5. Аппроксимация кривой с тремя неизвестными параметрами

Рассмотрим еще один пример аппроксимирования кривой работоспособности, когда ее уравнение имеет более сложный вид, соответствующий распределению Вейбулла-Гнеденко с темы неизвестными параметрами: α, μ и h.

Экспериментальную кривую (рис. 3.7) будем аппроксимировать уравнением

(3.49)

Для аппроксимации примем метод выбранных точек. На кривой отмечены точки 1, 2, 3, 4, 5.

Преобразуем уравнение (3.49):

(3.50)

Дважды прологарифмируем уравнение (3.50):

Рис. 3.7. Аппроксимация кривой с тремя неизвестными параметрами.

(3.51)

Для выбранных точек составим избыточную систему уравнений.

(3.52)

Из дух первых уравнений системы (3.52) можно получить следующие соотношения:

(3.53)

где

(3.54)

Из любого уравнения системы (3.52) следует, что

(3.55)

где М = 0,4343 – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

В уравнения (3.53) и (3.55) выходит неизвестный параметр h₀, который простыми приемами выделить не удается. Поэтому определим h₀ приближенно из графика (рис. 3.7): h₀ = 50.

Подставляя поочередно в формулу (3.53) значений x_i и y_i на графике, определим величину α. Этот расчет приведен в табл. 3.9. при h₀ = 50.

Таблица 3.9

№№ точек	yi				xi		αi
1	8	-0,0757	3,1254	0,4948	10	0,6996	0,7072
2	21	-0,2366			50
1	8	-0,0757	7,6592	0,884	10	1	0,884
3	31	-0,5798			100
1	8	-0, 0757	9,2338	0,9656	10	1,3010	0,7421
4	40	-0,699			200
1	8	-0, 0757	18,4663	1,2662	10	1,699	0,7452
5	500	-1,3979			500

Вычислим среднюю величину α.

Примем округленное значение α = 0,75 Подобное округление целесообразно, т.к. находится в пределах точности измерений на графике и таблиц экспоненциальных функций.

Значение μ вычисляется по формуле (3.55) при α = 0,75, h₀ = 50 данные расчета приведены в табл. 3.10.

Таблица 3.10

№№ точек	yi		xi		μi
1	8	-0,0757	10	5,37	0,03099
2	21	-0,2366	50	17,38	0,02897
3	31	-0,5790	100	28,84	0,03059
4	40	-0,699	200	93,73	0,01724

Для расчета примем первые три значения:

Для проверки по уравнению (3.49) вычислим ряд значений y (x) при: h₀ = 50 α = 0,75; μ = 0,03 (табл. 3.11).

Таблица 3.11

xi	10	50	100	200	500
yi(xi)	7,815	20,86	30,665	39,905	47,96

Сравнение данных табл. 3.9 – 3.11 говорит о хорошем совпадение результатов. Недостаток этого приема в том, что h₀ определено визуально из графика и в дальнейшем уточнялось.