I

160. (a) Противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Докажите, что суммы квадратов его трех пар противоположных ребер равны. Сформулируйте и докажите обратную теорему.

(b) Докажите, что если прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, перпендикулярны, то противоположные ребра равны. Сформулируйте и докажите обратную теорему.

161. Найдите угол между диагональю куба и диагональю какой-либо его грани.

162. Все грани тетраэдра - равносторонние треугольники со стороной a.

(a) Найдите длину отрезка, соединяющего вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани.

(b) Найдите расстояние между серединами противолежащих ребер тетраэдра.

(c) Докажите, что прямая проходящая через середины противолежащих ребер тетраэдра, перпендикулярна каждому из этих ребер.

163. Через точку, взятую на прямой, проведены три прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой. Докажите, что проведенные прямые лежат в одной плоскости.

164. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

165. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если его медианы AA1 и BB1 равны.

166. В равнобедренном треугольнике ABC медианы AA1 и BB1, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника.

167. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грань ABCD - квадрат со стороной a; ребро AA1 также равно a и образует с ребрами AB и AD углы, равные . Найдите длину диагонали BD1 и угол между прямыми BD1 и AC.

168. Докажите, что длина медианы треугольника выражается через длины его сторон фор-

169.На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка D, удовлетворяющая условию jBDj : jDAj = 3 : 1. Выразите длину отрезка CD через длины катетов jCBj = a и jCAj = b.

170.В треугольнике ABC длины сторон связаны соотношением a2 + b2 = 5c2. Докажите, что медианы, проведенные к сторонам AC и BC, взаимно перпендикулярны.

171.На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты с центрами M и

N. Докажите, что отрезки P M и P N, где P - середина отрезка AB, перпендикулярны

иравны.

172.На сторонах AB и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ABMN и BCP Q. Докажите, что отрезок MQ вдвое больше медианы BE треугольника ABC

иперпендикулярен ей.

173.Четырехугольник ABCD повернут около некоторой точки O на 90o в положение A1, B1, C1, D1. Точки P , Q, R, S - середины отрезков A1B, B1C, C1D, D1A соответственно. Докажите, что отрезки P R и QS конгруэтны и перпендикулярны.

174. Дана прямоугольная трапеция ABCD. \A = \B = 90o. На стороне AB даны точки M

177. Вычислите расстояние между точками A и B:

(a) A(3; 5; 1), B(5; 4; 1);

(b) A(2; 2; 1), B(0; 1; 3);

(c) Докажите, что расстояние между точками A(x1; x2; x3) и B(y1; y2; y3), заданными

191.Докажите, что треугольник с вершинами A(2; 1), B(3; 0), C(1; 5) тупоугольный. Вычислите косинус тупого угла.

192.Вычислите координаты вершины C равностороннего треугольника ABC, если A(1; 3),

B(3; 1).

193.Вычислите координаты вершин равностороннего треугольника ABC по координатам вершин A( 2; 1) и центра тяжести G(0; 1).

194.При каком значении k треугольник с вершинами в точках A(1; 3), B(2; 1), C(4; k) - равнобедренный?

195.Вычислите координаты вершин C и D квадрата ABCD, если A(2; 1), B(4; 0).

196.Даны два отрезка AB и CD координатами своих концов: A(a1; a2), B(b1; b2), C(c1; c2), D(d1; d2). Запишите условие перпендикулярности этих отрезков.

197.Дан треугольник ABC. Вычислите координаты его ортоцентра, не составляя уравнений прямых, если:

(a)A(2; 3), B(1; 2), C(0; 1);

(b)A(0; 2), B( 1; 3), C(1; 2).

Доказать, что точка P является центроидом треугольника A1B1C1.

199.Дан треугольник ABC. Построены точки D = RA90o (C) и E = RB90o (C). Доказать, что расстояние от середины M отрезка DE до прямой AB равно 12jABj.

200.На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами квадрата.

201.На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACMN и BCP Q. Доказать, что прямые AQ и BN пересекаются в точке, которая лежит на высоте треугольника, проведенной к стороне AB.

202.Боковые стороны BC и AD трапеции ABCD ((AB) k (CD)) повернуты около своих середин в положительном направлении на угол 2 . Доказать, что если после поворота отрезки BC и AD занимают положение [B1C1] и [A1D1], то jA1B1j = jC1D1j. Вычислить jA1B1j.

203.Стороны AC и BC треугольника ABC положительной ориентации после поворота соответственно на + 2 и 2 около точек A и B занимают положение AM и BN. Доказать, что если P - середина отрезка MN, то отрезки P A и P B равны и перпендикулярны.

