17. Выборочная дисперсия(c 206),выборочная средняя(с200), выборочный коэффициент корреляции(c 261)

Выборочная средняя - среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности

Если все значения признака выборки объёма n различны, то

Если значения признака имеют соответственно частоты , причём , то

Выборочная дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения

Если все значения признака выборки объёма n различны, то )

Если значения признака имеют соответственно частоты , причём , то )

ПРИМЕР: Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Найти выборочную дисперсию:

Р е ш е н и е: Найдём выборочную среднюю ( )

Найдём выборочную дисперсию ( )

Выборочный коэффициент корреляции ,

x,y – варианты(наблюдавшиеся значения) признаков X и Y;

– частота пары вариант (x,y);

n – объём выборки (сумма всех частот)

- выборочные средние квадратические отклонения;

- выборочные средние

18. Методы измерения в социологии(типы переменных-количественные, порядковые, смешанные и номинальные.Примеры).

методоы измерения в социологии

типы переменных

1. Номинальные переменные используются только для качественной классификации. Это означает, что данные переменные могут быть измерены только в терминах принадлежности к некоторым, существенно различным классам; при этом вы не сможете определить количество или упорядочить эти классы. Например, вы сможете сказать, что 2 индивидуума различимы в терминах переменной А (например, индивидуумы принадлежат к разным национальностям). Типичные примеры номинальных переменных - пол, национальность, цвет, город и т.д. Часто номинальные переменные называют категориальными.

2. Порядковые переменные позволяют ранжировать (упорядочить) объекты, указав какие из них в большей или меньшей степени обладают качеством, выраженным данной переменной. Однако они не позволяют сказать "на сколько больше" или "на сколько меньше". Порядковые переменные иногда также называют ординальными. Типичный пример порядковой переменной - социоэкономический статус семьи. Мы понимаем, что верхний средний уровень выше среднего уровня, однако сказать, что разница между ними равна, скажем, 18% мы не сможем. Само расположение шкал в следующем порядке: номинальная, порядковая, интервальная является хорошим примером порядковой шкалы

3. количественные признаки, т.е. такие переменные, которые позволяют измерять степень проявления анализируемого свойства статистически обследуемой фирмы в определенной числовой шкале (в денежных единицах, штуках, квадратных футах и т.п.). 

19. Выборочный коэффициент ранговой корреляции( ранговый коэф. Корреляции Спирмена, Кендалла).

Качественный признак - признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и расположить их в порядке убывания или возрастания качества.

ПРИМЕР: Пусть выборка объёма n содержит независимые объекты, которые обладают 2 качественными признаками, А и В. Для оценки степени связи признаков вводят коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Расположим сначала объекты выборки в порядке ухудшения качества по признаку А при допущении, что все объекты имеют различное качество по обоим признакам Припишем объекту, стоящему на i-м месте, число—ранг равный порядковому номеру объекта. Например, ранг объекта, занимающего первое место, = 1; объект, расположенный на втором месте, имеет ранг и т.д. В итоге получим последовательность рангов по признаку А: х1=1, х2 = 2,…xn=n

Расположим теперь объекты в порядке убывания качества по признаку В и припишем каждому из них ранг , однако (для удобства сравнения рангов) индекс i при у будет по-прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку А. Например, запись y₂ = 5 означает, что по признаку А объект стоит на втором месте, а по признаку В — на пятом. В итоге получим две последовательности рангов:

По признаку А … x₁,x₂,…,x_n

По признаку В …y₁,y₂…,y_n

Заметим, что в первой строке индекс i совпадает с порядковым номером объекта, а во второй, вообще говоря, не совпадает. Итак, в общем случае

Рассмотрим два «крайних случая». 1.Пусть ранги по признакам А и В совпадают при всех значениях индекса i: В этом случае ухудшение качества по одному признаку влечет ухудшение качества по другому. Очевидно, признаки связаны: имеет место «полная прямая зависимость».

2.Пусть ранги по признакам А к В противоположны в том смысле, что если  x₁=1, то y₁=n, если x₂=2, то y₂ =n-1; если x_n=2, то y_n = 1

 этом случае ухудшение качества по одному признаку влечет улучшение по другому. Очевидно, признаки связаны — имеет место «противоположная зависимость».

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена – , где

n – объём выборки

Свойство 1 : если между качественными признаками А и В имеется «полная прямая зависимость» в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях i, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен единице

Свойство 2: если между качественными признаками А и В имеется «противоположная зависимость» в том смысле, что рангу x₁=1 соответствует ранг y₁=n, рангу x₂=2, соответствует ранг y₂ =n-1; рангу x_n=2, соответствует ранг y_n = 1, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен минус единице

Свойство 3 : если между качественными признаками А и В нет ни«полной прямой зависимости » ни «противоположной зависимости» то коэффициент заключен между -1 и +1, причём, чем ближе к нулю его абсолютная величина, тем зависимость меньше

Пример: Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена по данным ранга объектов выборки объема n=10

x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y_i 6 4 8 1 2 5 10 3 7 9

Р е ш е н и е : Найдем разности рангов : -5, -2, -5, 3, 3, 1, -3, 5, 2, 1

Вычислим сумму квадратов разностей рангов =(-5)² +(-2)²+(-5)²+ 3²+ 3²+ 1²+(-3)²+ 5²+ 2² +1²=112

Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции, учитывая, что n=10

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла , где

n – объём выборки

(ниже)

Пусть ранги объектов выборки объема n

По признаку А … x₁,x₂,…,x_n

По признаку В …y₁,y₂…,y_n

Допустим, что правее y₁ имеется R₁ рангов бОльших y₁, правее y₂ имеется R₂ рангов бОльших y₂ итд.

Введем обозначение суммы рангов R_i (i=1,2….n-1)

R=R₁+R₂+…+R_n-1

Пример: Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по данным ранга объектов выборки объема n=10

По признаку А x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

По признаку В y_i 6 4 8 1 2 5 10 3 7 9

Р е ш е н и е : правее ранга у₁=6 имеется 4 ранга (8,10,7,9), бОльших у₁, поэтому R₁=4.

Аналогично найдём R₂=5, R₃=2, R₄=6, R₅=5, R₆=3, R₇=0, R₈=2, R₉=1.

Сумма рангов = 28

Найдём искомый коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая, что n=10