Лінії другого порядку.

Лініями другого порядку на площині називаються лінії, які в декартовій прямокутній системі координат зображаються алгебраїчними рівняннями другого степеня вигляду Ax²+2Bxy+Cy²+2dx+2Ey+F=0, якщо хоч один із коефіцієнтів А,В,С не дорівнює нулеві.

Окремими випадками цього рівняння є так звані канонічні (найпростіші) рівняння другого степеня. Розглянемо канонічні рівняння кола, еліпса, гіперболи, параболи.

1. Коло

Колом називається геометричне місце точок площини, відстань яких від фіксованої точки (центра) є величина стала.

Нехай центр кола міститься в початку координат, а радіус його дорівнює R. Візьмемо на колі довільну точку М(x,y), тоді ОМ= R, тобто в точці С(x₀,y₀), то рівняння кола має вигляд:

(x-x₀)²+(y-y₀)²= R² (2)

2. Еліпс

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох фіксованих точок (фокусів) є величина стала і рівна 2а.

Знайдемо канонічне рівняння еліпса з центром симетрії в початку координат.

Нехай відстань між фокусами F₁ і F₂ дорівнює 2с. Систему координат розмістимо так, щоб фокальна відстань точкою О ділилася пополам, тоді фокуси матимуть координати: F₁(-с,0), F₂(с,0)

Візьмемо на еліпсі точку з довільними координатами т. М (x;y).За означенням еліпса F₁M+F₂M=2a, де F₁M=,F₂M= Отже +=2а

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату

(x+c)²+(y+o)²+(x-c)²+y²+2=4a²

2=4a²-2x²-2c²-2y^{2 :}2

=2a²-x²-c²-y²

Отриману рівність ще раз піднесемо до квадрату

(((x+с)²+(y+0)²)((x-c)²+y²=(2a²-x²-c²-y²)²

Після спрощення отримаємо рівність

x²(a²-c²)+a²y²-(a²-c²)a²=0 Позначимо (a²-c²)=b² Тоді x²b²+a²y²=b²a^2:a²b²

(1)

Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпса.

Для еліпса (1) А₁А₂=2а – велика вісь, В₁В₂ – мала вісь. Точки А₁(-а;0), А₂(а;0), В₁(0;-b), В₂(0;b) – вершини еліпса.

Ексцентриситетом еліпса називається величина, що дорівнює відношенню фокальної відстані до довжини більшої осі <1

Зауваження: якщо еліпс витягнутий вздовж осі у, тобто b>а, то рівняння його матиме вигляд (1), а ексцентриситет , b²=c²+a²

F₁(0;c)

F₂(0;-c)

Наприклад: для еліпса , a=3, b=5, c==, e=.

Якщо центр симетрії еліпса міститься в т. С(x₀,y₀), то його рівняння матиме вигляд

3. Гіпербола

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, різниця відстаней яких від двох фіксованих точок (фокусів) є величина стала і менша за відстань між фокусами.

Знайдемо канонічне рівняння гіперболи. Відстань між фокусами позначимо через 2с, а систему координат розмістимо так, щоб фокальна відстань ділилася точкою пополам, тоді F₁ (-c;0), F₂ (c;0)

Візьмемо точку М з довільними координатами (х;у), яка належить гіперболі. За означенням гіперболи , де, тобто, (1)

Якщо піднесемо рівність (1) до квадрату два рази, зведемо подібні члени, результат поділимо на величину а² b ², де в²=с²-а², то отримаємо (2), канонічне рівняння гіперболи з центром симетрії в початку координат, де а, b – півосі гіперболи.

В

M(x;y)

ісь, яку перетинає гіпербола називають дійсною, а яку не перетинає гіпербола називають уявною. Для гіперболи (2) 2а – дійсна вісь, 2b – уявна.

Е

A₁

ксцентриситетом гіперболи називається величина, що дорівнює відношенню фокальної відстані до довжини дійсної осі =>1

Із рівності (2) визначимо у:

.

Лінія l називається асимптотою кривої, якщо відстань від точки, що рухається по кривій в нескінченність, прямує до нуля. Якщо х, то графік функції асимптотично наближається до прямих .

Отже: - асимптоти гіперболи.

Т очки А₁(-а;0) та А₂(а;0) – вершини гіперболи. Гіпербола з тими ж самими півосями, рівняння якої ,називається спряженою до гіперболи (2).

ЗАУВАЖЕННЯ: для спряженої гіперболи .

Якщо центр гіперболи міститься в точці С(x₀,y₀), то канонічне рівняння її має вигляд .