Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Медицинский Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2016

Размер:

410.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

= 2 a

!, если

85. Найдите координаты вектора !

;

(a)

a = ( 1; 2)

= ( 3 1)

= (1 0)

;

= (4;

;

(b)

= (0 2)

= (3 5)

+ (1

)

= !

!, если

86. Найдите координаты вектора !

;

(a)

a = (2; 1)

= ( 3 4)

= 3

;

a = (1; 7)

! = ( 1

(b)

87. Представьте вектор ! как линейную комбинацию векторов !

и !:

(a)

;

12).

p = (4;

2), !

= (3 5),

= (

(b)

= (

;

= (

; p

= (

);

! ,

88. Докажите, что векторы !,

! линейно зависимы, и разложите вектор ! по векто-

рам !

и !:

(a)

;

= (3

2), !

= (2 1), ! = (1 4).

(b)

= (

;

= (

; m

= (

! ,

89.

;

; e

(a) Вектор ! = (

3 1) задан в базисе (!1

!2). Найдите координаты вектора ! в

e 0 ; e 0

e 0

;

e 0

;

базисе (!

2), если !

1 = (2 3), !

2 = (1

1).

;

; e

(b) Вектор ! = (

) задан в базисе (!

!2). Найдите координаты вектора ! в

; e

; a

22).

базисе (!

2), если !

1 = (

12), !

= (

! !

= (

) (

)

90.

(a) Пусть

. Выразите вектор

через

векторы

(b)Прямая, проходящая через середины противоположных сторон четырехугольника проходит через точку O пересечения его диагоналей. Докажите, что четырехугольник - трапеция или параллелограмм.

;

1; 2) ком-

91. (a) При каком значении векторы !

= ( ; 1; 3),

= (

2; 1), ! = (1;

планарны?

a = ( ; ; )

; ;

)

= (

; ;

)

! = (

(b) Докажите, что для того, чтобы векторы !

были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы

= 0:

= (2; 1;

= (1; 0; 7)

= ( 1; 2; 4)

= (2; 8; 11)

92. Даны векторы !

, !

. Найдите

числа ; ; такие, что

! +

c :

Oxy

93. Даны векторы !

при

. Найдите составляющую ! вектора

! на плоскость

проектировании параллельно вектору !, если

(a)

a = (2;

3; 6)

= (

1; 3; 2)

; ;

(b)

a = ( ; ; )

! = (

)

, (

= 0

94. Даны векторы !

, !, ! (векторы

, ! не компланарны). Найдите составляю-

щую ! вектора ! на плоскость, определяемую векторами ! и

при проектировании

параллельно вектору !, если

(a)

a = (5; 2; 1)

= ( 1; 2; 1)

= (

1; 6)

= (0; 6; 16)

a = (

;

)

;

)

= (

;

)

(b)

= (

, !

= ( ;

;

95. (a) Докажите, что множество векторов, координаты x, y, z которых удовлетворяют условию x + y + z = 0, есть двумерное векторное пространство (числа , , одновременно не равны нулю).

(b) Докажите, что множество векторов, координаты x, y, z которых удовлетворяют

условиям 1x + 1y + 1z = 0, 2x + 2y + 2z = 0, где матрица	2	2	2
	1	1	1

имеет ранг два, есть одномерное векторное пространство.

4Аффинные координаты точки

Аффинным репером называется совокупность точки O и базиса соответствующего век-

				e	e	на плоскости и трех
торного пространства (двух неколлинеарных векторов !1					и !2	на плоскости и трех
e	,	e	e	в пространстве).
некомпланарных векторов !1	,	!2	и !3	в пространстве).

Координатами точки M в данном аффинном репере называются координаты радиуса-

вектора этой точки (OM) в соответствующем базисе.

Из этого определения вытекают правила нахождения координат вектора по известным координатам концов; правило нахождениякоординат середины отрезка и координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении, если известны координаты концов этого отрезка.

