ОиАС-1

Поэтому реальное движение описывается функциями:

Числа δxi(t0) (i= 1… n) – достаточно малые, но неизвестные числа, являющиеся случайными погрешностями при реализации заданных начальных условий (1.1.2).

Об этих погрешностях обычно известно лишь, что они удовлетворяют неравенству

известное число

Нетрудно получить уравнения (уравнения возмущенного движения),

описывающие отклонения фактического движения от программного

(невозмущенного) движения.

21

Принимая во внимание, что функции (1.2.1) удовлетворяют (1.1.1), и вычитая из уравнений

x&i* (t )+δx&i (t ) = ϕi [x1* (t )+δx1 (t ),K, xn* (t )+δxn (t ), u1* (t )+δu1 (t ),K, um* (t )+δum (t ),t ]

тождества

получим уравнения возмущенного движения

δϕi [δx1 (t ),K,δxn (t ),δu1 (t ),K,δum (t ),t]=

=ϕi [x1* (t )+δx1 (t ),K, xn* (t )+δxn (t ),u1* (t )+δu1 (t ),K,um* (t )+δum (t ),t]− −ϕi [x1* (t ),K, xn* (t ),u1* (t ),K,um* (t ),t]

22

Если функции δφi(t) (i= 1… n) разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

символ |* означает, что частные производные вычисляются в точке xi = xi*, uk = uk*

(i= 1… n, k=1… m);

oi(δx1, ..., δxn, δu1, ..., δum) (i= 1… n) – функции, разложение которых в ряд Тейлора начинается с членов второго порядка малости.

Отбрасывая в (1.2.4) нелинейные члены, получим уравнения первого приближения

23

Используем δuk(t) (k=1… m) для сближения этих движений, тогда δuk(t) (k=1… m)

называются стабилизирующими управлениями.

Таким образом, результирующие управления

uk(t) = uk*(t) + δuk(t) (k=1… m)

состоят из программных и стабилизирующих управлений. Подставляя это выражение в (1.1.5), получим ограничения на стабилизирующее управление:

Это объясняется тем, что программное управление обеспечивает основное (программное) движение системы, а стабилизирующее управление лишь «парирует» малые отклонения от программного движения, обеспечивая, если t1 →∞, устойчивость (отсюда термин «стабилизирующее управление») и требуемую точность осуществления программного движения.

25

В связи с этим часто вместо ограничений (1.2.7), определяющих допустимый «расход» стабилизирующего управления в каждый момент времени, накладывают на стабилизирующие управления интегральные ограничения (ограничения на «энергию»)

Стабилизирующее управление предназначено для минимизации интеграла (1.2.9). Кроме того, если t1 →∞, то для существования этого интеграла стабилизирующее управление должно обеспечивать асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.2.4).

26

Если отыскивать стабилизирующее управление как явную функцию времени (по аналогии с программным управлением), то для каждого начального условия из множества (1.2.2) получим управления

δuk[t, δx1(t0),…, δxn(t0)] (k=l… m),

для реализации которых необходимо измерять переменные состояния в момент времени t=t0, так как числа δxi(t0) (i=l… n) неизвестны. Кроме того, функции

δuk[t, δx1(t0),…, δxn(t0)]

будут различными для каждого набора δxi(t0) (i=l… n) из множества (1.2.2).

В связи с этим естественно отыскивать стабилизирующее управление не как

Заметим, что вид этих функций не зависит от начальных условий из множества (1.2.2). Поясним это обстоятельство подробнее.

27

Допустим, что найдено управление

δuk0(t)=rk0[δx1(t),…, δxn(t), t] (k=1… m),

при котором (1.2.9)

принимает наименьшее значение на движениях системы (1.2.4),

и пусть в начале движения оптимальной системы реализовались начальные условия δxi*(t0) (i=l… n).

Подставляя в (1.2.4) δuk0(t)=rk0 (k=l… m), решим это уравнение и, подставляя его решения в (1.2.9), вычислим значение интеграла.

Получим число J(t0, t1, δx1*(t0), …, δxn*(t0)). Оно является наименьшим из всех значений интеграла (1.2.9) при δuk0(t) ≠ rk0 (k=l… m).

28