204.Дан треугольник ABC. Точка A повернута около точки C на угол 2 , а точка B - на угол 2 . Доказать, что медиана CC1 треугольника A1B1C1 (A1 и B1 - образы точек A и B) перпендикулярна стороне AB, а медиана CC2 треугольника ABC перпендикулярна стороне A1B1.

205.На сторонах треугольника вне его построены равносторонние треугольники. Доказать, что центры последних являются вершинами равностороннего треугольника.

7Аффинные способы задания прямой на плоскости

206. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору ! в

A p

каноническом виде, в общем виде, в параметрическом виде:

!

(a) A(1; 3), p = (2; 1);

!

(b) A(0; b), p = (1; k);

!

(c) A(x0; y0), p = ( ; ).

207. Составьте задание прямой, проходящей через две точки A и B в каноническом виде, в параметрическом виде и в общем виде:

(a) A(2; 1), B(3; 2);

(b) A(3; 5), B( 4; 5);

(c) A(x1; y1), B(x2; y2).

208. Составьте уравнение прямой, проходящей через вершину C треугольника ABC параллельно стороне AB:

(a) A(3; 0), B(0; 4), C(0; 0);

(b) A(1; 1), B(2; 4), C(4; 1);

(c) A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

209. Дан треугольник ABC. Напишите уравнение прямой, содержащей медиану треугольника, проведенную из вершины A:

(a) A(0; 1), B(1; 1), C(3; 1);

(b) A( 1; 1), B(2; 3), C(0; 0);

(c) A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

210. Через данную точку M проведите прямую, делящую отрезок AB в отношении :

(a) M(3; 1), A(2; 0), B(1; 2), = 4;

(b) M( 1; 1), A(3; 2), B(1; 3), = 2;

(c) M(0; 1), A(0; 2), B(2; 1), = 12;

(d) M(x0; y0), A(x1; y1), B(x2; y2), = 0.

211. Через точку A проведена прямая, пересекающая оси координат в точках B и C так,

! !

что BA = AC. Найдите координаты этих точек, если:

(a)A(1; 1),

(b)A(2; 1),

(c)A(x0; y0).

212.Напишите уравнение прямой, параллельной прямой g и образующей с осями координат

213.Составьте уравнение прямой, симметричной данной прямой l относительно точки A:

(a)l : 2x + y + 1 = 0, A(2; 3),

(b)g : Ax + By + C = 0; A(x0; y0).

214.Составьте уравнение прямой, гомотетичной данной прямой l, если даны центр S гомотетии и коэффициент k:

(a)l : 3x + 2y + 5 = 0, S( 3; 1), k = 32;

(b)l : Ax + By + C = 0, S(x0; y0), k = k0 (k 6= 0).

215.Найдите координаты точки A0, симметричной данной точке A относительно прямой g

216. Даны две прямые. Найдите координаты их точки пересечения:

(a) 2x + y 1 = 0; x = 1 + t, y = 2 3t.

(b) x 3y + 5 = 0; x = 1 + 4t, y = 2 + t.

(c) x = 2 + 3t, y = 1 + t, x = 1 + t, y = 2 3t.

217. Даны уравнения двух прямых, содержащих смежные стороны параллелограмма и точка пересечения его диагоналей. Напишите уравнения двух других его сторон:

(a) x y 1 = 0, x 2y 10 = 0; (3; 2).

(b) A1x + B1y + C1 = 0; A2x + B2y + C2 = 0; (x0; y0).

218. Даны уравнения прямых, содержащих стороны треугольника. Составьте уравнения его средних линий:

(a) x + y 1 = 0; x y + 1 = 0; 2x y 4 = 0;

(b) x + y + 2 = 0; x + 2y 3 = 0; 4x + y = 0.

(c) Ax + By + C = 0; A1x + B1y + C1 = 0; A2x + B2y + C2 = 0.

219. Составьте уравнения прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD, зная, что прямые AB, BC, CD, DA проходят соответственно через точки P , Q, R, S, а диагонали пересекаются в точке M:

(a) P (3; 0), Q(5; 5), R(4; 8), S( 4; 3), M(1; 5);

(b) P (x1; y1), Q(x2; y2), R(x3; y3), S(x4; y4), M(x0; y0).

220. Докажите, что четырехугольник ABCD, где A( 2; 2), B( 3; 1), C(52 ; 52 ), D(3; 1), является трапецией. Составьте уранения средней линии и диагоналей этой трапеции.

