- •Розділ 1. Теоретичні відомості до модуля «Площина в просторі» Поняття площини та її рівняння
- •Способи задання площини
- •Умова паралельності вектора і площини
- •Дослідження загального рівняння площини
- •Геометричний зміст знаку многочлена
- •Нормальне рівняння площини
- •Відстань від точки до площини
- •Взаємне розташування двох площин в просторі
- •Взаємне розташування трьох площин в просторі
- •Кут між двома площинами
- •Пучок площин
- •Питання для самоперевірки
- •Підмодуль 1. Складання рівняння площини. Геометричний зміст знаку многочлена. Неповні рівняння площини.
- •Список літератури
Питання для самоперевірки
-
Запишіть загальне рівняння площини і дайте геометричне пояснення коефіцієнтів при змінних у цьому рівнянні.
-
Вкажіть на особливості в розміщенні площин, які задані неповними рівняннями:
а) ; в) ; д) ;
б) ; г) ; е) .
-
Запишіть рівняння площини у відрізках і дайте геометричне пояснення коефіцієнтів у цьому рівнянні.
-
За допомогою яких алгебраїчних перетворень із загального рівняння площини можна дістати рівняння площини у відрізках?
-
Запишіть рівняння площини, що проходить через три дані точки. Яка властивість компланарних векторів використовується при одержанні цього рівняння?
-
Запишіть нормальне рівняння площини і дайте геометричне пояснення коефіцієнтів при змінних і вільному члену в ньому рівнянні.
-
Сформулюйте правило, за яким загальне рівняння площини приводиться до нормального вигляду.
-
Що називається відстанню від точки до площини і за яким правилом вона обчислюється?
-
Запишіть формулу косинуса кута між двома площинами. За допомогою яких міркувань із цієї формули одержуються умови паралельності, перпендикулярності двох площин?
-
В чому полягає геометричний зміст знаку многочлена ?
-
Що називається пучком площин?
РОЗДІЛ 2. Аудиторні практичні заняття
Підмодуль 1. Складання рівняння площини. Геометричний зміст знаку многочлена. Неповні рівняння площини.
Питання для перевірки теоретичних знань:
-
Загальне рівняння площини має вигляд: ...
-
Рівняння площини, що проходить через три задані точки, має вигляд: ...
-
Запишіть рівняння площини у відрізках на осях.
-
Сформулюйте умову паралельності вектора і площини.
-
Для яких точок простору знак многочлена більше нуля, а для яких менше?
Завдання для аудиторної роботи
Приклад 1. Чи проходить площина через точки ?
Розв’язання. У загальне рівняння площини підставимо координати точки. Якщо рівність виконується, то площина проходить через точку, якщо ні — то не проходить. Отже, площина проходить через точки А, В і С та не проходить через точку D.
Приклад 2. Які особливості в розміщенні площин: 1); 2); 3); 4); 5)?
Розв’язання. 1) проходить паралельно осі OZ; 2) проходить через початок координат O(0; 0; 0;); 3) проходить паралельно площині ОXZ; 4) проходить паралельно осі ОY; 5) проходить через вісь ОX.
Приклад 3. Дано дві точки і . Скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
Розв’язання. ; за умовою перпендикулярності двох векторів маємо або .
Приклад 4. Скласти рівняння площини, що проходить:
1) через точки паралельно осі ОХ.
Розв’язання. Запишемо рівняння площини, що проходить через точки .
Для того, щоб написати рівняння площини, достатньо знати координати двох неколінеарних векторів, паралельних площині. За один з таких векторів можна прийняти координатний вектор , а за інший – вектор . Очевидно, , . Якщо прийняти за початкову точку, то рівняння площини прийме вигляд:
або
Таким чином, дана площина має рівняння:
2) через вісь ОХ і точку
Відповідь:
3) через точку паралельно площині OXY
Відповідь:
Приклад 5. Скласти рівняння площини, що проходить:
1) через точки паралельно вектору (3;0;1)
Відповідь:
2) через точку паралельно векторам і .
Розв’язання. Рівняння даної площини буде мати вигляд
або .
3) через три задані точки .
Розв’язання. За формулою маємо
;
Таким чином, дана площина має вигляд
.
Приклад 6. Скласти рівняння площини, що відтинає на осях ОY i OZ удвічі більші відрізки, ніж на осі ОХ, і проходить через точку .
Розв’язання. Рівняння площини у відрізках:
.
