3. ВИ. Обобщения
.pdfIV. Обобщения уравнения Эйлера
1. Функционалы от конечного числа функций и с производными до конечного порядка
В общем случае это функционалы вида
|
|
b |
x,y1, ,yk ,y1, ,yk , ,y1n , ,ykn dx, |
J |
y |
J y1, ,yk f |
|
|
|
a |
|
функционалы с k функциями и производными до n го порядка. Из них удобно |
|||
|
|
|
b |
выделить частный случай функционалов вида J y f x,y,y ,y ,...,y n dx, то есть |
|||
|
|
|
a |
функционалов с одной функцией и с производными до n го порядка. |
В этом, более |
||||
простом варианте среди всех функций y Cn a,b , удовлетворяющих краевым |
|||||
условиям |
|
|
|
|
|
y a y 0 |
, |
y a y ,...,y n 1 a y n 1 |
, |
|
|
a |
|
a |
a |
где y 0 ,..., y n 1 - заданные |
|
y b y 0 |
, |
y b y ,...,y n 1 b y n 1 |
a |
b |
|
|
|
||||
b |
|
b |
b |
|
|
числа, найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу |
J y . При такой |
||||||||||
постановке задачи допустимыми вариациями (x) |
являются функции |
(x) Cn a,b , |
|||||||||
удовлетворяющие краевым условиям |
|
|
|
|
|
|
|||||
a a ... n 1 a 0, |
|
b b ... n 1 b 0 |
|
||||||||
(так как, |
например, должно быть y a y a a ya а для этого |
||||||||||
надо, чтобы a 0). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В |
общей |
постановке задачи |
|
среди |
всех |
k– мерных вектор - |
функций |
|||
y |
y |
,...,y |
k |
|
с координатами y ,...,y |
Cn a,b , удовлетворяющих |
краевым |
||||
1 |
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
||
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y a y0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 a y1a,...,y1n 1 a y1an 1 ,...,yk a yka0 ,
yk a yka,...,ykn 1 a ykan 1
y1 b y1b0 ,
y1 b y1b,...,y1n 1 b y1bn 1 ,..., yk b ykb0 ,
yk b ykb,...,ykn 1 b ykbn 1
1
( здесь y1a0 ,...,ykbn 1 - заданные числа) найти ту вектор-функцию, которая доставляет
экстремум |
функционалу |
J |
y |
J |
y1, ,yk . |
|
В этой задаче допустимыми |
вариациями |
j аргументов |
yj являются |
функции |
j |
Cn a,b , удовлетворяющие |
||
краевым условиям |
|
|
|
|
|
|
j a j a jn 1 a 0, j b j b jn 1 b 0
j 1,2, ,k .
|
|
Определение. |
Для функционала |
от |
k |
функций |
(от |
k мерной вектор – |
|||||||||||||||||||
функции) |
|
|
J y1,y2, yk J |
y |
|
|
|
|
|
производная |
|
|
|
функции |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
|
0 |
|
является первой вариацией |
||||||||||
j J y1,y2, ,yj |
, ,yk |
|
|
||||||||||||||||||||||||
функционала |
J y1,y2, yk |
в точке |
y |
y1,y2, yk |
по |
аргументу yj при |
|||||||||||||||||||||
данной вариации j (x) этого аргумента: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
J |
y ,y , ,y |
|
|
, ,y |
|
J y ,y , ,y |
|
, ,y |
|||||||||||||
yj J |
y |
, j |
j 0 lim |
|
1 |
2 |
|
j |
|
|
j |
|
k |
|
|
1 |
2 |
|
j |
|
k |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Положим для удобства (x) h(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Теорема (о вариации интегрального |
функционала): |
Пусть M Cn a,b - |
|||||||||||||||||||||||
некоторое |
множество |
|
|
допустимых |
|
функций. |
|
Вариация |
функционала |
||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
y M |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J y f x, y,y ,y ,...,y |
n |
в точке |
при любой допустимой вариации |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M аргумента существует и равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
b |
fy x,y,y ,...,y n h fy x,y,y ,...,y n h ... |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
J y,h |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy n x,y,y ,...,y n h n dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
□ Докажем при n 1, потому, |
что при n 2 доказательство аналогично. В этом случае |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C1 a,b |
J y f x,y,y dx. |
Как |
было |
|
|
отмечено |
выше, |
интеграл |
|
при |
|
|||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует. |
|
Надо |
|
|
|
|
найти |
|
|
|
|
J y,h 0 , |
|
где |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J y h f x,y h,y h dx. |
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
a
2
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
f |
x, |
|
|
|
|
|
F |
x, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
y h, y h |
dx |
|
|
|
|
dx , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
F x, f x,y x h x ,y x h x . Ввиду непрерывности |
f x,y,y и |
||||||||||||||||||
непрерывности |
|
функций |
y x h x , |
y x h x сложная |
функция |
||||||||||||||
F x, непрерывна при |
x a,b |
и любых |
, т.е. в прямоугольнике (бесконечной |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a,b , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
длины) |
x, : x |
|
|
. Частная производная |
|
|
|||||||||||||
F x, fx x |
fy y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
fy y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, y y h h; y y h h
fy x,y x h x ,y x h x h x
fy x,y x h x ,y x h x h x
также непрерывна в этом прямоугольнике ввиду непрерывности частных производных
fy , fy |
и непрерывности функций |
y x , y x ,h x ,h x . Поэтому можно согласно |
|||||||||||||||||||
теореме |
|
Лейбница |
дифференцировать |
по |
|
|
под знаком |
интеграла |
|||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
F |
x, |
|
|
x, |
dx |
x,y h,y h |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
F |
|
|
f |
|
|
h |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy x,y h,y h h dx.
