ОиАС-2
.pdf
Исключая переменную u, получим систему из двух уравнений
a 2qx;
x ax 12 b2
Дифференцируя второе уравнение с учетом первого, имеем
x ax 12 b2 a 2qx
Исключая из этого уравнения переменную
|
2 |
x ax |
|
|
|
||
b2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
получим окончательно уравнение для экстремали x(t): |
|
|
|
||||
x a2 |
qb2 x 0 |
(2.1.36) |
|||||
Решение этого уравнения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = c et/τ + c et/τ |
(2.1.37) |
||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
qb2 |
||||
|
|
|
|
||||
Используя граничные условия (2.1.33), получим постоянные c1 и с2.
31
Пример 2.1.6.
Решим задачу поворота вала двигателя на угол 1 рад. с последующей остановкой за 10 с. при минимальном расходе энергии без учета момента сопротивления:
x1 |
x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
u |
|
|
|
x1(0)= x2(0)= 0; x1(10)=1; |
x2(10)=0 |
|
J u2 dt |
min |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
Составим вспомогательный функционал: |
|
|
|
|
|
|
|||||
J1 |
t1 |
u |
2 |
1 t x1 x2 2 t x2 |
u |
t1 ~ |
x1 |
, x2 |
,u, 1 , 2 dt |
|
|
|
|
dt 0 |
|
||||||||
|
|
t0 |
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
Запишем уравнения Эйлера для вспомогательного функционала:
~ |
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
d |
0 |
0 |
1 0 |
0 |
|
|
|
d |
|
|
0 |
|
|
0 |
x1 x2 0 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x1 |
dt x1 |
1 |
dt 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
~ |
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
d 0 |
0 |
1 2 0 |
|
|
0 |
|
|
|
d |
0 |
|
0 |
x2 u 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 |
dt x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
dt |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~ |
~ |
|
|
||
0 |
|
d |
0 |
0 |
2u 2 0 |
u |
|
||||
|
dt u |
|
|
||
32 |
|
|
|
|
|
Разрешим полученную систему
1 0 |
1 t C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 2 0 |
2 C1 |
|
|
|
2 t C1t C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2u 2 0 |
|
|
u t |
C1t C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 u 0 |
x |
|
|
C1t C2 |
|
x |
t |
C1t 2 |
|
|
C2t |
C |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x1 x2 0 |
x1 |
|
|
C1t 2 |
|
|
C2t |
C3 |
|
x1 t |
C1t3 |
|
C2t 2 |
C3t C4 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
12 |
4 |
|
|
|||||||
Используя граничные условия определим неизвестные константы:
x 0 C |
|
0 |
x1 |
|
|
C1 103 |
|
|
C2 102 |
|
1 |
C |
3 |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
10 |
12 |
4 |
|
|
1 |
125 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 0 C3 0 |
x2 |
10 |
C1 102 |
|
|
C2 10 |
|
0 |
C |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
25 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
33
Оптимальное управление и оптимальные траектории движения имеют вид:
|
* |
t |
1 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
125 |
|
|
25 |
|
|
|||||||
* |
t |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
3t |
2 |
|
|||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
* |
t |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
50 |
10 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
34