Оскільки площина проходить через точку , то .
Отже , а рівняння має вигляд .
Рівняння площини, що проходить через точку : .
Приклад 7. Дано точки
і площини
-
;
-
.
Для кожної з площин серед даних точок вказати ті, які лежать по ту ж сторону від площини, що і початок координат.
-
Розв’язання.
Щоб визначити, чи лежать 2 точки по одну і ту саму сторону від заданої площини, необхідно визначити знаки многочлена для обох точок та порівняти їх. Таким чином, для точки , для точки . Отже, початок координат та точка лежать по одну сторону від площини .
Аналогічно визначаємо, що по ту ж сторону від заданої площини, що і початок координат, знаходяться точки .
-
Відповідь: .
Приклад 8. Перевірити, чи можна провести площину через такі чотири точки , , , .
Відповідь: ні.
Приклад 9. Дано вершини тетраедра , , і . Написати рівняння площини, що проходить через ребро і паралельна ребру ;
Розв’язання.
Щоб знайти задане рівняння, необхідно знайти координати векторів і . Маємо, , . Для довільної точки , що належить шуканій площині, вектори , і повинні задовольняти умові компланарності векторів, тому
. Звідси шукане рівняння має вигляд
.
Домашнє завдання
Приклад 1. Знайти рівняння площини, що проходить через точку і паралельна векторам і .
Відповідь:
Приклад 2. Знайти рівняння площини, що проходить через точки , і паралельна вектору .
Відповідь:
Приклад 3. Знайти рівняння площини, що проходить через точки
Відповідь: .
Приклад 4. Дано вершини тетраедра , , та . Написати рівняння площини, що проходить через вершину А і паралельна грані .
Відповідь: .
Приклад 5. Скласти рівняння площини, що проходить через точки і паралельно осі .
Відповідь: .
Приклад 6. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь і точку .
Відповідь: .
Приклад 7. Скласти рівняння площини, що проходить через точку і відтинає від осей координат рівні відрізки.
Відповідь: , , .
Приклад 8. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно до двох площин , .
Відповідь: .
Приклад 9. Знайти точки перетину площини з координатними осями.
Відповідь: .
Приклад 10. Обчислити об’єм піраміди, обмеженої площиною і координатними площинами.
Відповідь: 8.
Приклад 11. Дана площина . Вказати, які з пар точок, наведених нижче, лежать по одну і ту ж сторону від даної площини:
а) і ;
б) і ;
в) і .
Відповідь: а) і в).
Підмодуль 2. Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини. Взаємне розташування площин. Кут між площинами. Пучок площин.
Питання для перевірки теоретичних знань
-
Як привести загальне рівняння площини до нормального виду?
-
Перерахуйте способи розташування двох і трьох площин.
-
Назвіть формулу, за якою обчислюється кут між площинами.
-
Сформулюйте умови паралельності і перпендикулярності площин.
Завдання для аудиторної роботи
Приклад 1. Написати нормальне рівняння площини, що задана рівнянням
а) .
Розв’язання.
Так як , то
Нормальне рівняння площини має вигляд
б)
Відповідь:
Приклад 2. Обчислити відстань між паралельними площинами та .
Розв’язання. Знайдемо точку, яка б належала площині . Наприклад, . Обчислимо відстань від цієї точки до іншої площини, беручи до уваги, що нормуючий множник :
Приклад 3. Скласти рівняння площини, що проходить через точку :
-
паралельно площині .
Розв’язання. За умовою паралельності площин , тобто рівняння площини має вигляд . Оскільки точка належить шуканій площині, то , .
Отже, .
-
перпендикулярно площинам і .
Розв’язання. Оскільки задані площини перпендикулярні шуканій площині, то їх нормальні вектори будуть паралельні їй. Тому вектори , і – компланарні, звідси
, ,
Приклад 4. На осі знайти точку, рівновіддалену від площин і .
Розв’язання. Точка має вигляд . Запишемо відстані від площин до точки і прирівняємо їх:
; ;
-
; ; ; або
-
; ; ; .
Приклад 5. Обчислити косинус кута між площинами ; .
Розв’язання. За формулою для обчислення косинуса кута між площинами (див. Розділ 1) маємо:
Приклад 6. Скласти рівняння дотичної площини до сфери в точці .
Розв’язання. Оскільки радіус сфери перпендикулярний до дотичної площини, то виконується умова перпендикулярності векторів і :
.
