1.2Области, пути и кривые,
О п р е д е л е н и е 1. ε-окрестностью точки z0 называется множество
{z z−z0 <ε } .
Очевидно, ε-окрестность точки z0 есть просто круг радиуса ε с центром в z0 , не содержащий свою границу (то есть окружность радиуса ε с центром в z0 ).
О п р е д е л е н и е 2. Проколотой ε-окрестностью точки z0 называется множество
{z 0< z− z |
<ε } . |
|
|
|
|
0 |
|
Очевидно, проколотая ε-окрестность точки |
z0 есть круг радиуса ε с центром в z0 , не |
||
содержащий свой центр и свою границу. |
|
||
О п р е д е л е н и е 3. Множество Ω |
называется открытым, если для любой точки |
||
z0Ω найдётся ε-окрестность точки z0 |
(при некотором ε), содержащаяся в Ω. Пустое |
||
множество |
является открытым по определению. |
||
П р и м е р 1. Множество открыто; множество всех комплексных чисел с действительной частью, большей a, частью открыто, см. рис.1.
22
Рис. 1.
П р и м ер 2. Множества A, B (пунктирные линии им не принадлежат), см. рис.2, являются открытыми; множество C (сплошная линия L ему принадлежит) открытым не является: любая окрестность точки z0 L не входит в C.
23
A
C
L
B
Рис. 2.
24
A
|
C |
B |
L |
|
Рис. 3.
О п р е д е л е н и е 1a. Окрестностью точки z0 называется любое открытое множество U , содержащее z0 .
О п р е д е л е н и е 2а. Проколотой окрестностью точки z0 называется множество U {z0 ) , где U — некоторая окрестность z0 .
25
Im
A
b2
B
b1
Re
Рис. 4.
О п р е д е л е н и е 4. Множество M называется замкнутым, если его дополнениеM открыто.
З а м е ч а н и е 1. Так как = |
и открыто, то пустое множество является |
замкнутым; так как = и |
открыто, то множество всех комплексных чисел |
является замкнутым. Таким образом, множества , являются и открытыми, и |
|
замкнутыми одновременно.
П р и м ер 3. Множества A, B (сплошные линии им принадлежат), см. рис.3, являются замкнутыми; множество C (пунктирная линия ему не принадлежит) замкнутым не является. З а м е ч а н и е 2. Бывают множества и не открытые, и не замкнутые, например, множество C, см. рис. 3.
О п р е д е л е н и е 5. Множество M называется ограниченным, если оно содержится
в некотором круге |
{z z−z |
<R } |
(при некотором R). |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
П р и м ер 4. На рис. 4 множество A ограничено, множество |
B={z b1<Imz <b2 } |
— нет. |
||||
О п р е д е л е н и е 6. Путь на |
есть отображение отрезка действительной прямой |
|||||
[α , β] , α β в |
: γ(t )= f (t)+i g (t), t [ α ,β] |
, где f |
:[α , β]→ , g :[ α ,β]→ |
- |
||
непрерывные функции. Точки |
a= f (α)+i g (α) и |
b= f (β)+i g (β) называются началом и |
||||
26
концом пути соответственно. Путь называется замкнутым, если его начало и конец совпадают.
З а м е ч а н и е 3. Определённый таким образом путь обладает направлением обхода — от a к b, что часто обозначают соответствующей стрелкой.
П р и м е р 4. На рис. 5 представлены пути
γ1 : 2 cos t +i 2 sin t , t [0, π], γ2 : t3+i t2, t [−1, 1 ] , γ 3 : cos 2 t cos t +i sin 2 t , t [ 0, 2 π] .
