В общем случае, когда n>2, m>1, это уравнение имеет вид

Если известно, что оптимальные управления находятся внутри множества U, либо если ограничения подобного рода вообще отсутствуют, то уравнение (2.3.7) можно представить как совокупность уравнений в частных производных:

Таким образом, для решения задачи об оптимальной стабилизации необходимо решить специфическое уравнение в частных производных (2.3.7) либо систему из m+1 уравнений в частных производных (2.3.8), (2.3.9), при краевых условиях

11

В результате решения этих уравнений получим искомые оптимальные управления

uk= uk(x1, …, xn, t), где k=l,…, m, и функцию v(x1, …, xn, t), которая при xi= xi0, t=t0 является наименьшим значением функционала оптимизации

если выполняются краевые условия (2.3.10). Действительно, пусть оптимальные управления определены. Тогда, вдоль оптимальных траекторий и управлений, уравнение (2.3.7) примет вид

Учитывая краевые условия (2.3.10), получим (2.3.11).

12

Это увеличение трудностей численного решения естественно, так как на основе метода динамического программирования решается более сложная задача синтеза управлений, тогда как принцип максимума доставляет управления как функции времени.

Эти функции получаются и применением метода динамического программирования к задаче об оптимальном программном управлении, если в управления uk=rk(x1(t), …, xn(t),t) (k=l, …, m) подставить вместо xi(t) (i=1, …, n) оптимальные траектории.

Для решения уравнения (2.3.17) применяют известные методы решения уравнений в частных производных (разностные методы, метод характеристик, метод прямых и т. п.), однако имеется специальный метод приближенного численного решения этого уравнения. Этот метод состоит в замене дифференциальных уравнений (2.3.1) системой дифференциально-разностных уравнений, а интеграла (2.3.3) – суммой и в использовании для нахождения оптимального дискретного управления в такой системе на основе функционального уравнения для дискретных систем. Собственно, исторически такое функциональное уравнение и было впервые получено при синтезе оптимального управления именно дискретных систем.

15

Пример 2.3.1. Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается в первом приближении уравнениями

t0

(где q11, α1, α2 – заданные числа) принимал наименьшее значение при движениях объекта, возбужденных произвольными начальными отклонениями. На искомое управление наложено ограничение

Переходя к исследованию этой задачи, запишем функциональное уравнение метода динамического программирования:

16

Выражение в фигурных скобках достигает минимума, когда

и краевым условием (2.3.22) образует краевую задачу метода динамического программирования.

17

С другой стороны, дифференцируя (2.3.25) по хj(j=1, …, n+1), получим вдоль оптимальных траекторий

Сравнивая это выражение с сопряженными уравнениями (2.2.8), заключаем, что

функции времени –∂v/∂хi и ψi(t) (i= 1, …, n+l) удовлетворяют одинаковым дифференциальным уравнениям и, следовательно, эти функции совпадают при одинаковых начальных (краевых) условиях в этих уравнениях.

19

Заметим, что при выводе (2.3.31) использовалось соотношение (2.3.30), которое нуждается в обосновании. Дело в том, что равенство выражения в фигурных скобках (2.3.25) нулю не означает равенства нулю ее производной, а это молчаливо предполагалось при выводе (2.3.30).

В связи с этим рассмотрим фиксированный момент времени t = t*.

Для этого момента оптимальное управление u=u(t*) является вектором чисел.

Для точек фазового пространства, не лежащих на оптимальной траектории, u(t*) уже не будет оптимальным и, следовательно, для этих точек функция в фигурных скобках выражения (2.3.25) не будет достигать максимума.

Отсюда следует, что эта функция достигает максимума, равного нулю, лишь в точках, лежащих на оптимальной траектории, и, следовательно, частные производные рассматриваемой функции по хj (j=1, …, n+1) в силу необходимых условий экстремума [по хj (j=1, …, n+1)] обращаются в нуль.

Таким образом, связь между методом динамического программированияи принципом максимума установлена.

20