Глава 02 Векторная алгебра

тор a имеет начало в точке О, а конец в точке М, то вектор [a, b]

представляет собой момент силы b относительно точки О.

Теорема 2.20. Модуль векторного произведения [a, b] равен пло-

щади S параллелограмма, построенного на неколлинеарных векто-

► Из геометрии, изучаемой в школе, известно, что площадь парал-

лелограмма равна произведению смежных сторон этого параллело-

грамма на синус угла между ними. Справедливость теоремы вытека-

ет из определения векторного произведения. ◄

Определение 2.16. Ортом произвольного ненулевого вектора a

называют единичный вектор, коллинеарный a и имеющий с ним одинаковое направление.

Очевидна следующая теорема.

Теорема 2.21. Если е - орт векторного произведения [a, b], а S −

площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векто-

рах a и b, приведенных к общему началу, то

Смешанное произведение трех векторов и его свойства

Определение 2.17. Смешанным произведением тройки векторов a, b, c называется число (оно обозначается символом (a,b,c)), для вычисления которого необходимо вначале найти векторное произ-

ведение вектора a на вектор b, а, затем, получившийся вектор

[a, b] умножить скалярно на вектор c: (a,b,c)=([a, b], c) .

Геометрическая интерпретация смешанного произведения выявляется в следующей теореме.

Теорема 2.22. Смешанное произведение трех некомпланарных век-

торов a, b, c по модулю численно равно объёму параллелепипеда,

построенного на этих векторах. Оно положительно, если тройка a, b, c правая, и отрицательно, если она левая.

► Теорема 2.21 и формула (2.5 ) позволяют записать

где S площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b,

а e − орт вектора [a, b]. Вектор e перпендикулярен плоскости, оп-

ределяемой векторами a и b, поэтому прe c H . Здесь H − вы-

сота параллелепипеда, опущенная из конца вектора c на основание параллелепипеда (рис. 2.9).

Так как объём параллелепипеда равен произведению площади осно-

вания на его высоту, проведенную к основанию, то

Тройка векторов a b e правая по определению векторного

произведения, поэтому, если тройка a b c тоже правая, то векторы

e и c находятся по одну сторону основания параллелепипеда. В

этом случае угол между векторами e и c будет острым, прe c 0 и

прe c H . Если же тройка a b c левая, то векторы e и c находятся по разные стороны основания параллелепипеда, угол между векто-

рами e и c будет тупым, а прe c 0 и прe c H . Таким образом,

выражение (2.15) показывает, что смешанное произведение векторов правой тройки всегда положительно, а левой – отрицательно. ◄

c

Нb

е

a

Рис.2.9

Смешанное произведение векторов позволяет сформулиро-

вать удобное для применения условие компланарности.

98 Глава 2. Векторная алгебра

Теорема 2.23. Три вектора a , b и с компланарны в том и толь-

ко в том случае, если их смешанное произведение равно нулю.

► Необходимость. Пусть векторы компланарны. Представляют ин-

терес два случая. В первом случае векторы a и b коллинеарны, по-

этому [a, b] 0 и, следовательно, (a,b,c) 0. Во втором случае векторы a и b не коллинеарны. По условию (векторы компланар-

ны) вектор с лежит в плоскости векторов a и b , а вектор [a, b]ор-

тогонален к ней. Поэтому вектор с ортогонален вектору [a, b] и их

скалярное произведение, то есть ([a, b], c), равно нулю.

Достаточность. Дано, что (a,b,c) 0. Предположим, что векторы

a , b и с некомпланарные. Но тогда по теореме 2.22 модуль их смешанного произведения, равный объёму параллелепипеда, по-

строенного на этих векторах, не может равняться нулю. Возможен

только один вывод − векторы a , b и с компланарны. ◄

Из теорем 2.22 и 2.23 следует равенство

Алгебраические свойства векторного произведения

Теорема 2.24. Векторное произведение антикоммутативно, то есть

линии действия, разные у них только направления. Поэтому они станут равными, если один из них умножить на 1.◄

Теорема 2.25. Для любых векторов a , b , c и любых чисел t и s имеет место равенство

► Единственность разложения вектора по базису (теорема 2.9) га-

рантирует равенство двух векторов, имеющих в каком то базисе одинаковые координаты. Обозначим

d [(t a s b), c] и h t [a,c] s [b, c].

