ОиАС-1
.pdf
Пример 1.1.1. Система «двигатель-генератор».
1. Уравнение моментов на валу двигателя |
|
|
||
A |
d 2ψ |
= M |
д − M с |
(1.1.8) |
|
||||
|
dt 2 |
|
|
|
A – момент инерции якоря двигателя и приводимого в движение рабочего механизма (Р.М.), Н·м·с2;
ψ – угол поворота вала двигателя, рад;
Mд – момент двигателя, Н·м, определяемый выражением Mд= KI2Iя;
11
Mс – момент нагрузки, Н·м
2. Уравнение якорной цепи
Eг – E д= IяRя,
Eг – электродвижущая сила генератора (В), связанная с током возбуждения I1 (А) кривой намагничивания Eг= φг(I1);
Eд – электродвижущая сила двигателя, связанная с током возбуждения двигателя
.
I2 (А) зависимостью Eд= СI2ψ, С – коэффициент пропорциональности.
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Iя = (φг(I1) – |
СI2ψ)/ Rя |
|
(1.1.9) |
|||
3. Уравнение цепей возбуждения генератора и двигателя: |
|
||||||
L1 |
dI1 |
+ I1 R1 = E1 |
; L2 |
dI2 |
+ I |
2 R2 = E2 |
(1.1.10) |
|
|
||||||
|
dt |
|
dt |
|
|
||
12
В зависимости от назначения рабочего механизма, связанного с валом двигателя, возникают различные режимы управления рабочим механизмом, который должен:
• а) за минимальное |
или |
• |
переместиться из |
|
|||
время разогнаться |
|
|
одного положения |
до заданной |
• б) совершить |
|
в другое за |
скорости |
заданную работу за |
|
заданное время при |
|
|
минимальных |
|
|
минимальное |
|
|
|
|
потерях в цепях |
|
|
время |
|
|
|
|
управления и |
|
|
|
|
|
или |
|
|
якорной цепи |
|
|
!!! |
|
|
|
|
13
Осуществление каждого из этих режимов управления затруднено целым рядом ограничений:
1. Перегрев якоря, определяемый потерями в якорной цепи, которые пропорциональны квадрату тока в этой цепи. Температура перегрева пропорциональна числу
∫ I |
я2 |
(t )Rяdt = ∫[ϕг (I1 )−CI |
2 |
dt |
|||
2ψ& ] |
|||||||
t1 |
|
|
t1 |
|
|
|
|
t0 |
|
|
t0 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
и, следовательно, ограничение температуры перегрева описывается |
|||||||
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t∫1 |
[ϕг (I1 )−CI 2ψ& ]2 |
dt ≤ T |
(1.1.11) |
||
|
|
R |
|
||||
|
|
t0 |
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заданное число, характеризующее допустимую температуру
14
2. Напряжение, прикладываемое к обмотке возбуждения генератора и двигателя, ограничено напряжением источников питания – E 10; E20:
|E1 (t)| ≤ E10; |E2(t)| ≤ E20 . |
(1.1.12) |
3. Максимальные значения скоростей и ускорений движения ограничены из условий прочности рабочего механизма либо комфорта, если, например, рабочим механизмом является лифт с людьми:
|
|
ψ& |
|
≤ ψ 1* ; |
|
ψ&& |
|
≤ ψ 2* |
(1.1.13) |
|
|
|
|
Время осуществления режимов управления а) и б) выступает в рассматриваемом случае как мера эффективности управления:
t |
(1.1.14) |
J = ∫1× dt |
|
t0 |
|
J = t – t 0
15
Начальными и конечными состояниями системы «генератор – двигатель» являются:
•положение вала двигателя,
•частота вращения вала двигателя,
•ток в обмотке возбуждения генератора,
•ток в обмотке возбуждения двигателя
вначальный (t0) и конечный (t1=min t) моменты времени.
ψ (t0 ) =ψ0 , ψ& (t0 ) =ψ0 , I1 (t0 ) = I10 , I 2 (t0 ) = I20 ;
ψ (t1 ) =ψ1 , ψ& (t1 ) =ψ1 , I1 (t1 ) = I11 , I2 (t1 ) = I21 .
Оптимальным программным управлением являются:
(1.1.15)
(1.1.16)
законы изменения напряжений E1(t), E2(t), удовлетворяющих ограничениям (1.1.12), при которых система «генератор – двигатель» переходит из состояния (1.1.15) в состояние (1.1.16) и при этом функционал (1.1.14) принимает наименьшее значение и выполняются ограничения (1.1.13), (1.1.11).