Рис. 5. |
γ1 |
γ2 |
γ3 |
О п р е д е л е н и е 7. Два пути |
γ1 (t)=f 1 (t)+i g1(t), t [ α1 ,β1 ] |
и |
|
γ2 (t)=f 2 (t)+i g2(t), t [ α2 ,β2 ] |
называются эквивалентными, если существует |
||
непрерывная возрастающая взаимно-однозначная функция τ:[α1 , β1 ]→[α2 ,β2 ] такая, что
γ2 (τ(t))=γ1(t), t [α1 , β1 ] . |
|
|
|
|
||||||
П р и м е р 5. |
Пути |
γ1 (t)=t +2 it , t [ |
0 ,1 ] и |
γ2 (t)=5 t +10i t , t [ 0 , 1 ] |
эквивалентны: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
возьмём τ(t)= |
t |
|
(это возрастающая непрерывная взаимно-однозначная функция |
|||||||
|
||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[0 , 1 ]→[0 , 1 |
] ), тогда |
γ2 (τ(t))=5( |
t |
)+10 i( |
t |
)=γ 1 (t), t [0 , 1 ] . Образом каждого из |
||||
|
|
|||||||||
5 |
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
||
этих путей является отрезок прямой, соединяющий точки O и 1+2i .
З а м е ч а н и е 4. Одно и то же множество точек может соответствовать неэквивалентным путям. Например, может измениться направление обхода, см. рис. 6a и 6b, или количество проходов — на рис. 7a отрезок проходится один раз, на рис. 7b он же проходится дважды.
27
Рис. 6a |
. |
Рис. 6b. |
Рис. 7a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7b. |
|
З а д а ч а |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эквивалентны ли пути |
γ1 (t)=t +isin t , t [−π/2 , π/2 ] и |
|||||||||
3 |
+isin t |
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
? |
|
|
|
|
|||||||
γ2 (t)=t |
|
, t [−√π/2 |
, √π/2 ] |
|||||||
Р е ш е н и е.
Пусть |
τ:[−π/2 |
, π/2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
(это непрерывная взаимно-однозначная |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
] → [−√π/2 |
, √π/2 ], |
τ(t)=√t |
|||||||||||||||
возрастающая функция), тогда |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
(t) |
. Следовательно, пути |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
γ2 (τ(t))=(√t) +i sin ((√t) )=γ1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентны.■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эквивалентны ли пути |
γ1 (t)=t +isin t , t [ 0 , π/2 ] |
и |
γ2 (t)=t2 +i sin t2 , t [−√ |
|
|
|
, √ |
|
|
] |
? |
|||||||||
π/2 |
|
π/2 |
||||||||||||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любой возрастающей взаимно-однозначной функции |
τ:[0 , π/2] → [−√ |
|
, √ |
|
] |
|
||||||||||||||
π/2 |
π/2 |
|
||||||||||||||||||
справедливо τ(0)=−√ |
|
|
, но |
γ1 (0)=0+0i , |
γ2 ( τ(0))=π/2+isin π/2=π/2+i≠γ1(0) , |
|
||||||||||||||
π/2 |
|
|||||||||||||||||||
поэтому данные пути не являются эквивалентными (хотя образы этих путей совпадают).■ |
|
|||||||||||||||||||
Далее мы будем рассматривать только такие пути |
γ (t)=f (t )+i g(t), t [α ,β] , для которых |
|||||||||||||||||||
γ (t1)≠γ(t2) при всех |
t1 , t2 [ α, β], t1≠t2 |
(то есть кривая, являющаяся образом |
|
|||||||||||||||||
отображения , не пересекает саму себя), либо |
γ (t1)≠γ(t2) |
при всех t1 , t2 [ α, β], t1≠t2 |
, |
|||||||||||||||||
кроме t1 =α, t2=β |
, когда |
γ (α)=γ(β) |
. В последнем случае путь называется замкнутым. |
|||||||||||||||||
О п р е д е л е н и е 8. Кривой называется класс эквивалентных путей. |
|
|||||||||||||||||||
Другими словами, кривая — это некоторое множество точек в и все те эквивалентные |
|
|||||||||||||||||||
пути, образом которых оно является. У каждой кривой имеется направление обхода — |
|
|||||||||||||||||||
направление, задаваемое ростом параметра t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Например, пути γ1 ,γ 2 |
из Примера 5 являются представителями одной и той же |
|
||||||||||||||||||
(незамкнутой) кривой, а именно, отрезка прямой, начинающегося в точке O и |