Пусть в базисе i j k векторы d и h имеют координаты

(d1,d2,d3) и (h1,h2,h3)соответственно. Теорема будет доказана,

если покажем, что d1 h1 , d2 h2 , d3 h3 . Проверим равенство

первых координат векторов. Имеем, принимая во внимание свойства скалярного произведения и формулы (2.12) и (2.17), что

d1 (d, i) (([t a s b), c], i) ((t a s b), [c, i])=

t (a, [c, i]) s (b, [c, i]);

100 Глава 2. Векторная алгебра

h1 (h, i) ((t [a, c] s [b, c]), i) t ([a, c],i)

s ([b, c], i) t (a, [c, i]) s (b, [c, i]) .

Так как и d1 иh1 сводятся к одним и тем же выражениям, то они равны.

Аналогично, но уже с привлечением других векторов базиса

(векторов i и j ), доказывается, что d2 h2 и d3 h3 . ◄

Вычисление векторного и смешанного произведений

через координаты векторов в ортонормированном базисе

Теорема 2.26. Если a a1i a2 j a3k и b b1i b2 j b3k , то в

этом случае векторное произведение этих векторов можно найти с помощью определителя третьего порядка:

каждой из них выпишем её векторное произведение. Учитывая, что векторы i, j , k взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют длину равную единице, получим

[i, i]=[ j, j] =[k, k] 0, [i, j] k , [ j, i] k, [i, k] j , [k, i] j , [ j, k] i , [k, j] i .

Далее, принимая во внимание теорему 2.25, имеем

[a, b] [(a1 i a2 j a3 k), b] a1 [i, b] a2 [ j, b] a3 [k, b].

Здесь

[i, b] b1 [i,i] b2 [i, j] b3 [i, k] b2 k b3 j;

[ j, b] b1 [ j,i] b2 [ j, j] b3 [ j, k] b1 k b3 i ;

[k, b] b1 [k,i] b2 [k, j] b3 [k, k] b1 j b2 i.

В итоге получим:

[a,b] a1 (b2 k b3 j) a2 ( b1 k b3i) a3 (b1 j b2 i).

Отсюда, после соответствующей группировки членов равенства, на-

ходим, что

► Равенство (2.23) есть результат последовательного применения формул (2.8) и (2.22). ◄

с с1i с2 j с3k , то векторы a , b , с компланарны тогда и

только тогда, когда

► Является следствием теорем 2.23 и 2.27.◄

2.4.Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов

Эти условия будут широко использоваться в следующей гла-

ве. Все уравнения плоскостей и прямых, о которых там будет идти речь, получаются в следствии либо коллинеарности, либо ортого-

нальности, либо компланарности определенных векторов. Поэтому целесообразно собрать их в одном месте и ещё раз обратить на них внимание. Номера теорем и формул оставлены без изменения – они те же, какими они были в предыдущем параграфе.

Условия коллинеарности

Векторы называются коллинеарными, если их линии дейст-

вия совпадают или параллельны.

Теорема 2.1. Ненулевые векторы a и b коллинеарны в том и

только в том случае, если существует число t такое, что справед-

ливо равенство:

коллинеарны в том и только в том случае, если их координаты про-

порциональны:

Условия ортогональности

Векторы называются ортогональными, если угол между ними прямой.

Теорема 2.14. Два ненулевых вектора ортогональны в том и только в том случае, если равно нулю их скалярное произведение.

Теорема 2.16. Векторы a a1i a2 j a3k и b b1i b2 j b3k ор-

тогональны в том и только в том случае, если

Условия компланарности

Три или большее число векторов называются компланарны-

ми, если существует плоскость, которой параллельны линии дейст-

вия всех этих векторов.

104 Глава 2. Векторная алгебра

Теорема 2.7. Три вектора a , b и с компланарны в том и только в том случае, если существуют числа t и s такие, что

то есть один из них разложен по двум оставшимся.