|
b |
b |
||||
Отсюда |
0 fy x,y,y h fy x,y,y h dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
||||
|
b |
|
|
|
|
|
J y,h fy x,y,y ,...,y n h fy x,y,y ,...,y n h ... |
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
fy n x,y,y ,...,y n h n dx. |
||||||
Теорема. (необходимое условие локального экстремума функционала в |
||||||
терминах первой вариации). |
Пусть функционал J y1,y2, ,yk J |
y |
, определенный |
|||
на множестве M допустимых вектор–функций |
y |
y1,y2, ,yk с координатами |
y1,y2, ,yk |
Cn a,b имеет в точке |
y |
0 y10,y20, ,yk0 M локальный экстремум. |
||||
Если в этой точке функционал имеет первую вариацию по аргументу |
yj |
при какой-либо |
|||||
вариации hj |
этого аргумента, то эта первая вариация равна нулю: yj |
|
|
0 |
|
||
|
|||||||
J y |
|
,hj 0. |
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
□ |
Пусть, например |
y |
0 точка |
минимума: |
существует |
0 |
|
такое, что |
|||||||||||||||||||||||
y1, ,yk M : |
|
|
|
y1 y10 |
|
|
|
1 , , |
|
|
|
yj y0j |
|
|
|
1 , , |
|
|
|
|
yk yk0 |
|
|
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||
y1, ,yj, ,yk J |
y10, ,y0j , , |
yk0 |
|
. Возьмем точку |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y1, , yj , ,yk y10, ,y0j |
|
hj, , yk0 M . |
|
|
|
|
|
Для |
|
нее |
||||||||||||||||||||||
y1 y10 |
0, ,yj y0j |
j, ,yk |
yk0 0. При достаточно малом будет |
j C1 , так как j C1 j C1 , где j C1 const. Поэтому имеем
y1 y10 C1 ,...,yj y0j C1 ,...,yk yk0 C1
J |
y , , |
y |
j |
, , |
y |
|
J y |
0, ,y0 |
, ,y0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
есть |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J |
y0, , |
y0 h |
j |
, ,y0 |
J |
y |
0, ,y0 |
, ,y0 |
, или |
j |
|
|
j |
0 . |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
1 |
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
при всех достаточно малых выполняется неравенство |
|||||||||||||||||||||||
j |
j 0 . Это означает, что функция |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
J y1,y2, ,yj , ,yk |
||||||||||||||||||||||||||||||
имеет минимум в точке 0. По условию, |
при данной вариации j |
существует первая |
||||||||||||||||||||||||||||
вариация по аргументу yj , т.е. существует j 0 . Но, |
по теореме Ферма, если в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||
локального экстремума |
числовая функция числового аргумента имеет производную, то |
|||||||||||||||||||||||||||||
она равна нулю: j 0 0. |
Следовательно, yj |
y |
0, j 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Замечание. |
|
Если найдена вектор – функция |
y |
y1,y2, ,yk |
в которой |
|||||||||||||||||||||||
первые вариации функционала J |
y |
|
J y1,y2, ,yk обращаются в нуль, то это ещё |
|||||||||||||||||||||||||||
не |
|
значит, |
|
что в |
точке |
y |
0 |
|
функционал |
действительно имеет экстремум: |
ведь это |
необходимое условие экстремума. Но если по смыслу задачи экстремум есть, а найдена только одна вектор – функция y0 , в которой первые вариации обращаются в нуль
(“критическая точка”), то в точке y0 обязан быть экстремум.