96. Отношение основания AD к основанию BC трапеции ABCD равно 3.
								AD		AB
(a) Принимая за начало координат точку A, а за базисные векторы ! и										!, найдите
координаты
i. вершин трапеции
ii. точки S пересечения продолжений боковых сторон.
			MA; MD								S
(b) Пусть R = fM; ! !g. Определите координаты вершин трапеции и точки
пересечения продолжений боковых сторон (M - точка пересечения диагоналей тра-
пеции).
97. Дан центрально симметричный шестиугольник ABCDEF с центром O.
								AB; AE	CF	BA
(a) Найдите координаты его вершин в репере R = fA; ! !g, если									! = 2!.
(b) Относительно репера				R	= f	O; OA; OB
(b) Относительно репера					= f	! !g вычислите координаты середин сторон
шестиугольника, если (x0; y0) - координаты точки C.
98. В репере f	O; e	; e	; e				M	. Найдите координаты точки, симметричной
98. В репере f	!1	!2	!3g дана точка					. Найдите координаты точки, симметричной

точке M относительно начала координат:

(a)M(5; 1; 3),

(b)M(x0; y0; z0).

99.Точки D, E, F - середины ребер BC, CA, AB тетраэдра OABC. Найдите координаты вершин этого тетраэдра в репере R, если

! ! !

(a) R = fO; OD; OE; OF g,

! ! !

(b) R = fG; GD; GE; GF g, где G - центроид тетраэдра OABC.

100. Точки A и B - вершины параллелограмма ABCD. Найдите две другие его вершины, если диагональ AC параллельна оси Ox, а диагональ BD параллельна оси Oy:

(a) A(3; 1), B( 1; 4),

(b) A(x0; y0), B(x1; y1).

101. Даны последовательные вершины A, B, C параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D, если:

(a) A( 2; 1), B(3; 1), C(1; 7),

(b) A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

102. Даны координаты середин C0, A0, B0 сторон AB, BC, CA треугольника ABC. Найдите координаты его вершин, если:

(a) C)(3; 2), A0(0; 2), B0(4; 1),

(b) C0(x3; y3), A0(x1; y1), B0(x2; y2).

103. Композиция симметрий с центрами в вершинах A, B, C треугольника ABC отражает точку M0 на точку M3. Найдите координаты точки M3, если

(a) A(7; 1), B(3; 1), C( 1; 5), M0( 1; 1),

(b) A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), M0(x0; y0).

104. Дан четырехугольник ABCD: A(1; 7), B(3; 4), C(7; 3), D(2; 4).

(a) Докажите, что отрезки, соединяющие середины сторон AD и BC AB и CD, имеют общую середину.

(b) Убедитесь, что четырехугольник, вершинами которого служат середины сторон данного четырехугольника, есть параллелограмм.

105. Даны вершины A и B и центроид G треугольника ABC. Найдите вершину C, если

(a) A(1; 4), B( 2; 3), G(3; 1),

(b) A(x1; y1), B(x2; y2), G(x0; y0).

106. Точка C делит отрезок AB в отношении .

(a) Найдите координаты точки C, если i. A(2; 3), B(1; 4), = 5,

ii. A( 1; 3), B(2; 1), = 3.

(b) Вычислите координаты точки C0, симметричной точке C относительно середины отрезка AB, если A(x1; y1), B(x2; y2), = 0.

107. Точка C делит отрезок AB в отношении , а точка D делит отрезок AB в отношении. Найдите координаты точек A и B, если

(a) C(5; 4), D( 1; 2), = 34, = 23,

(b) C(x1; y1), D(x2; y2), = 0, = 0.

108. На прямой AB найдите точку M, чтобы она была расположена по ту сторону от точки A, что и точка B, и чтобы jAMj = jABj ( 2 Z+):

(a) A(3; 2), B( 1; 4), = 3,

(b) A(x1; y1), B(x2; y2), = 0.

109. Даны три последовательные вершины A, B, C трапеции ABCD. Найдите четвертую

! !

ее вершину D при условии, что AD = BC:

(a)A(3; 5), B( 1; 3), C(1; 1), = 7;

(b)A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), = 0 > 0.