221. Даны прямые:

(a) 3x y 5 = 0;

(b) x + 2y + 4 = 0;

(c) 2x 3y + 6 = 0;

(d) 6x + 3 = 0;

(e)3y 8 = 0; p

(f)3x y = 0;

(g)5x + 3y = 0;

(h)x 3 = 0;

(i)y + 7 = 0; x y

(j)2 + 3 = 1.

Назовите несколько точек, лежащих на каждой прямой. Для каждой прямой найдите координаты точек пересечения с координатными осями.

222.Установите, какие из следующих троек точек лежат на одной прямой. Составьте уравнение этой прямой:

(a)(2; 1), ( 1; 4), ( 7; 10);

(b)(0; 5), (7; 1), ( 2; 3);

(c)(1; 0), (0; 1), ( 2; 3);

223.Найдите длины направленных отрезков, отсекаемых на осях координат прямыми:

(a)3x 2y + 6 = 0;

(b)x + y + 6 = 0;

(c)2x y + 3 = 0.

Составьте уравнения этих прямых в отрезках.

224.Даны прямые:

(a)3x y + 5 = 0,

(b)x + y 3 = 0,

(c)2x + 5 = 0,

(d)4x + 5y + 6 = 0,

(e)x + 3y = 0.

Напишите уравнение каждой из них в параметрическом виде.

225.запишите канонические и общие уравнения следующих прямых, заданных параметрически:

(a)x = 2 + 3t, y = 4 t;

(b)x = t, y = 2;

(c)x = 5 + t, y = 3t.

226.Даны прямые g и g1. Найдите необходимое и достаточное условие того, чтобы эти прямые: I) пересекались, II) были параллельны, III) совпадали:

(a)g : Ax + By + C = 0, g1 : x = x0 + t; y = y0 + t;

(b)g : x = x1 + 1t, y = y1 + 1t; g1 : x = x2 + 2t, y = y2 + 2t.

227.Составьте уравнение серединной прямой для двух параллельных прямых:

(a) x + 3y 1 = 0; x + 3y 13 = 0;

(b) y = kx + b; y = kx + b1;

(c) Ax + By + C = 0; Ax + By + C1 = 0.

228. Прямая пересекает стороны AB, BC, CA треугольника ABC или их продолжения соответсвенно в точках C1, A1, B1. Докажите, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 принадлежат прямой.

229. На двух прямых a и b даны соответственно точки A, B, C и D, E, F . Докажите, что точки (AD) \ (CE), (BD) \ (CF ), (BE) \ (AF ) принадлежат прямой.

231.(a) Даны две прямые y = kx + b, y = k1x + b1. Найдите множество середин отрезков, высекаемых данными прямыми на прямых, параллельных оси Oy.

(b)Найдите множество точек пересечения диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырехугольник так, что стороны этих параллелограммов параллельны диагоналям четырехугольника.

232.Дан треугольник ABC.

(a)Найдите множество точек M, для которых площади треугольников ABM и ACM равны между собой.

(b)Найти множество точек M, для которых сумма ориентированных площадей треугольников ABM и ACM равна площади ориентированного треугольника ABC.

233.Дан треугольник ABC.

(a)Найти множество точек M, для которых треугольники ABM, ACM, BCM равновелики.

(b)Найти множество точек M, для которых ориентированные треугольники ABM, ACM, BCM равновелики.

234.(a) Даны два отрезка AB и CD. Найти множество точек M таких, чтобы площади треугольников ABM и CDM были равны.

(b)Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Найти множество точек M, для которых сумма площадей ориентированных треугольников CBM и DAM.

235.Найти множество точек M, для каждой из которых

(a)(ABM)2 + (ACM)2 = (ABC)2.

(b)(ACM)2 (ABM)2 = (ABC)2, где (ABC) - площадь треугольника ABC.

236.Найти множество точек M, для которых

(a)(ABM)2 = (ACM) (ABC),

(b)(ABM)2 = (ACM)2.

237.Дан параллелограмм ABCD; прямые, параллельные диагонали AC, пересекают прямые AB и BC в точках E и F . Прямая, соединяющая точки A и F , и прямая, проведенная через точку E параллельно (BC), пересекаются в точке M. Найти множество точек M.

!

238. Дан треугольник ABC и точка M. Прямая l1, проходящая через M параллельно AB,

!

пересекает (BC) в точке A1, прямая l2, проходящая через точку M параллельно BC,

!

пересекает (CA) в точке B1, прямая l3, проходящая через M параллельно CA, пересекает (AB) в точке C1. Найти множество точек M, для которых точки A1, B1, C1 принадлежат прямой.

