Глава 02 Векторная алгебра

Прямую линию с заданным на ней направлением называют

осью. Обычно ось задается вектором5, с линией действия и направ-

лением которого она совпадает. Ось, задаваемую вектором a, будем

эти направления противоположны.

Проекцию вектора а на ось, определяемую вектором b,

будем называть проекцией вектора а на вектор b.

Из определения 2.11 следует, что:

1. прв a a cos , где − угол между векторами а и b;

2.прв a не зависит от b ;

3.декартовы координаты вектора равны проекциям этого век-

тора на соответствующие базисные вектора i, j, k .

5 Если ось задается единичным вектором, то этот вектор называют ортом данной оси.

Теорема 2.13. Проекция суммы двух векторов (на произвольную ось)

равна сумме проекций этих векторов, а при умножении вектора на число на это число умножается и его проекция.

► Пусть даны любые два вектора a, b и произвольная ось. Рассмот-

рим ортонормированный базис, один из векторов которого (напри-

мер, первый) сонаправлен с вектором, определяющим заданную ось.

Тогда проекции на эту ось векторов a, b и a b совпадут с их первыми декартовыми координатами в таком базисе. Как известно

(теоремы 2.10 и 2.11), при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении на число все они ум-

ножаются на это число. ◄

Определение скалярного произведения

Определение 2.13. Скалярным6 произведением двух векторов назы-

вается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а и b будем обозначать

символом (a, b). Если угол между векторами а и b равен , то по

определению

6 Числа называют скалярами. Поэтому само название «скалярное» говорит о том, что скалярное произведение двух векторов это число, которое ставится в соответствие этим векторам по определенному правилу.

Используя введенное выше понятие проекции вектора а на

вектор b, можем записать, что

Очевидно, что скалярное произведение вектора а на единичный

вектор e равно проекции вектора а на вектор e:

В частности, отсюда следует, что координаты любого единичного вектора равны косинусам углов, которые он образует соответствен-

но с осями Ox, Oy и Oz. Поэтому координаты единичных векто-

ров принято называть их направляющими косинусами.

Понятие скалярного произведения появилось в механике.

Работа силы а, точка приложения которой перемещается из начала

в конец вектора b, равна a b cos , то есть она равна скалярно-

му произведению этих векторов.

Алгебраические свойства скалярного произведения

Отметим следующие четыре свойства скалярного произве-

дения:

1.(a, b) (b, a);

2.(t a, b) t (a, b) ;

3.((a b), c) (a, c) (b, c);

a − нулевой вектор.

Первое свойство очевидно – оно прямо вытекает из формулы

(2.4).

Убедимся в справедливости второго и третьего свойства.

►Из теоремы 2.13 следует, что

прc (t a) =t прc a и прc (a b) прc a прcb.

Умножив обе части последних двух равенств на число с , получим:

с прc (t a) =t спрc a и с прc(a b) с прc a с прc b.

А это и есть искомые соотношения (смотри формулы (2.5)). ◄

Остается доказать свойство 4.

►Из определения (формула (2.4)), найдём, что

Дальнейшие выводы очевидны. ◄

Замечание. Длину любого вектора а можно вычислить по формуле

Алгебраические свойства скалярного произведения позво-

ляют при скалярном перемножении линейных комбинаций векторов выполнять действия почленно, вынося числовые множители и не обращая внимания на порядок векторных множителей.

Линейное пространство называют евклидовым пространст-

вом, если

1.любым двум его элементам (векторам) по определенному правилу ставится в соответствие число, называемое скаляр-

ным произведением этих элементов;

2.правило, определяющее скалярное произведение, должно

быть таким, чтобы выполнялись выписанные выше четыре свойства.

Таким образом, множество всех геометрических векторов с оп-

ределенными выше линейными операциями и скалярным произве-

дением есть пример евклидова пространства.

Геометрические свойства скалярного произведения

Теорема 2.14. Два ненулевых вектора ортогональны в том и только в том случае, если равно нулю их скалярное произведение.

► Необходимость. Когда векторы ортогональны, то угол между ними прямой, а косинус такого угла равен нулю. Поэтому равно ну-

лю и их скалярное произведение.

Достаточность. По условию теоремы длины векторов нулю не равны, но равно нулю их скалярное произведение, что возможно только в том случае, когда равен нулю косинус угла между ними. В

промежутке [0, ] есть только один угол, косинус которого равен нулю – это прямой угол. Поэтому векторы ортогональны. ◄

Пусть a и b − два ортогональных вектора. Тогда их сумма

с a b есть вектор, длина которого равна гипотенузе прямо-

угольного треугольника с катетами |a| и |b|. Следовательно

Мы доказали теорему Пифагора, причем гораздо проще, чем это де-

лалось в школьном курсе геометрии.

