Список рекомендуемой литературы

1. Нейман, Л.Р. Теоретические основы электротехники/ Л.Р. Нейман, К.С. Демирчян// В 2-х т. – Л.: Энергия, 1981. – Т.1. – 534 с.

2. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи/ Л.А. Бессонов. – М.: Гардарики, 2000. – 638 с.

3. Попов, В.П. Основы теории цепей/ В.П.Попов. – М.: Высшая школа, 2005. – 575 с.

4. Зевеке, Г.В. и др. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1989. – 520 с.

Схемы для задачи № 1

Пример выполнения

Пусть параметры цепи заданы табл. 2

Таблица 2

№ п/п	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом	R7, Ом	R8, Ом	Е1, В	Е2, В	Е3, В	Е4, В	Е5, В	Е6, В	I1, А
А	4	5	2	3	5	6	2	-	?	50	30	40	40	50	3

Пункт 1.

Рисуем расчетную схему цепи (рис. 1), на которой показываем выбранные и известные положительные направления всех токов и ЭДС, а также направления обходов контуров. Обозначаем узлы цепи буквами A, B, C и D. Число узлов У=4.

Рисунок 1 Расчетная схема для законов Кирхгофа

Для расчета токов необходимо составить 3 уравнения по первому закону Кирхгофа (на одно меньше числа узлов). Запишем уравнения для узлов A, B, C:

узел А –I₃–I₄+I₅=0;

узел В –I₂–I₅+I₆=0;

узел С –I₁+I₂+I₄=0.

По второму закону Кирхгофа можно составить независимые контурные уравнения k₂=В–У+1, где В - число ветвей цепи, У  - число узлов. Для рассматриваемой цепи k₂=3.

Напряжение считается положительным, если направление тока в сопротивлении совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура; ЭДС считается положительной, если она действует по направлению обхода контура.

Пишем уравнения по второму закону Кирхгофа:

для контура I –R₄I₄–R₅I₅+R₂I₂=E₄+E₅–E₂;

для контура II –R₁I₁–R₆I₆–R₂I₂=E₂–E₁–E₆;

для контура III (R₃+R₇) I₃–R₄I₄–R₁I₁=E₄+E₃–E₁.

Решение системы из шести уравнений с шестью неизвестными достаточно сложно, поэтому для расчета рассматриваемой электрической цепи применяем другие методы.

Пункт 2.

В схеме три независимых контура, для определения всех токов надо составить три уравнения по методу контурных токов. Расчет ведем по схеме рис. 2.

Рисунок 2 Расчетная схема для метода контурных токов

Составляем уравнения по методу контурных токов для контуров I и III

(R₂ + R₅ + R₄) I_I + R₂I_II + R₅I_III = E₅ – E₂ + E₄;

R₅I_I – R₆I_II + (R₃ + R₅ + R₇+ R₆) I_III = E₅ – E₃ – E₆.

Подставив значения сопротивлений, ЭДС и токов I_II=I_I=3A, после выполнения всех действий и упрощения получаем:

(5 + 4 + 3) I_I + 53 + 4I_III = 40 – 50 + 40;

4I_I – 63 + (2 + 4 + 2 + 6) I_III = 40 – 50 – 30.

; ; .

откуда находим I_I=1,960526A и I_III=-2,131578А.

Определяем токи в ветвях (выбранные положительные направления токов и ЭДС показаны на схеме рис. 2).

I₁=I_II=3 A; I₂=I_I+I_II=4,960526А; I₃=–I_III=2,131578А;

I₄=–I_I=–1.960526А; I₅=–I_I–I_III=0,171052А; I₆=I_II–I_III=5,131578А.

На структурной (скелетной) схеме показываем значения напряжений и всех токов в ветвях (рис. 3). Составив уравнение по второму закону Кирхгофа для контура II (рис. 1–3), находим ЭДС Е₁:

–R₁I₁–R₆I₆–R₂I₂=E₂–E₁–E₆;

–43–65,131578–54,960526=50–E₁–50; E₁=67,5921В.