16
Для режима в), когда требуется переместить РМ из одного положения в другое за заданное время t1 – t 0 при минимальных потерях в цепях управления и якорной цепи, минимизируемый функционал выражает энергию, выделяемую в этих
цепях:
t
J = ∫1 [I я2 (t )Rя + I12 (t )R1 + I22 (t )R2 ]dt
t0
Запишем модель системы в стандартной форме, введя следующие обозначения:
ψ = x1 ; |
|
ψ& |
= x2 ; |
I1 |
= x3 ; |
I2 |
= x4 ; |
E1 |
= u1 ; |
E2 |
= u2 . |
(1.1.17) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ψн |
ψн |
I1н |
I2н |
I1н R1 |
I2н R2 |
|
||||||
|
|
|
x& |
= x |
; |
x& |
2 |
= a ϕ |
(x |
)x |
4 |
+ a |
2 |
x |
x2 ; |
|
|
|
(1.1.18) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 1г |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x&3 |
= − |
1 |
x3 |
+ |
1 |
u1 ; x&4 = − |
1 |
x4 |
+ |
1 |
u2 |
|
|
|
(1.1.19) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
||||||||
a = |
KI 2 н I1н R1 |
|
; ϕ |
|
(x ) |
= ϕг (I1н x3 ); |
a |
|
|
= − |
KCI 22н |
; |
T = |
L1 |
; T = |
L2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1г |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
ARяψн |
|
|
|
|
|
|
|
|
I1н R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ARя |
R1 |
R2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
17
Ограничения (1.1.11) – (1.1.13) принимают вид:
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫[q1ϕ1г (x3 )+ q2 x4 x2 ]2 dt |
≤ J x* |
(1.1.11’) |
||||||||||||
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
u1 |
|
|
≤ u1* ; |
|
u2 |
|
≤ u2* |
|
|
|
|
(1.1.12’) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 |
|
≤ u2* ; |
|
a1ϕ1г (x3 )+ a2 x2 x42 |
|
≤ |
x |
2* |
(1.1.13’) |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
* |
= |
ψ |
* |
|
* |
= |
ψ |
* |
; q = |
I |
1н |
R |
|
= |
CI |
ψ |
|
* |
= |
TR |
я |
|
* |
= |
|
E |
* |
= |
|
E |
20 |
||
x |
|
|
1 |
; x |
|
|
1 |
|
1 |
; q |
|
|
2н н |
; J |
|
|
; u |
|
|
10 |
; u |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
ψ |
н |
1 |
|
ψ |
н |
1 |
|
E |
|
|
2 |
|
E |
x |
|
E 2 |
1 |
|
I |
R |
2 |
|
I |
2н |
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
1н 1 |
|
|
|
2 |
||||||
Оптимальным программным управлением в рассматриваемом случае будет
(например, для режима а)) функции u1(0)(t) и u2(0)(t), такие, что рабочий механизм
за минимальное время при выполнении ограничений (1.1.11’) – |
(1.1.13’) |
||||||||||||||||||||||||||
переместится из состояния xi(t0)=xi0 (1=1…4) |
|
в состояние xi(t1)=xi1 (1=1…4) |
|||||||||||||||||||||||||
x = |
|
ψ0 |
; x |
|
= |
ψ0 |
; x = |
I10 |
; x |
|
= |
I20 |
; x |
|
= |
ψ1 |
; x = x |
|
= x |
|
= 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10 |
ψ |
н |
20 |
|
ψ |
н |
30 |
I |
1н |
40 |
|
I |
2н |
21 |
|
ψ |
н |
11 |
31 |
|
41 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
18
1.2. Оптимальное
19
стабилизирующее управление
Уравнения возмущенного движения
20
Пусть оптимальное программное управление найдено.
Это означает, что известны функции uk*(t) = uk0(t) (k=1… m). Подставляя эти функции в уравнения (1.1.1) и решая уравнения с начальными условиями (1.1.2), получим функции xi*(t) (i= 1… n), которые будем называть оптимальным программным движением или оптимальной программной траекторией.
Реальное (истинное) движение системы всегда отличается от программного по следующим причинам:
а) неточная реализация начальных условий (1.1.2),
б) неполная информация о внешних возмущениях, действующих на систему,
в) неточная реализация программного управления и т. д.