Приклад 7. Визначити, початок координат лежить всередині тупого чи гострого кута, утвореного двома площинами і .
Розв’язання. Визначимо косинус кута між нормальними векторами цих площин:
, отже, кут між і гострий. Тоді точки, що лежать всередині гострого кута будуть мати різні знаки многочлена по відношенню до даних площин, а точки, що лежать всередині тупого кута, – однакові.
Перевіримо знаки многочленів для точки :
.
Знаки різні, тому початок координат лежить всередині гострого кута між даними площинами.
Приклад 8. Написати рівняння площин, що ділять навпіл двогранні кути між площинами і .
Відповідь: ,
Приклад 9. Знайти відстань від точки до площини .
Відповідь: 1
Приклад 10. Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 3.
Розв’язання. Шукані множини точок належать площинам, що паралельні даній і знаходяться на відстані 3 від неї, тому
. Звідси отримаємо дві площини, які задовольняють умові: і .
Домашнє завдання
Приклад 1. Привести до нормального виду рівняння площин:
-
;
Відповідь:
-
.
Відповідь: .
Приклад 2. Обчислити відстань між паралельними площинами
-
,
Відповідь: ;
-
;
Відповідь: .
Приклад 3. Дві грані куба лежать на площинах , . Обчислити об’єм даного куба.
Відповідь: .
Приклад 4. На осі знайти точку, рівновіддалену від двох площин , .
Відповідь: і .
Приклад 5. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до площин і .
Відповідь: .
Приклад 6. Скласти рівняння дотичної площини до сфери в точці .
Відповідь:
Приклад 7. Визначити, чи лежить точка всередині гострого чи тупого кута, утвореного двома площинами , .
Відповідь: Всередині тупого кута.
Приклад 8. Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 3.
Відповідь: і .
Приклад 9. Написати рівняння сфери, центр якої лежить на осі і яка дотикається до двох площин і .
Відповідь: .
РОЗДІЛ 3. Індивідуальне завдання до модуля «Площина в просторі»
ВАРІАНТ №1
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(1; 0; -2), В(2; 1; -1), С(0; 2; -3). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (0; 0; -1), (1; 3; 4), (5; 0; -3), (4; 4; 1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 3; 1), М2(1; -5; 2).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку А(1; 2; 5) і вісь ОХ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(4; 3; -1) перпендикулярно вектору (1; 3; 2).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; 0; 1), В(3; 1; -5), С(-2; ; 2), D(-1; 1; 1). Знайти кут між гранями АВС і АDС.
-
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Його паралельні грані належать площинам та . Знайти об’єм куба.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від точки М(2; 1; 1) та від площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані 3 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(1; 2; -4).
ВАРІАНТ №2
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(3; 3; 1), В(2; -1; 2), С(-5; 1; 1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (3; 2; 1), (-5; -5; 0), (1; 4; 3), (7; 3 0) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(0; 1; 7), М2(3; -2; 4).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(1; 2; 0) та В(-3; 1; 4) і паралельна вектору (2; 0; -1).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(2; -1; 5) перпендикулярно вектору (4; 1; -2).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(-3; 0; 1), В(3; -2; -4), С(1; 1; 0), D(-2; -2; 1). Знайти кут між гранями ABC i ABD.
-
Тетраедр АВСD задано його вершинами А(1; 0; 1), В(-3; -1; 7), С(2; 3; 5), D(4; 3; 10). Знайти довжину висоти DH.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від двох площин і .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані 4 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(2; 0; -3).
ВАРІАНТ №3
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(1; 4; 1), В(-3; 6; 2), С(2; -10; 3). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (6; -1; 2), (3; 5; -2), (4; -3; 0), (2; -3; 1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(-2; 1; 2), М2(4; -1; 3).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку А(-5;1; 8) і паралельна двом векторам (2; -5; 0) та (4; 3; -2).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-3; 0; 2) перпендикулярно вектору (-4; 2; 0).
-
Площина задана трьома точками А(2; 1; 6), В(-3; 2; 1), С(4; -1; 0), а площина – точками (-7; 1; 2), (0; -3; -1), (-5; 2; 2). Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OХ знайти точку, рівновіддалену від двох площин і .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(2; -3; 1).
ВАРІАНТ №4
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(2; 4; 3), В(1; -3; 9), С(-3; 1; 1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (3; 6; 0), (5; 4; 3), (4; -2; 2), (3; 3; 5) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 4; 1), М2(-3; 1; 6).