Выражение скалярного произведения через координа-

ты векторов в ортонормированном базисе

Пусть a a1i a2 j a3k и b b1i b2 j b3k . Тогда спра-

ведливы следующие утверждения.

Теорема 2.15. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат в ортонормирован-

ном базисе.

► Так как базис i, j, k ортонормированный, то (формулы (2.6))

(i, i)=( j, j) =(k, k) 1,

а (теорема 2.14 и свойство 1)

(i, j)=( j, i)=(i, k) =(k, i) =( j, k)=(k, j)=0.

Поэтому (свойства 2, 3)

(a, b) ((a1 i a2 j a3 k), b) a1 (i, b) a2 ( j, b) a3 (k, b).

Учитывая, что

(i, b) b1 (i,i) b2 (i, j) b3 (i, k) b1 ;

( j, b) b1 ( j,i) b2 ( j, j) b3 ( j, k) b2 ;

Обратите внимание: хотя в разных ортонормированных ба-

зисах векторы a и b имеют различные координаты, тем не менее,

сумма произведений их соответствующих координат есть величина постоянная и не зависит от выбора базиса.

Теорема 2.16. Два ненулевых вектора ортогональны в том и только в том случае, если сумма произведений их соответствующих коор-

динат равна нулю:

где угол между вектором a и вектором b.

► Следует из формул (2.4) и (2.8). ◄

Теорема 2.19. Если a a1i a2 j a3k , то

► Следует из свойств скалярного произведения.◄

2.3.Векторное и смешанное произведения векторов

Ориентация тройки векторов

Записывая тройки векторов, эти векторы всегда располагают в порядке их следования. Запись abc означает, что первым элемен-

том тройки является вектор a, вторым – вектор b и третьим – век-

тор c.

Определение 2.14. Тройка7 некомпланарных векторов abc называ-

ется правой (левой), если из конца третьего вектора кратчайший по-

ворот от первого ко второму наблюдается происходящим против движения часовой стрелки (по движению часовой стрелки).

7 Предполагается, что все рассматриваемые векторы приведены к общему началу.

Нетрудно убедится, что тройка a b c , изображенная на

рис.2.7 является правой, а тройка abc, изображенная на рис.2.8,

является левой.

Очевидно, что ориентация тройки изменится, если переста-

вить местами любые два рядом стоящие вектора тройки или поме-

нять направление одного из них, умножив его, например, на 1.

Ориентация тройки не изменится, если её первый вектор перемес-

тить в «конец» тройки, сделав тем самым второй вектор – первым, а

третий – вторым. Всего из трех векторов a , b и c можно составить шесть троек. Если abc правая тройка, то тройки bcа и cаb тоже правые, а тройки bаc, аcb и cba − левые.

В математике существует традиция (договоренность − мож-

но и так сказать) использовать, как правило, базисы с правой трой-

кой векторов (так называемые, правые базисы). Противный случай оговаривается особо. Поэтому далее термин базис будет соответст-

вовать базису с правой тройкой векторов.

Векторное произведение двух векторов

Определение 2.15. Векторным8 произведением неколлинеарных векторов a и bназывается вектор, который обозначается символом

[a, b] и удовлетворяет следующим трем требованиям:

1. длина вектора [a, b] равна произведению длин векторов a и b на синус9 угла между ними − [a, b] a b sin ;

2.вектор [a, b] ортогонален каждому из векторов a и b;

3.вектор [a, b] направлен так, что тройка векторов является

правой.

Векторным произведением коллинеарных векторов является нуле-

вой вектор10.

Понятие векторного произведения пришло из механики. Ес-

ли под вектором b понимать силу, приложенную в точке М, а век-

8Слово «векторное» в названии произведения подсказывает, что результатом этого произведения может быть только вектор.

9По определению угол между векторами не превосходит π, поэтому

sin 0 и определенная таким образом длина вектора не может быть отрицательной.

10 Случай коллинеарных векторов оговаривается особо, т.к. в такой ситуа-

ции бессмысленно говорить о том, что тройка векторов a b [a, b] является правой. Хотя при этом 0 , поэтому sin 0, следовательно, и

|[a,b]| | a | | b | sin 0 , что справедливо только для нулевого вектора.