- •02 Марта 2009
- •1. Введение
- •2. Точки пересечения физики и топологи
- •2.1. Теоретические основы
- •2.2. Категории
- •2.3. Моноидальные категории
- •2.4. Сплетённые моноидальные категории
- •2.5. Симметричные моноидальные категории
- •2.6. Замкнутые категории
- •3.1. Теоретические основы
- •3.2. Доказательства как морфизмы
- •4. Теория вычислений
- •4.1. Теоретические основы
- •Благодарности
- •Список литературы
2.4. Сплетённые моноидальные категории
В физике существуют процессы, позволяющие «переключать» системы, перемещая их друг относительно друга. В топологии имеется тангл, который описывает процесс переключения двух точек:
Аналогично, в логике можно менять взаимное расположение двух высказываний в конъюнкции — высказывание « и » изоморфно высказыванию « и ». В информатике существует простая программа, меняющая порядок двух элементов данных. Моноидальная категория, в которой можно производить подобные операции, называется «сплетённой»:
Определение 11. Сплетённая моноидальная категория состоит из:
-
Моноидальной категории .
-
Естественного изоморфизма, называемого переключателем, который ставит в соответствие каждой паре объектов изоморфизм .
Данный изоморфизм должен удовлетворять гексагональным условиям:
Первое гексагональное условие предполагает, что переключение объекта с парой эквивалентно переключению его сначала с объектом , а затем с объектом (при использованием ассоциаторов для обработки скобок). Второе условие похоже на первое. Оно утверждает, что переключение пары также можно провести в два этапа.
В виде струнной диаграммы переключатель может быть представлен следующим образом:
Обратный морфизм изображается так:
Данная нотация правильна, поскольку она делает композицию и топологически верной:
Гексагональные условия в виде струнных диаграмм:
В качестве практики читателю рекомендуется доказать следующие равенства:
Несколько подсказок в случае возникновения сложностей: первое равенство следует из естественности переключателя. Второе выражение называется равенством Янга-Бакстера и следует из комбинации естественности и гексагональных условий [56].
Далее несколько примеров. Существует множество способов задать в моноидальной категории переключатель. Но в большинстве примеров, приводимых авторами, используются известные «стандартные» переключатели:
-
Любая декартова категория автоматически является сплетённой, а в категории переключатель определяется как .
-
В категории с обычным тензорным произведением стандартный переключатель определяется как .
-
В моноидальной категории имеется стандартный переключатель , который определяется диффеоморфным к размеченному объединению цилиндров и . Для категории (в случае круглых и ) диаграмма выглядит следующим образом:
-
В моноидальной категории имеется стандартный переключатель для . Для при и в виде единичных точек переключатель выглядит следующим образом:
Категория иллюстрирует важный принцип. Она является просто категорией, поскольку в нульмерном пространстве вычисления можно производить только «последовательно», то есть при помощи комбинации морфизмов. Категория является моноидальной, поскольку в одномерном пространстве можно выполнять вычисления «параллельно», то есть при помощи тензорного произведения морфизмов. Категория является сплетённой моноидальной категорией, поскольку в двумерном пространстве имеется место для перемещения одного объекта вокруг другого. Далее будет показано, что происходит в трёхмерном пространстве или пространстве большей размерности.