Теорема Эйлера-Пуассона. Если функционал от вектор - функции
b |
|
|
|
|
|
J y J y1, ,yk f x,y1, ,yk ,y1, ,yk , ,y1n , ,ykn dx, |
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
определенный на множестве функций y y , ,y |
k |
, где |
y , ,y |
k |
Cn a,b , |
1 |
|
1 |
|
удовлетворяющих краевым условиям:
4
y a y1 a , ,yk a y1a0 , ,yka0 ,
y a y1 a , ,yk a y1a , ,yka ,
y n 1 a y1n 1 a , ,ykn 1 a ykn 1 , ,ykan 1 ,
y b y1 b , ,yk b y1b0 , ,ykb0 ,
y b y1 b , ,yk b y1b , ,ykb ,
y n 1 b y1n 1 b , ,ykn 1 b y1bn 1 , ,ykbn 1 ,
имеет в допустимой точке y экстремум, то эта вектор-функция y удовлетворяет
системе дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона:
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
n |
|
d |
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
fy 1 |
|
|
|
|
|
|
|
f n 0, |
|
fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
1 |
|
dx |
1 |
|
dx |
|
1 |
|
dx |
|
y1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
n d |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
fy2 |
|
|
|
|
|
fy2 |
|
|
|
|
|
|
|
fy2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
f n 0, |
|||
|
dx |
|
dx |
2 |
|
dx |
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
n d |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f n 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||
|
yk |
|
|
dx |
|
yk |
|
|
dx |
|
yk |
|
|
dx |
|
yk |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
□ |
|
Сначала |
|
|
докажем для |
|
функционала от одной функции |
b |
|
|
|
|
J y f x,y,y ,y , ,y n dx, |
причем |
при |
n 2: |
для |
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
J y f x,y,y ,y dx, то есть, для функционала, определенного на множестве
a
функций y C2 a,b , удовлетворяющих краевым условиям
y a yao , y a ya ,y b ybo , y b yb .
5
Допустимыми |
|
вариациями |
|
являются |
|
|
|
|
|
функции |
|
|
h C2 a,b |
такие, |
что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h a h a 0, |
|
|
|
h b h b 0 |
|
|
(при |
|
n 3 доказательство аналогично). |
Для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
упрощения |
доказательства |
добавим |
|
|
условие: |
|
|
функция |
y y x , доставляющая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремум функционалу, четырежды непрерывно дифференцируема, т.е. |
y C4 a,b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вместо |
y C2 a,b |
|
|
(теорема |
верна |
|
и без этого условия). |
|
|
В точке локального |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремума |
y |
при любой допустимой вариации |
h аргумента вариация функционала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J y,h 0. |
|
Тогда |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J y,h fy x,y,y ,y h fy x,y,y ,y h fy |
x,y,y ,y h dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, при любой функции h C2 a,b , удовлетворяющей условиям |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h a h a 0, |
h b h b 0, |
|
выполняется |
равенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
fy h fy h fy h dx 0. |
|
Второй и третий интегралы возьмем по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy |
u,h dx dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f h dx |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
h |
|
|
|
|
f |
hdx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
a |
|
|
|
dx |
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx,v |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
dx |
fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
fy hdx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как h a h b 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy |
|
u, h dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f h dx |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
h |
a |
|
|
f |
|
h dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx, |
v h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dv |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
h a |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy |
u, h |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
h dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
h b 0 |
|
|
|
|
a dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
f dx,v h |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
b |
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hdx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy hdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
как |
|
h a h b |
|
0. |
|
Таким |
образом, |
|
при |
любой |
допустимой |
функции h |
|||||||||||||||||||||||
b |
|
|
d |
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
y , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
h dx 0. |
Здесь |
|
содержит |
и |
при |
двукратном |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дифференцировании по |
|
x в слагаемом |
|
d2 |
|
f |
|
|
|
появляется |
yIV ; для непрерывности |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
dx2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
этого слагаемого достаточно, |
чтобы yIV |
была непрерывна. Именно здесь используется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
дополнительное условие y C4 a,b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Итак, |
подынтегральная |
функция |
|
F x f |
|
d |
f |
d2 |
f |
непрерывна на |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
dx |
y |
|
dx2 |
y |
|
|
отрезке |
a,b , и при |
|
любой |
функции |
|
h C2 a,b |
|
такой, |
что |
h a h b 0, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
d |
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выполняется равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. Тем более оно выполняется |
|||||||||||||||||||