110.В точках A, B, C помещены массы m1, m2, m3. Найдите центр тяжести M этой системы точек, если

(a)A(5; 3), B(7; 1), C(2; 4), m1 = 2, m2 = 5, m3 = 3;

(b)A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

	a	отображает треугольник				ABC	на треугольник	A	B C	. Най-
111. Параллельный перенос !		отображает треугольник					на треугольник	1	1 1	. Най-
дите координаты вершин треугольника A1B1C1, если
			a
(a) A(0; 3), B(4; 2), C(1; 2), ! = (4; 1),
			a
(b) A(1; 4), B(5; 1), C( 2; 3), ! = (1; 2),
			a	;	).
(c) A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), !				= (	).

112. Гомотетия с центром A и коэффициентом k отображает отрезок BC на отрезок B1C1. Найдите координаты концов отрезка B1C1, если

(a) A(1; 2), B(3; 2), C(3; 1), k = 3,

(b) A(2; 1), B(7; 5), C(6; 3), k = 14,

113. Даны два параллельных отрезка AB и CD. Найдите координаты центра гомотетии,

AB	CD
при которой !	переходит в вектор !

(a)A(2; 3), B(4; 1), C(1; 2), D(5; 6),

(b)A(3; 1), B( 1; 3), C(0; 2), D(2; 1).

114.Отрезок AB разделен точками C и D на три равные части. Найдите координаты точек C и D, если известны координаты точек A и B:

(a)A(2; 1; 0), B(3; 5; 2),

(b)A( 1; 0; 3), B(3; 5 2),

(c)A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2).

115.(a) Даны точки A и B. Найдите отношение, в котором каждая координатная плоскость делит отрезок AB, если

i.A(0; 4; 3), B(3; 1; 7),

ii.A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2).

(b)Даны две точки A и B. На прямой AB найдите такую точку C, чтобы

! !

i. AC = 3AB, A( 1; 2; 3), B(7; 2; 5),

! !

ii. AC = AB, A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2).

116. (a) Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат плоскости: A( 1; 1; 2), B(2; 0; 3),

C(3; 1; 1), D(9; 3; 1),

(b) При каком значении z0 точки A(2; 3; 1), B(1; 4; 1), C(1; 4; 1), D(5; 2; z0) принадлежат плоскости?

117. Точки A, B, C - три последовательные вершины трапеции ABCD (ABjjCD). Найдите четвертую вершину D этой трапеции, точку E пересечения ее диагоналей, зная, что отношение оснований трапеции равно :

(a) A(3; 2; 1), B(1; 2; 3), C(4; 6; 9), = 7.

(b) A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3), = 0.

118. Параллельный перенос отображает треугольник ABC на треугольник A1B1C1. Докажите, что прямые A1A0, B1B0, C1C0 имеют общую точку (A0, B0, C0 - середины сторон BC, CA, AB треугольника ABC).

119. Точки A1, B1, C1 делят соответственно стороны BC, CA, AB треугольника ABC в одном и том же отношении , а точки A2B2C2, делят отрезки B1C1, C1A1, A1B1 в

одном и том же отношении 1 . докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2 имеют общую точку.

120. (Теорема Минелая). Для того, чтобы три точки A1, B1, C1, лежащие на сторонах тре-

угольника ABC (или на их продолжениях), лежали на одной прямой, необходимо и

! ! !

AC1 BA1 CB1

достаточно, чтобы имело место соотношение ! ! ! = 1.

C1B A1C B1A

121.Прямая l пересекает стороны BC, CA и AB в точках A1, B1, C1. Докажите, что середины M, N, P отрезков AA1, BB1, CC1 принадлежат прямой.

5Косое произведение векторов

Определение. Под косым (внешним) произведением двух векторов понимают число,

равное площади ориентированного параллелограмма, построенного на этих векторах
a	!
(обозначение: ! ^	b	).

Косое произведение двух векторов ! и ! может быть вычислено по формуле: a b

^ b :

b S

! =

a ;!

sin(

Эта операция обладает свойствами:

1: a

! =

)

;

! ^

;

2: a

( !) =

(

3:! ^

! = 0;

) =

4: a

(! +

! ^

Если векторы заданы в аффинной системе координат:

a = (x

; y

)

;

)

;

= (

, то

! !

x2 y2

a ; b

базисных

векторов. В частности, в

(!1

^ !2), где

^ !2) - косое произведение

прямоугольной декартовой системе координат

! ^ ! =

122.

