- •1.6 Полярная и цилиндрическая системы координат
- •1. Полярная система координат.
- •1. Цилиндрические координаты точки в пространстве.
- •2.1 Понятие вектора
- •4.3 Проекция вектора на направление другого вектора
- •5.1 Определение векторного произведения
- •5.2 Вычисление векторного произведения двух векторов
- •5.3 Свойства векторного произведения
- •7.2 Плоскость
- •7.3 Прямая в пространстве
- •7.4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •8.1 Определение предела
- •8.2 Свойства пределов
- •8.3 Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •8.4 Первый замечательный предел
- •9.1 Определение функции одной переменной
- •9.2 Способы задания функции
- •9.3 Основные свойства функции
- •9.4 Основные элементарные функции. Их графики
- •10.1 Односторонние пределы
- •10.2 Определение непрерывности функции
- •10.2 Классификация точек разрыва функции
- •11.1 Определение второго замечательного предела
- •11.2 Следствия из второго замечательного предела
- •13.1 Определение приращения функции
- •13.2 Определение производной функции
- •13.3 Свойства производной функции
- •13.4 Производные основных функций
- •13.5 Производные обратных функций
- •14.1 Определение гиперболических функций
- •14.2 Производные гиперболических функций
- •14.3 Производные сложных функций
- •14.4 Производные высших порядков
- •15.1 Параметрическое задание функций
- •15.2 Производные параметрических функций
- •15.3 Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке
- •16.1 Определение дифференциала. Его геометрический смысл
- •16.2 Свойства дифференциала
- •17.4 Теорема Лагранжа
- •17.5 Правило Лопиталя
- •17.6 Производная от функции в степени функции
- •18.1 Определение экстремума
- •18.2 Условия существования экстремума
- •18.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •18.4 Точки перегиба графика функции
- •19.1 Вертикальные асимптоты
- •19.2 Наклонные асимптоты
- •20.1 Определение степенного ряда
- •20.2 Ряд Тейлора
- •20.3 Ряд Маклорена
16.1 Определение дифференциала. Его геометрический смысл
Рассмотрим функцию .
По определению производной:
Выражение является бесконечно малой функцией приболее высокого порядка, чем. Т.е. приращение функции состоит из двух слагаемых, первое из которых называетсяглавной частью приращения, а второе является бмв.
Главная часть приращения функции называется дифференциалом данной функции и обозначается:
(16.1)
Найдем дифференциал функции :
.
Следовательно, дифференциал аргумента равен приращению этого аргумента:
(16.2)
Формулу (16.1) можно записать в виде:
(16.3)
Из формулы (16.3) вытекает то, что производная функции равна отношению дифференциалов функции и аргумента, т.е.:
(16.4)
Проведем к графику функции в некоторой точкекасательную. Зададим в этой же точке приращение аргументу, при этом функция получит приращение. Из рисунка очевидно то, чтодифференциал данной функции в точке равен приращению ординаты касательной в этой точке.
16.2 Свойства дифференциала
16.3 Дифференциалы высших порядков
Дифференциал второго порядка равен дифференциалу от дифференциала первого порядка и т.д. Обозначения:
ЛЕКЦИЯ 17
Теоремы о дифференцируемых функциях
17.1 Теорема Ферма
Пусть функция непрерывна на некотором промежуткеи в некоторой точкепринимаетнаименьшее или наибольшее значение, то если в этой точке существует производная данной функции, то эта производная равна нулю.
17.2 Теорема Ролля
Если функция непрерывна на некотором промежутке, дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах этого промежутка принимает одинаковые значения, т.е. выполняется равенство:, то внутри данного промежутка существуетхотя бы одна точка , в которой производная функцииобращается вноль:
17.3 Теорема Коши
Пусть функции инепрерывны на отрезкеи дифференцируемы на интервале, причемдля. Тогда существуетхотя бы одна точка , в которой выполняется равенство:
(17.1)
Доказательство.
Заметим сначала, что выполняется неравенство , т.к. равенство нулю этой разности противоречит теореме Ролля.
Введем вспомогательную функцию:
.
На концах отрезка эта функция равна:
Таким образом, функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале, т.к. являетсялинейной комбинацией непрерывных и дифференцируемых функций, и принимает на концах отрезка равные значения.
Следовательно, согласно теореме Ролля, внутри отрезка существуетхотя бы одна точка , в которой производная функцииобращается в ноль. Имеем:
Что и требовалось доказать.