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
f h dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
dx |
y |
|
dx |
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при |
любой |
функции |
|
h x , |
бесконечно дифференцируемой |
на a,b и |
такой, что |
|||||||||||||||||||||||||||||
h a h b 0 (так как если |
h x |
бесконечно дифференцируема, то производная |
любого порядка h n |
x непрерывна: h x |
Cn a,b , в частности, h x C2 a,b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
). Но это означает |
выполнение |
условий |
леммы |
|
Лагранжа. |
Согласно |
этой |
лемме, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
d |
f |
|
|
|
d2 |
|
f |
0 |
на a,b . |
Таким |
образом, для |
функционала |
от |
одной |
|||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
dx2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y x |
|
|
|
|
отрезке a,b |
||||||||||||||||
функции |
доказано, |
что |
точка |
экстремума |
|
удовлетворяет на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
n |
dn |
|
|
|
|
||||
уравнению Эйлера-Пуассона: |
f |
|
|
f |
|
|
|
|
f |
... 1 |
|
f n |
0. |
||||||||||||||||||||||||||
dx |
dx2 |
dxn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Согласно необходимому условию локального экстремума функционала, у |
||||||||||||||||||||||||||||||||
функционала |
|
от |
вектор |
– |
функции |
|
J |
y |
J y1,...,yk |
в |
точке |
экстремума |
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
y |
x y1 x ,...,yk x |
|
вариация |
|
по |
|
каждому |
аргументу |
yj |
(при |
||||||||||||||||||||||||||
фиксированных остальных аргументах |
y1,y2,...,yj 1,yj 1,...,yk ) обращается в нуль |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
любой |
вариации |
h |
j |
аргумента |
y |
j |
: |
|
|
yj |
J |
y |
,h |
0. |
Поэтому, |
рассматривая |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|||||
функционал J |
y |
как функционал от одной функции yj , получаем, что функция |
yj x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяет на a,b |
уравнению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
... 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f n |
0. |
Это верно при |
каждом |
||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
yj |
|
yj dx2 |
|
yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yj |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
j 1,2,...,k, |
так что векторфункция |
|
|
|
|
|
y |
y1,...,yk удовлетворяет |
на a,b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
системе дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
d |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy |
|
|
|
fy |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
fy 1 |
|
|
|
|
n |
|
f n 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
dx |
1 |
|
dx |
|
1 |
|
|
|
dx |
|
y1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
n |
|
d |
|
|
|
|
|
. □ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
fy2 |
|
|
|
|
fy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f n |
0, |
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
|
dx |
2 |
|
dx |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f n |
0. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
yk |
|
|
dx |
yk |
|
|
dx |
|
|
yk |
|
|
|
|
dx |
|
|
yk |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Определение. |
|
Вектор-функция |
y |
y1,...,yk , |
удовлетворяющая |
системе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
Эйлера-Пуассона, |
называется |
|
экстремалью |
функционала |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
J |
y |
J y1,...,yk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции J y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
В |
случае |
функционала от |
одной |
|
|
экстремалью |
является одна |
числовая функция числовой переменной.
Замечание. Уравнения Эйлера-Пуассона в случае, когда функционал содержит только производные первого порядка, называют уравнениями Эйлера.
Итак,
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Для функционалов вида |
f x F t,x,x,x, ,x n dt |
|
экстремали |
являются |
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решениями уравнения Эйлера – |
Пуассона: |
F |
|
d |
F |
|
d2 |
F |
1 n |
dn |
F |
n 0 . |
|
|
|
dtn |
|||||||||||
|
|
x |
|
dt x |
|
dt2 |
x |
|
x |
|
Понятно, что для однозначного выбора экстремали требуется дополнительно задать условия на границах:
x a A0 ,x a A1, ,x n 1 a An 1, x b B0 ,x b B1, ,x n 1 b Bn 1.
b
2. Для функционалов вида f x,y F t,x,x,y,y dt экстремали являются решениями a
F |
|
d |
F |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
dt |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Соответственно, граничные условия |
|
системы уравнений Эйлера: |
|
|
d |
|
|
||
F |
|
F |
y |
0 |
|
||
|
|
||||||
|
y |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимают вид: x a A0,x a A1, |
x b B0 ,x b B1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1
Пример. J y y12 y22 dx extr,
0
y1 0 2, y1 1 0; y2 0 0; y2 1 1; y2 0 1; y2 1 0
□ |
Составляем |
систему |
уравнений |
Эйлера |
– |
Пуассона |
для |
f x, y1, y2, y1, y2, y1, y2 y12 y22 :
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
fy |
|
|
|
|
|
|
|
fy |
0 |
|
fy |
dx |
dx2 |
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
f |
|
|||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
y2 |
|
dx |
y2 |
|
|
dx |
y2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2y1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
dx |
dx |
2 0 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
d |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
2 |
||||||
0 |
dx |
dx |
|
|
|
2y 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0,1
y2IV 0.