-
Написати рівняння площини, що проходить через 2 точки А(1; 8; 6), В(3; 7; -4) та перпендикулярна площині .
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(1; 2; -2) перпендикулярно вектору (3; -2; -7).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; 0; 1), В(3; 1; -5), С(-2; ; 2), D(-1; 1; 1). Знайти кут між гранями АВD і АDС.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від точки М(2; 1; 1) та від площини .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та .
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(-4; 2; 1).
ВАРІАНТ №5
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(2; 4; -2), В(1; -3; -1), С(4; 3; -1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (-3; 0; 4), (1; 2; -6), (0; -2; -7), (-4; -4; 3) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(1; -3; 5), М2(0; 7; 2).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку А(1; 2; 5) і вісь ОY.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(5; 4; 1) перпендикулярно вектору (1; -3; -2).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(-3; 0; 1), В(3; -2; -4), С(1; 1; 0), D(-2; -2; 1). Знайти кут між гранями ABC i AСD.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від двох площин і .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та .
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(-5; 4; -1)
ВАРІАНТ №6
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(-1; -2; 1), В(3; 2; 0), С(2; 4; 1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (2; 1; 0), (3; 2; 5), (-6; 1; 3), (1; -5; 1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; -1; 3), М2(4; 2; 0).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і паралельна двом векторам (-1; 2; 3)та (2; 1; -3).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(3; -3; 1) перпендикулярно вектору (2; 2; 5).
-
Площина задана трьома точками А(2; 3; -3), В(1; 2; -4), С(-3; -4; -4), а площина – точками (-4; 1; 3), (-3; -2; -2), (1; 0; -1). Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OХ знайти точку, рівновіддалену від точки М(1; 1; -1) та від площини .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та .
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл тупий двогранний кут, утворений двома площинами .
ВАРІАНТ №7
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(1; 3; 1), В(5; 4; 8), С(2; -1; 7). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (4; -4; 1), (2; -7; 2), (1; 3; 2), (2; 4; 5) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(-3; 2; 3), М2(2; 4; -1).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(2; -3; 1), В(3; 2; 3) та перпендикулярна площині
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-1; -1; 2) перпендикулярно вектору (5; 3; -4).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; 0; 1), В(3; 1; -5), С(-2; ; 2), D(-1; 1; 1). Знайти кут між гранями BCD і АBD.
-
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Його паралельні грані належать площинам та . Знайти об’єм куба.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від двох площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 5 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №8
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(2; 5; -4), В(-1; 2; 2), С(0; -2; -5). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (1; -1; 2), (2; -3; -5), (7; 2; 4), (-3; 0; 6) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(1; -2; 1), М2(-3; -3; 1).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку А(1; 2; 5) та вісь ОZ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-2; 3; -2) перпендикулярно вектору (-3; -1; 4).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(-3; 0; 1), В(3; -2; -4), С(1; 1; 0), D(-2; -2; 1). Знайти кут між гранями ABD i AСD.
-
Тетраедр АВСD задано його вершинами А(1; 2; 1), В(4; -2; -2), С(-2; 0; 1), D(-4; -1; 0). Знайти довжину висоти DH.
-
На осі OХ знайти точку, рівновіддалену від точки М(2; -1; -2) та площини .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та .
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл тупий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №9
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(3; 5; -15), В(0; 4; -3), С(-2; 1; -2). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (1; -2; 4), (2; 0; -1), (5; -3; 2), (3; 1; -4) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(-3; -1; 4), М2(1; 4; 0).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(6; 1; 3) та В(-5; 2; -1) і паралельна вектору осі ОХ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-5; -1; -3) перпендикулярно вектору (2; 0; -3).
-
Площина задана трьома точками А(-2; 1; 1), В(3; -2; 4), С(0; -1; -1), а площина – точками (1; 5; 1), (2; -3; -3), (3; 4; -2). Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від точки М(1; 1; -3) та площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 2 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №10
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки А(-1; 2; 3), В(2; 0; 9), С(1; -4; 0). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (1; 1; 3), (2; 4; -5), (2; -3; 7), (0; -1; 3) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 1; 3), М2(1; -1; 1).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(-3; 1; 8) та В(-4; -1; 1) і перпендикулярна площині YOZ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(2; 3; -1) перпендикулярно вектору (6; -3; 5).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; 0; 1), В(3; 1; -5), С(-2; ; 2), D(-1; 1; 1). Знайти кут між гранями BCD і АСD.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами .
ВАРІАНТ №11
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (-2;3;6), В(-3;1;-4), С(1;-2;3). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (2;-2;1), (3;0;-1), (1;3;2), (-3;1;-2) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(-1; 3; 1), М2(2; -2; 3).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(6; 1; 3) та В(-5; 2; -1) і паралельна осі OY.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(2; -2; -1) перпендикулярно вектору (6; 2; 3).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(-3; 0; 1), В(3; -2; -4), С(1; 1; 0), D(-2; -2; 1). Знайти кут між гранями BCD i ABD.
-
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Його паралельні грані належать площинам та . Знайти об’єм куба.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(1; 2; -4).
ВАРІАНТ №12
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (2;-1;-2), В(-3;2;-4), С(-1;0;2). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (-1; 3;1), (2;-1;2), (-2; 2;0), (3;2;1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 0; -1), М2(1; 3; 2).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(-3; 1; 8) та В(-4; -1; 1) і паралельна площині XOZ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-2; 0; -3) перпендикулярно вектору (4; 3; -1).
-
Площина задана трьома точками А(1; -1; 2), В(3; 5; 3), С(-2; -4; -1), а площина – точками (-4; 3; 1), (1; -2; -2), (-8; 1; -3). Знайти кут між площинами і .
-
Тетраедр АВСD задано його вершинами А(3; -1; 0), В(1; 1; ), С(-2; 3; ), D(2; 1; 4). Знайти довжину висоти DH.
-
На осі OX знайти точку, рівновіддалену від площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(2; 0; -3).
ВАРІАНТ №13
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (1;0;1), В(0;2;-1), С(-2;2;-2). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (1;2;1), (-3;-2;-3), ( 2;0;1), (-1;-3;-2) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(3; 3; 1), М2(2; -1; 2).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(6; 1; 3) та В(-5; 2; -1) і паралельна осі OZ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(2; -1; 3) перпендикулярно вектору (-1; 3; 4).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(-3; 0; 1), В(3; -2; -4), С(1; 1; 0), D(-2; -2; 1). Знайти кут між гранями ABC i BСD.
-
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Його паралельні грані належать площинам та . Знайти об’єм куба.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від точки М(-1; 2; 1) і площини .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(2; -3; 1).
ВАРІАНТ №14
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (3;-1;1), В(-4;3;0), С(2;-6;-1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (4;2;1), (-2;0;3), (3;1; 2), (2;-1;-1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(-2; 1; 2), М2(1; 2; -3).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(-3; 1; 8) та В(-4; -1; 1) і перпендикулярна площині XOY.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1( -2; 3; 4) перпендикулярно вектору (3; -1; 5).
-
Задано точки , , , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від точки М(2; 0; -1) і площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 2 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(-4; 2; 1).
ВАРІАНТ №15
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (-1;-2;2), В(1;1;-5), С(2;5;-6). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (2;1; 4), (-1;3;3), (3;-3;3), (-5;0;-4) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(1; 2; 1), М2(3; -2; 1).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку А(-3; 4; 1) та вісь ОХ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-1; 3; -4) перпендикулярно вектору (2; 0; -3).
-
Задано точки , , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OX знайти точку, рівновіддалену від площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(-5; 4; -1).
ВАРІАНТ №16
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (1;-1;4), В(-3;5;1), С(3;-4;-2). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (4;-1; -3), (2;1;2), (1;4;-2), (3;-1;1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 1; -2), М2(3; 2; -4).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(2; 0; -3) та В(-1; -2; -4) і паралельна вектору (1; 3; -1).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(2; -1; 1) перпендикулярно вектору (4; 2; 1).
-
Задано точки , , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від точки М(2; 1; 0) і площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 4 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл тупий двогранний кут, утворений двома площинами .
ВАРІАНТ №17
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (1;0;-3), В(-2;-5;4), С(-1;-2;3). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (1;1;2), (2;-3;1), (4;-1;-2), (-2;3;-1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(1; 0; 4), М2(-2; 1; 4).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку А(3; 2; -1) і паралельна двом векторам (2; 1; 4) та (3; 0; -2).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-3; 2; 1) перпендикулярно вектору (1; -3; 4).
-
Задано точки , , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та .
