ОиАС-2

Откуда следует, что c1 = c2=0, и таким образом, экстремалью функционала (2.1.12) с подвижными границами является x(t) ≡ 0.

Если предположить теперь, что наряду с х0, х1 нефиксированы и числа t0, t1, то, используя (2.1.19), (2.1.20), получим

Из этих равенств следует, что x(t0)=x(t1) =0 независимо от t0 и t1, и поэтому из (2.1.15) получим вновь c1 = c2=0. Таким образом, и в этом случае экстремалью является x(t) ≡ 0.

21

Пример 2.1.4.

Исследуем, выполняется ли это условие для экстремалей (2.1.14): x(t) = c1et/τ + c2e–t/τ

Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае

2 0 t, x t , x t 2 2 0

x t x t

и, следовательно, на кривых (2.1.14) функционал (2.1.12) достигает минимума.

23

Рассмотренная ранее задача об оптимальном программном движении является по математическому содержанию задачей на условный экстремум, в которой требуется найти вектор – функции x(t), u(t), доставляющие минимум функционалу (1.1.4)

t1

J x,u,t dt

t0

причем эти функции должны удовлетворять дифференциальному уравнению

а также интегральным связям (1.1.7)

и ограничениям (1.1.5)

Опустим пока эти связи и ограничения и для удобства изложения введем в

функционал производные переменных состояния и управлений.

25

Итак, требуется найти экстремали функционала

удовлетворяющие граничным условиям

и являющиеся решением уравнений связей (2.1.23).

x x,u,t

Эта задача называется задачей Лагранжа.

Если в функционале (2.1.24) отсутствует производная какой-либо из компонент векторов x или u, то, естественно, что граничные условия для нее не задаются.

26

Переходя к решению, введем в рассмотрение новый функционал

ψ(t) – n-мерный вектор, компонентами которого являются пока неопределенные функции, называемые множителями Лагранжа. С помощью этих множителей задача об условном экстремуме функционала (2.1.24) сводится к задаче на безусловный экстремум функционала (2.1.27). Уравнения Эйлера для

Уравнения (2.1.23), (2.1.29), (2.1.30) образуют систему из 2n + m уравнений,

которые называются уравнениями Эйлера – Лагранжа, для определения такого

27

же числа неизвестных xi(t), ψi(t) (i=1, …, n), uk(t) (k=1, …, m).

Если кривые xi(t), uk(t) (i=1, …, n; k=1, …, m) доставляют безусловный экстремум функционалу (2.1.27)

t1

J1 ~0 x, x,u,u, ,t dt

t0

то на них достигается и условный экстремум функционала (2.1.24).

t1

J 0 x, x,u,u,t dt

t0

Действительно, если на указанных кривых достигается безусловный экстремум функционала (2.1.27), то они удовлетворяют уравнениям Эйлера (2.1.23), (2.1.29), (2.1.30).

Это означает [см. (2.1.28)], что на таких кривых значение функционала J1=J. И если они доставляют безусловный экстремум функционалу (2.1.27), то они будут доставлять экстремум и в более узком классе кривых, удовлетворяющих уравнениям связей (2.1.23).

28

Обратное утверждение о том, что функции xi(t), uk(t) (i=1, …, n; k=1, …, m), доставляющие условный экстремум функционалу (2.1.24) при наличии связей (2.1.23), будут являться безусловными экстремалями функционала (2.1.27), дает следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Если функции xi(t), uk(t) (i=1, …, n; k=1, …, m) доставляют экстремум функционалу (2.1.24), удовлетворяют уравнениям связи (2.1.23) и краевым условиям (2.1.25), (2.1.26), то существуют такие множители

ψ1(t), ..., ψn(t), что эти функции удовлетворяют уравнениям Эйлера (Эйлера – Лагранжа) для функционала (2.1.27).

29

Пример 2.1.5. Найдем экстремали функционала

30