Тема 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал

Если в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q, перемещается другой пробный заряд q₀ из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 7), то при этом совершается работа сил электростатического поля.

Элементарная работа dA силы на элементарном перемещенииравна:

.

Из рисунка 7 видно, что .

Тогда ().

Рис. 7

Работа А при перемещении заряда q₀ вдоль траектории от точки 1 до точки 2:

,

то есть работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 в электростатическом поле не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной (1) и конечной (2) точек, то есть электростатическое поле точечного заряда является потенциальным.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2, выражается следующим образом:

,

где φ₁ и φ₂ – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2.

Потенциал электростатического поля определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной С, то есть для поля точечного заряда q:

.

Тогда ,.

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой , совершаемой силами поля, при перемещении пробного точечного поло­жительного зарядаq₀ из точки 1 в точку 2 :

.

Если считать, что при удалении на бесконечность потенци­ал электростатического поля обращается в нуль (φ_∞=0), то потенциал φ₁ в данной точке поля можно определить следующим образом:

,

то есть потенциал  в данной точке поля равен работе сил электростатического поля при перемещении точечного поло­жительного единичного заряда из данной точки поля на бесконечность.

Циркуляцией вектора напряженности электростатического поляпо произвольному замкнутому контуру l называется интеграл

.

Для того, чтобы найти циркуляцию вектора напряженности по произвольному замкнутому контуруL, необходимо выбрать направление обхода контура, разбить этот контур L на элементы , для каждого элементарассчитать величину( – угол между векторами и), а затем все эти величины сложить, что приводит к искомому интегралу.

Однако для электростатического поля циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуруL может быть легко получена из формулы работы, совершаемой силами электростатического поля при перемещении пробного заряда q₀ по произвольному замкнутому контуру L.

С одной стороны, эта работа равна:

,

а с учетом того, что эта работа равна:

.

С другой стороны, эта работа может быть определена с помощью формулы:

,

из которой следует, что для произвольного замкнутого контура эта работа равна нулю, так как . Тогда и циркуляция векторапо произвольному замкнутому контуруL тоже равна нулю, то есть:

.

Величина , где – угол между векторами иможет быть записана в виде скалярного произведения векторови, то есть, как, а полученное соотношение для циркуляции векторапримет вид:

.

Полученное соотношение является признаком потенциального силового поля. Обращение в нуль циркуляции вектора означает, что силовые линии электростатического поля не являются замкнутыми, они начинаются и заканчиваются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность, что также является свойствомпотенциального силового поля.