(a) Вычислить косое произведение векторов ! и

, заданных своими координатами

;

в аффинном базисе (!

!2):

a = (

3; 4)

! = (1; 5)

;

ii.

a = (7; 2)

! = (3; 4)

(b) Даны две пары векторов !,

и !

, !. Указать, какие пары векторов имеют одну

и ту же ориентацию, если:

i. !

, !

a = (

3; 5)

! = (1; 5)

= (

= (3; 7)

ii.

! = (2; 3),

2),

= (4;

1; 3),

= (

1),

! = (

iii.

! = (3; 7)

= (1; 1)

= (

3; 7)

a = (

1; 4)

123.

(a) Вычислить площадь ориентированного параллелограмма, построенного на векто-

(

;

)

рах !

, заданных в базисе

, если

a = (1; 2)

! = (3;

a = (2;

= (1; 4)

= 3

- площадь параллелограмма, построенного на

ii. !

базисных векторах !1

и !

(b) определить, при каком значении

векторы !

коллинеарны:

a = (2 ; 1)

! = ( 2;

)

ii.

a = ( ; 1)

! = ( + 1;

)

124.

(a) В плоскости треугольника ABC дана точка M такая, что (MAB) = (MBC) =

(MCA). Доказать, что точка M - центроид треугольника ABC. (Символом (ABC)

обозначена площадь ориентированного треугольника ABC).

(b) Найти отношение площади треугольника, построенного на медианах данного тре-

угольника, к площади последнего.

125.

(a) Доказать,

что

площадь

простого

ориентированного

четырехугольника ABCD

определяется по формуле SABCD =

2! ^ !.

(b) Вершины A и C четырехугольника ABCD смещены в точки A1

и C1 так, что

- в точки

1 и

1 так, что

= !

!, а вершины

Доказать, что (ABCD) = (A1B1C1D1).

126.

(a) На продолжениях сторон BC, CA, AB треугольника ABC взяты соответственно

точки A1, B1, C1

так, что

!1,

! =

!1. Доказать, что

(A1; B1; C1) =?(A; B; C), а центроиды треугольников (ABC) и A1B1C1 совпадают.

(b) На продолжениях сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD даны точки

! ! ! ! ! ! ! !

A1, B1, C1, D1 так, что AB = BA1, BC = CB1, CD = DC1, DA = AD1. Найти отношение площадей четырехугольников A1B1C1D1 и ABCD и доказать, что центроиды этих четырехугольников совпадают.

127. (a) Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что площадь параллелограмма, построен-

! !

ного на векторах AC и BD, равна удвоенной площади данного параллелограмма.

(b)Доказать, что если только одна средняя линия четырехугольника делит его на равновеликие четырехугольники, то четырехугольник - трапеция.

! !

128. (a) Доказать, что точки A, B, C коллинеарны тогда и только тогда, когда A ^ B +

! ! ! !

B ^ C + C ^ A = 0.

! ! ! ! ! ! !

(b) Доказать справедливость тождества A1(A2 ^ A3) + A2(A3 ^ A1) + A3(A1 ^ A2) = 0.

129. Для того, чтобы точки B1, B2, B3, делящие стороны A2A3, A3A1, A1A2 треугольника A1A2A3 в простых отношениях 1, 2, 3, лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: 1 2 3 = 1 (Прямая и обратная теорема Менелая).

130. (a) Доказать, что разложение вектора !

по неколлинеарным векторам ! и

имеет

(

b a

a b

вид:

! ^

(b) Найти вектор !

из системы !

^ !

, !

^ !

, где !

и ! - данные

неколлинеарные векторы, ; 2 R.

131.Стороны AB и CD четырехугольника ABCD продолжены до пересечения в точке O. Доказать, что (ABCD) = 4(OMN), где M и N - середины диагоналей BD и AC четырехугольника.

132.Стороны AB и CD четырехугольника ABCD разделены точкаи P , Q и M, N на три равные части. Доказать, что площадь четырехугольника MNP Q составляет одну треть площади четырехугольника ABCD.