Общее решение:
|
|
C x C ; |
|
|
y |
|
|||
|
1 |
1 |
2 |
. |
|
|
C x3 |
C x2 |
|
y |
C x C |
|||
|
2 |
3 |
4 |
5 6 |
Используем краевые условия:
2 C 0 C |
, |
|
C 2, |
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 C2, |
|
|
|
2, |
|
||
0 |
|
|
C2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C30 C4 |
0 C50 C6, |
|
|
1, |
|
||
0 |
|
C3 |
|
||||||
|
C 2C |
C , |
|
1, |
|
||||
1 |
|
C |
|
||||||
|
|
3 |
4 |
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3C3 2C4 C5, |
|
|
1, |
|
|||
0 |
|
C5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C5. |
|
|
|
|
0. |
|
||
1 |
|
|
|
C6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2x 2 |
|||
Имеется единственная экстремаль |
y |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
y2 x |
|
|||
Пример. |
|
Найти |
|
|
|
|
|
. □
x
экстремали функционала
b
I[y1,y2,y ,y2] (y12 y22 2y1y2 2y12)dx.
a
□ |
|
|
Составляем |
|
систему |
|
|
|
уравнений |
Эйлера-Пуассона для |
|||||||||||||
f x,y1,y2, y1, y2 y12 y22 2y1y2 2y12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y 0, |
|
|
|
|
|
|||||
f |
|
|
|
|
|
f |
|
0 |
2y |
4y |
|
|
|
|
|
|
2y 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
1 |
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
y |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y2 |
0, |
y |
||||||||||||
fy |
|
|
|
fy |
0 |
2y1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
||||||||||
|
2 |
|
|
dx |
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из второго уравнения находим |
|
|
y y и |
подставляем это |
выражение в |
первое: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2(4) 2y2 y2 0. |
Это однородное линейное дифференциальное уравнение с |
|||||||||||||||||||||||
постоянными |
коэффициентами, |
где i |
|
|
это |
корень |
кратности два |
|||||||||||||||||
характеристического |
уравнения. |
|
Его |
|
общее |
|
решение |
|
имеет |
вид |
||||||||||||||
y |
2 |
(x) (C C |
2 |
x)cos x (C |
3 |
C |
4 |
x)sin x, |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
значит, |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y1(x) (C1 C4 C2x)sinx (2C2 C3 C2x)cosx. Эти |
|
|
соотношения |
|||||||||||||||||||||
описывают все экстремали рассматриваемого функционала. □ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Пример. Найти экстремали функционала |
|
|
b |
|
|
|
|
|
2x3y)dx. |
|
||||||||||||
|
|
I[y] (y 2 |
y2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
□ Записываем уравнение Эйлера — Пуассона f |
d |
f |
|
d |
2 |
|
f |
|
d3 |
f 0. Оно |
||||||||||||||
dx |
dx2 |
dx3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
|
y |
|
имеет вид y(6) y x3. Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Характеристическое
уравнение |
6 1 0, |
его корни |
{1, 1, |
1 |
|
3 |
i, |
1 |
|
3 |
i}, нерезонансный |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
случай. |
|
|
Решая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
его, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||
y(x) x3 |
Cex C e x (C e2 |
C e 2 )cos |
|
|
x (C e2 |
C e 2 )sin |
|
x. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждая функция этого семейства является экстремалью данного функционала.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Пример. |
Найти экстремали следующего функционала |
f x x2 |
|
2x2 x2 dt , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
удовлетворяющие условиям: x 0 0,x 1 sh1,x 0 0,x 1 e. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Уравнение Эйлера – |
Пуассона имеет вид: |
2x |
d |
4x |
d2 |
|
2x 0 или |
|||||||
dt |
dt2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 4 2x 2 |
x 0. |
Решая |
это |
уравнение, получаем семейство экстремалей вида: |
||||||||||
x t c et |
c tet |
c |
e t c |
te t . |
Учитывая граничные |
условия, |
находим единственную |
|||||||
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экстремаль |
x t tsht . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2yy 3 dx, |
|
Пример. Найти экстремали следующего функционала J(y) xy 4 |
||||||||||||||
y(2) 1, |
y(4) 5. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке предполагаемого экстремума функционала J(y) уравнение Эйлера
будет иметь вид2y 3 |
d |
4xy 3 6yy 2 0. |
Это уравнение приводится к виду |
|
dx |
||||
|
|
|
10