|
|||||||||||||||||||
заканчивающегося в точке |
1+2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П р и м е р 6. Путь |
γ1 (t)=2 cos t +i2 sin t , t [0 ,2 π] |
и все эквивалентные ему пути задают |
||||||||||||||||||
замкнутую кривую, образом которой является окружность радиуса 2 с центром в O, с |
|
|||||||||||||||||||
направлением обхода против часовой стрелки. Путь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
γ2 (t)=2 cos (2 π−t)+i2 sin(2 π−t), t [ 0 ,2 π] |
и все эквивалентные ему пути задают |
|
||||||||||||||||||
замкнутую кривую, образом которой является окружность радиуса 2 с центром в O, с |
|
|||||||||||||||||||
направлением обхода по часовой стрелке. Это — разные кривые, так как задаются |
|
|||||||||||||||||||
неэквивалентными путями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
О п р е д е л е н и е 9. (Кусочно-) гладкой кривой называется кривая, задаваемая путём |
|
|||||||||||||||||||
γ (t)=f (t )+i g(t), t [α ,β] |
, где |
f , g |
- (кусочно-) гладкие функции. |
|
||||||||||||||||
О п р е д е л е н и е 10. Подмножество |
D |
называется линейно связным, если для |
|
|||||||||||||||||
любых двух точек |
a , b |
найдётся соединяющий их непрерывный путь |
|
|||||||||||||||||
29
γ(t), γ (α)=a, γ(β)=b , целиком лежащий в D.
Оп р е д е л е н и е 11. Областью называется открытое линейно связное подмножество
D .
Пр и м е р 7. Множество из Примера 1 (см. рис.1) является областью; множества A и B из Примера 2 являются областями, а множество C — нет (см. рис.2).
Множества A, B, C из Примера 3 (см. рис. 3) не являются областями.
В Примере 4 множество B — область, а множество A — нет (см. рис.4).
Пр и м е р 8. Множество, изображённое на Рис.8, не является областью, так как не обладает линейной связностью (но оно является объединением двух непересекающихся областей).
Рис. 8.
О п р е д е л е н и е 12. Границей области G называется множество точек плоскости таких, что в любой окрестности каждой из них имеются точки, принадлежащие G и не принадлежащие G. Граница области G часто обозначается ∂G .
П р и м е р 9. Граница области A, см. рис.2, состоит из трёх замкнутых кривых. Граница области B на том же рисунке состоит из одной замкнутой кривой. Граница области B на рис.4 состоит из двух прямых.
З а д а ч а 3. |
|
|
1. |
Является ли плоскость «с проколотой точкой» (то есть {O } |
) областью? Что |
является её границей? |
|
|
2. |
Что является границей множества {s+ti , −1<t<1, −2<s<3 } |
? |
Р е ш е н и е. |
|
|
1.Является, так как для любой её точки найдётся окрестность, не содержащая O. Граница состоит только из точки O.
2.Прямоугольник
30
{−2+ti , −1 t 1} {3+ti , −1 t 1 } {s−i , −2 s 3} {s+i , −2 s 3} .■
Оп р е д е л е н и е 13. Ограниченная область G называется односвязной, если её граница связна. Ограниченная область G называется многосвязной, если её граница несвязна.
П р и м е р 10. Область B на Рис.2 односвязна, область A на том же рисунке — трёхсвязна.
Оп р е д е л е н и е 14. Компактным множеством называется замкнутое ограниченное множество.
П р и м е р 11. Множества, изображённые на Рис.2, не являются компактными, так как ни одно из них не является замкнутым (но все ограничены).
Множества A и B на Рис.3 компактны.
Множество A на Рис.4 компактно, множество B - нет (и не замкнуто, и не ограничено). Множество, изображённое на Рис.8, не является компактными, так как оно не замкнуто. Множества точек, изображённые на Рис.6 (a,b) и 7 (a,b), являются компактными.
З а м е ч а н и е 5. Ограниченное, но не замкнутое множество G можно дополнить до
компактного |
G |
, объединив его со своей границей: |
G = G∂G . |
|
̄ |
|
̄ |
31