133.(a) На прямых g и g1 даны соответсвенно точки A, B, C и A1, B1, C1 причем прямая AB1 параллельна прямой A1B, а прямая BC1 параллельна прямой B1C. Доказать, что прямые C1A и A1C также параллельны.

(b)Точки M и N делят стороны AB и CD четырехугольника ABCD в данных отношениях. Пусть P , Q, R - центроиды четырехугольников ABCD, AMCN, MBND. Доказать, что точки P , Q, R принадлежат прямой.

M0	M	k M	^	p p	p
134. Дано преобразование сдвига ! = ! +		(!		!)! (в направлении вектора	! и с

коэффициентом k).

(a) Доказать, что оно сохраняет площадь треугольника.

(b) Записать параметрическое задание образа данной прямой ! =

+ !(1

135. Вычислить вектор точки M0 пересечения прямых ! =

= !

= 0.

136.Если четыре диагонали пятиугольника параллельны его сторонам, то пятая диагональ параллельна пятой стороне.

137.В пятиугольнике каждая вершина соединена с серединой противолежащей стороны. Доказать, что если из этих прямых четыре проходят через данную точку, то и пятая прямая проходит через эту точку.

138.В окружность с центром O вписан четырехугольник ABCD. Доказать, что перпендикуляры, проведенные к сторонам четырехугольника через середины его противополож-

! 1 ! ! ! !

ных сторон, пересекаются в одной точке H такой, что OH = 2(OA + OB + OC + OD).

139.Дан пятиугольник ABCDE. Найти его площадь, если известны ориентированные площади пяти треугольников ABC, BCD, CDE, DEA, EAB (Формула Мубиуса).

! !

140. Дан треугольник ABC и точка M. Вычислить отношения x : y : z, если xMA + yMB +

! ! zMC = 0 .

141. Доказать, что расстояние d от вершины C треугольника ABC до его прямой Эйлера OH

можно вычислить по формуле: d = R(a1 b1), где O - центр описанной окружности, jOHj

H - ортоцентр, a1 - расстояние между основаниями высот CC1 и AA1, b1 - расстояние между основаниями высот BB1 и AA1. Выяснить, в каком случае d = 0.

142. Треугольник ABC с ортоцентром H вписан в окружность с центром O. Доказать, что

\ \ \

sinAOH + sinBOH + sinCOH = 0 (углы ориентированы).

143.Доказать равенство: sin + sin2 + : : : + sin(n 1) = 0 при = 2n .

144.Доказать равенство: sin' + sin(' ) + sin(' 2 ) + : : : + sin(' (n 1) ) = 0, где '

принимает любое значение, а = 2n .

145.Даны два равновеликих, одинаково ориентированных треугольника ABC и A1B1C1. Доказать, что отрезки AA1, BB1, CC1 можно разделить в равных отношениях точками A2, B2, C2, чтобы эти точки принадлежали одной прямой.

146.Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Доказать, что треугольники ACE и BDF равновелики.

147.На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD даны точки M и N. Доказать, что C, Q = (BN)\(DM), P , где P - вершина параллелограмма AMP N, принадлежат прямой.

6Скалярное произведение векторов

! !

Скалярное произведение двух векторов a и b есть число, которое можно вычислить

по формуле:

j!jj

cos';

(1)

где

- угол между векторами ! и

Из формулы (1) следует, что !

b >

, если

b <

, если

- тупой;

- острый, !

= 0

перпендикулярны (в

в том и только том случае, когда векторы ! и

= 0

частности, !

= 0, если !

= ! или

!).

Скалярное произведение !

! называется скалярным квадратом вектора ! и обо-

значается !a 2. Из формулы (1) следует, что скалярное произведение двух векторов обладает свойствами:

! = !

(a) !

! - коммутативности,

( a )!

(

(b) !

a (!

) =

a c

b c

! - дистрибутивности,

0 )

(d) !

0, причем (!

= 0) , (!

= !

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе ко-

a = (x

; y

; z )

x ; y ; z

)

= (

, то справедливы формулы:

ординат: !