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №18
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (2;-3;1), В(-1;6;2), С(-2;2;0). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (-3;2;2), (4;1;-1), (2;-3;1), (1;0;-2) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 1; -3), М2(-1; -1; 1).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(4; 2; 1) та В(2; 0; -1) і паралельна площині .
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(1; 4; 0) перпендикулярно вектору (-3; 2; 2).
-
Дано тетраедр з вершинами , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Його паралельні грані належать площинам та . Знайти об’єм куба.
-
На осі OX знайти точку, рівновіддалену від точки М(1; -3; 1) і площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 3 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл тупий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №19
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (1;2;3), В(3;0;3), С(-2;3;0). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (4;-1;6), (-3;-2;0), (2; 1;2), (-1;2;-2) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(4; -1; 3), М2(3; 0; 1).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і паралельна двом векторам (2; 1; -3) та (-1; 3; -1).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(2; -3; -1) перпендикулярно вектору (4; 1; -3).
-
Дано тетраедр з вершинами , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Тетраедр АВСD задано його вершинами А(2; -3; 1), В(0; -5; -2), С(1; 1; 2), D(2; -1; 3). Знайти довжину висоти DH.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №20
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (1;-2;-4), В(3;0;1), С(-1;1;1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (-3;1;4), (2;0;-1), (-1;2;3), (4;2;-5) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(3; 1; 1), М2(-2; 4; 0).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки A (2; -1; 3), В(-2; 2; 1) та паралельна осі ОХ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(4; 1; -2) перпендикулярно вектору (3; -5; 2).
-
Дано тетраедр з вершинами , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Його паралельні грані належать площинам та . Знайти об’єм куба.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від точки М(1; -1; 1) і площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 2 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами .
ВАРІАНТ №21
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (3;1;-1), В(2;-1;-1), С(0;3;1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (2;1;-1), (3;2;1), (1;-2; 2), (-3;0;4) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 2; -1), М2(3; -1; 2).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки A (3; -2; 1), В(1; 3; 2) та перпендикулярна площині YOZ
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-1; 3; 4) перпендикулярно вектору (2; -1; 4).
-
Дано тетраедр з вершинами , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OX знайти точку, рівновіддалену від площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(1; 2; -4).
ВАРІАНТ №22
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (2;4;-4), В(-1;0;1), С(1;3;-2). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (-2;-1; 3), (4;1;2), (3; 2;0), (1;3;1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(3; 2;0), М2(4; 1; -3).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку A (2; 1; -4), та вісь OY.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-1; -3; 0) перпендикулярно вектору (3; -2; 1).
-
Дано тетраедр з вершинами , , , . Знайти кут між площинами і .
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від двох площин і .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 3 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(2; 0; -3).
ВАРІАНТ №23
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (-2;1;-2), В(1;-2;-5), С(-4;-1;0). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (1;-2;2), (3;3;-1), (4;0;-6), (1;-3;-3) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(-2; -1; 3), М2(2; -2; -4).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки A (-2; 2; 3), В(1; -2; 1) та паралельна вектору (4; 0; -1).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(3; 1; 4) перпендикулярно вектору (1; 3; -2).
-
Дано 5 точок: A(2; 1; 1), B(-3; 4; -3), C(1; -2; -7), D(-1; -1; -1), E(-2; -5; 0). Знайти кут між площинами ABC і ADE.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OХ знайти точку, рівновіддалену від двох площин і .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та .
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(2; -3; 1).
ВАРІАНТ №24
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (2;-4;1), В(0;3;2), С(-1;2;1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (1;4;2), (-2;3;1), (3;-1;-1), (2;0;3) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 1; -3), М2(-3; 2; 1).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку А(2; 1; 1) і паралельна двом векторам (3; 2; -2) і (1; -1; 4).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(4; 0; 3) перпендикулярно вектору (-2; 5; 1).
-
Дано 5 точок: A(2; 1; 1), B(-3; 4; -3), C(1; -2; -7), D(-1; -1; -1), E(-2; -5; 0). Знайти кут між площинами ACD і ADE.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від точки М(2; 1; 1) та від площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 4 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(-4; 2; 1).
ВАРІАНТ №25
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (2;-1;-2), В(-1;0;2), С(1;1;6). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (3;1;0), (-2;-1;4), (1;3; 2), (2;0;-1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(4; -2; 4), М2(2; -3; -1).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки A (-1; 3; 2), В(2; -2; 0) та перпендикулярна площині .