Рисунок 3 Схема распределения токов в цепи

Проверка правильности определения искомых величин.

Так как расчет выполнен по методу контурных токов, первый закон Кирхгофа для всех узлов цепи выполняется автоматически. Чтобы убедиться в том, что токи определены верно, нужно проверить тождественность уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для отдельных контуров цепи (рис. 2).

Для первого контура –R₄I₄–R₅I₅+R₂I₂=E₄+E₅–E₂.

Подставив в это уравнение значения сопротивлений, токов и ЭДС, получаем: 31,960526–40,171052+54,960526=40+40–50 или 3030.

Для третьего контура (R₃+R₇) I₃–R₄I₄–R₁I₁=E₄+E₃–E₁.

Подставив в это уравнение значения сопротивлений, токов и ЭДС, получаем: (2+2)2,131578+31,960526–34=40+30–67,591 или 2,407892,409.

Допускается погрешность до 2%.

Пункт 3.

Составление баланса мощностей. Алгебраическая сумма мощностей источников энергии должна быть равна сумме мощностей в сопротивлениях цепи Р_ист=RI².

Мощность источника энергии записывается со знаком плюс, если ток от источника выходит через точку с более высоким потенциалом. Если после числового расчета мощность источника является положительной, то он отдает энергию, если же мощность источника оказывается отрицательной, то источник фактически потребляет энергию.

Мощность источников напряжения (рис. 1) определяется как сумма произведений ЭДС ветвей на протекающие через них токи

EI=E₁I₁–E₂I₂+E₃I₃–E₄I₄–E₅I­₅+E₆I­₆=67,59213–504,9605262+

+302,131578+401,9605267–400,171052+505,131578=346,8552Вт.

Мощность в сопротивлениях

RI²=R₁I₁²+R₂I₂²+(R₃+R₇)I₃²+R₄I₄²+R₅I₅²+R₆I₆²=

=36+123,034+18,1745+11,531+0,117+157,9985=346,855Вт.

Допускается погрешность до 2%.

Пункт 4.

Определение напряжения, измеряемое вольтметром между узлами А и В (рис. 2).

По второму закону Кирхгофа составим два уравнения

–R₄I₄+R₂I₂+U_AВ=E₄–E₂;

U_AВ=E₄–E₂+R₄I₄–R₂I₂=40–50–31,960526–54,960526=–40,6842В.

–R₅I₅–U_AВ=E₅;

U_AВ=–R₅I₅–E₅=–40,171052–40=–40,6842В.

Допускается погрешность до 2%.

Пункт 5.

Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов, приняв за базовый узел В (см. рис. 1). Поскольку схема имеет 4 узла, то необходимо составить систему из 4 – 1 = 3 уравнений для расчета потенциалов узлов A, D, C относительно базового. Система уравнений представляет собой произведение матрицы проводимостей и вектора искомых потенциалов, приравненное к вектору узловых токов. Главная диагональ матрицы проводимостей составлена из узловых проводимостей (сумма проводимостей ветвей, образующих искомый узел). Все остальные компоненты матрицы проводимостей – это межузловые проводимости, взятые со знаком « – ». Узловые точки – это алгебраические суммы величин источников токов ветвей (или их эквивалентное представление через ЭДС и сопротивления), образующих искомый узел (причем со знаком « + » суммируются источники тока, направленные к этому узлу):

Путем не сложных математических преобразований, получаем систему уравнений

решив которую, одним из известных методов находим потенциалы узлов A, D, C:

φ_А = –40,764705866 В, φ_С = –74,8529411 В, φ_D = –19,25882352 В, φ_В = 0 В. Следовательно, находим значение ЭДС В; E₁=67,5941В.

Определяем токи в ветвях, используя обобщенный закон Ома (выбранные положительные направления токов и ЭДС показаны на схеме рис. 2).

; ; ; ; .