239. Дан треугольник ABC и точка M, не принадлежащая его сторонам и их продолжениям.

Прямая m, проходящая через M, пересекает прямые BC, CA, AB в точках A1, B1, C1.

! ! ! !

Построена точка D1 такая, что A1D1 : D1B = A1C1 : C1B1. Найти множество точек D1, принадлежащих прямым пучка с центром M.

240.Даны две пересекающиеся прямые l1 и l2 и не принадлежащая им точка P . Прямая m, проходящая через P , пересекает прямые l1 и l2 и точках L1 и L2. Найти множество середин отрезков [L1L2].

241.Дан треугольник ABC. Найти множество вершин P параллелограммов P QRS таких, что Q 2 (BC), R 2 (AB), S 2 (CA), (QR) k (AA1), (RS) k (BB1), где [AA1], [BB1] - медианы треугоьника.

242.Коэффициенты уравнения прямой Ax + By + C = 0 связаны соотношением:

(a)2A + B C = 0;

(b)A 2B + 2C = 0.

Доказать, что множества прямых, обладающих данным свойством, есть пучок прямых. Найти координаты центра пучка.

243. Даны прямые l1, l2 и точка M. Сотавить уравнение прямой m, проходящей через M и

! !

пересекающей l1 и l2 в точках L1 и L2, для которых L1M : ML2 = k;

(a)l1 : x + 3y 2 = 0, l2 : 3x + 2y 4 = 0, M(2; 4), k = 3;

(b)l1 : 3x y + 5 = 0, l2 : 2x + y + 1 = 0, M(3; 1), k = 2.

244.Вычислить координаты центроида треугольника ABC, если его стороны принадлежат прямым l1, l2, l3:

(a)l1 : 2x y + 1 = 0, l2 : 3x y = 0, l3 : x + 2y = 0;

(b)l1 : x + y 1 = 0, l2 : 2x + y + 1 = 0, l3 : x y = 0.

(Координаты вершин треугольника при решении не вычислять).

245.Даны две точки A и B. Через точку A проведены прямые a1 и a2, а через точку B - прямые b1 и b2. Составить уравнение прямой AB, не вычисляя координат точек A и B:

(a)a1 : 2x y + 1 = 0, a2 : 3x + y 2 = 0, b1 : x y = 0, b2 : 3x y + 1 = 0.

(b)a1 : x + y 1 = 0, a2 : 2x y = 0, b1 : 3x + y 1 = 0, b2 : x 2y + 1 = 0.

246. Дан треугольник ABC и точка X. (AX)\(BC) = P , (BX)\(CA) = Q. Найти множество

247.Дан четырехугольник ABCD. Через переменные точки M и N прямой AB, для которых

! ! !

AM + NB = 0 , проведены прямые P M и CN, пересекающиеся в точке P . Найти множество точек P .

8 Задание прямой в прямоугольной декартовой системе координат

(b)проходящей через точку B(5; 10) и перпендикулярной прямой x y + 1 = 0;

(c)проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой x y + 1 = 0.

249.Даны две вершины A( 1; 5), B(3; 2) треугольника ABC и точка H(5; 3) пересечения его высот. Составьте уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

250.Напишите уравнение серединного перпендикуляра отрезка AB:

(a)A(2; 1), B( 1; 3);

(b)A(0; 1), B(2; 3).

251.Точка H( 2; 5) является основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую l. Найдите уравнение прямой l.

252. Точка M(3; 2) является основанием перпендикуляра, проведенного из точки N(1; 1) на прямую l. Напишите уравнение прямой l.

253.Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, составьте уравнение его оси симметрии:

(a)A(2; 1), B(4; 3), C(2; 3);

(b)A(1; 3), B( 1; 1), C(0; 1).

254.Через точку P проведите прямую, равноудаленную от точек A и B:

(a)P (1; 1), A(3; 1), B( 2; 1);

(b)P (0; 2), A(1; 3), B( 1; 2).

255.Дана прямая l и точка A. Вычислите координаты основания перпендикуляра, проведенного из точки A на прямую l:

(a)l : 3x + 4y 1 = 0, A(2; 1);

(b)l : x + 3y + 2 = 0, A( 2; 3).

256.На прямой x + 2y 1 = 0 найдите точку, равноудаленную от точек ( 2; 5) и (0; 1).

257.На осях координат найдите точки, равноудаленные от точек (7; 1) и ( 3; 3).

258.Дана вершина A(2; 5) квадрата ABCD и уравнение стороны (BC) : 3x y + 6 = 0. Найдите уравнениея прямых, содержащих стороны квадрата.