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-3; 2; -1) перпендикулярно вектору (1; 4; 5).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(3; 1; -4), В(2; -1; 3), С(1; 0; 4), D(-2; 3; 2). Знайти кут між гранями ABC i BСD.
-
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Його паралельні грані належать площинам та . Знайти об’єм куба.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від двох площин і .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між двома площинами і , в якому лежить точка М(-5; 4; -1)
ВАРІАНТ №26
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (1;-1;-1), В(-2;1;-4), С(2;0;5). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (2;0;-4), (-3;-1;-3), (1;1;1), (1;2;5) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(-3; 1; 4), М2(1; 3; -3).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і паралельна двом векторам (4; -1; 3) і (-2; 1; 0).
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(2; 4; 1) перпендикулярно вектору (-4; 1; 3).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; 0; -3), В(4; 1; 2), С(2; -2; 1), D(-1; 2; 3). Знайти кут між гранями ABC i BСD.
-
Тетраедр АВСD задано його вершинами А(1; 2; -1), В(-2; 0; -7), С(-1; 1; -6), D(3; -3; -4). Знайти довжину висоти DH.
-
На осі OХ знайти точку, рівновіддалену від точки М(1; 1; -1) та від площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 1 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл тупий двогранний кут, утворений двома площинами .
ВАРІАНТ №27
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (4;0;3), В(-2;2;3), С(1;-1;0). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (-1; 2;1), (3;-3;-2), (2;1;-1), (4;-2;0) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 1; -4), М2(-3; -1; 2).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(2; 1; -3) і В(-3; -1; 1) та паралельна осі ОХ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(2; -4; 1) перпендикулярно вектору (-3; 0; 5).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; 0; -3), В(4; 1; 2), С(2; -2; 1), D(-1; 2; 3). Знайти кут між гранями ABD i AСD.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OZ знайти точку, рівновіддалену від двох площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №28
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (-2;-1;0), В(-1;1;4), С(2;2;1). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (-2; 2;3), (1;1;-2), (3;-1;1), (2;-2;-3) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(3; 1; -2), М2(-2; 2; 2).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки А(5; 1; -2) і В(-1; 2; 4) та паралельна площині XOY.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(1; 2; 3) перпендикулярно вектору (4; -1; 2).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; -4; -1), В(2; -2; 0), С(-1; 1; 3), D(-2; -1; 4). Знайти кут між гранями ABC i BСD.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OХ знайти точку, рівновіддалену від точки М(2; -1; -2) та площини .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 2 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл тупий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №29
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (1;2;3), В(2;3;4), С(-2;2;4). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (2;1;0), (-1;-2;-6), (-4;0;3), (3;1;-1) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(2; 0; 3), М2(3; 1; -2).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через точку А(6; 2; -3) і вісь OZ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(-3; 1; 2) перпендикулярно вектору (2; 3; 4).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; -4; -1), В(2; -2; 0), С(-1; 1; 3), D(-2; -1; 4). Знайти кут між гранями ACD i BСD.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від точки М(1; 1; -3) та площини .
-
Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних площин та
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами
ВАРІАНТ №30
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 3 точки A (2;2;1), В(-3;-1;2), С(1;1;0). Які відрізки відтинає ця площина на осях координат?
-
Перевірити, чи належать точки (-3;-2;1), (2;1;4), (1;-3; 2), (4;-1;3) одній площині.
-
З’ясувати, чи перетинає площина відрізок, обмежений точками М1(3; 0; 1), М2(-3; 1; 4).
-
Скласти рівняння площини, що проходить через 2 точки A(2; -1; 1) i В(5; 0; 2) та перпендикулярна площині XOZ.
-
Написати рівняння площини, що проходить через точку М1(3; -1; 2) перпендикулярно вектору (-1; -2; -1).
-
Дано тетраедр АВСD з вершинами А(1; -4; -1), В(2; -2; 0), С(-1; 1; 3), D(-2; -1; 4). Знайти кут між гранями ABD i BСD.
-
Знайти відстань між паралельними площинами
.
-
На осі OY знайти точку, рівновіддалену від площин та .
-
Скласти рівняння множини точок, що відстоять від площини на відстані, що дорівнює 3 см.
-
Скласти рівняння площини, що ділить навпіл гострий двогранний кут, утворений двома площинами .