+ z z ;

j!j = q

+ y1

+ z1 ;

cos' =

j!jj!j

1 p

x2 + y2 + z2 x2 + y2

+ z2

на ось

можно определить по формуле:

Проекцию вектора !

Прe

= ! !

e ;

где ! - единичный вектор оси

(j!j = 1).

148.Треугольник ABC, у которого \A = 45o, \B = 60o, вписан в окружность единичного радиуса с центром в точке O. Вычислите скалярные произведения:

! !

(a) OB OC,

! !

(b) OC OA,

! !

149. Длина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC равна c. Вычислите сумму:

! ! ! ! ! !

AB AC + BC BA + CA CB:

! !

150. OA и OB - неколлинеарные единичные векторы. Найдите скалярное произведение

! ! ! !

(OA + OB)(OA OB).

151.Длина каждого из ребер тетраэдра ABCD равна a, точки M, N, P являются серединами ребер AB, AD, DC. Вычислите скалярное произведение:

! !

(a) AC AB,

! !

(b) AD DB,

! !

(d) MN BC,

! !

(e) NP BA,

! !

(f) P M P B.

152. Обладает ли скалярное произведение векторов свойствами, аналогичными следующим свойствам произведения чисел:

(a)если ab = 0, то хотя бы одно из чисел a и b равно нулю;

(b)ab = ba,

(c)если ab = cb и b 6= 0, то a = c,

(d)(a + b)c = ac + bc,

(e)a(bc) = (ab)c.

153. Докажите, что ортогональность векторов ! и ! обладает свойствами: a b

(a)

)

(b)

и !?! )

(c)

)

= !,

(d)

2 R,

?! )

! !

(e)

и j!j

?! )

(

)

j и

b ;

2 R

154. Дан параллелограмм ABCD. Дайте геометрическое истолкование равенствам:

! ! ! ! ! !

(a) (AD + AB)2 (AD AB)2 = 4AD AB,

! ! ! ! ! !

(b) (AD + AB)2 + (AD AB)2 = 2(AD2 + AB2),

! ! ! ! ! !

)

(

пер-

155. (a) Даны три вектора !,

!. Докажите, что вектор

! !

пендикулярен вектору !.

(b) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что

jj !j

j !j

j !j j !j

AD 2

< AC AD

156.Докажите, что если в тетраэдре ABCD две пары противоположных ребер взаимно перпендикулярны, то и перпендикулярна и третья пара ребер.

157.(a) Докажите, что в правильном тетраэдре противоположные ребра взаимноперпендикулярны.

(b)Ребра прямого трехгранного пересечены плоскостью в точках A, B, C. Докажите, что треугольник ABC - остроугольный.

		a	!				p
158. (a) Даны неколлинеарные векторы ! и			b				p
158. (a) Даны неколлинеарные векторы ! и				. Найлите вектор !, компланарный векто-
a	!
рам ! и	b	и удовлетворяющий системе уравнений:
рам ! и		и удовлетворяющий системе уравнений:
			!	! = 1,
			!		!		= 0.
			a		p
			b		p
			a	!			c	p
(b) Даны три некомпланарных вектора !,					b	,	c	p
(b) Даны три некомпланарных вектора !,						,	!. Найдите вектор	! из системы урав-
нений:		8	!		!		= 1,
			!		!		= 1,
			!		!		= 0,
		<	p			a
		<	p			b
			p			c
		: !		! = 0.

159. Дан тетраэдр OABC с прямым трехгранным углом с вершиной O. Выразите вектор

OH, где H - основание перпендикуляра, проведенного из точки O на грань ABC через

! ! ! ! ! !

векторы OA = a , OB = b , OC = c .

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.20161.25 Mб748GOLD-2014.pdf
#
30.08.2019144.38 Кб25Gonoreya.doc
#
07.05.2019110.08 Кб20GO__i____MSGO.doc
#
24.03.20161.29 Mб18HDR - фотография. Часть 3.pdf
#
17.12.201860.45 Кб28hirurgicheskoe_otdelenie (2).docx
#
24.03.2016410.05 Кб49I.pdf
#
14.03.20152.78 Mб17Ideal.rtf
#
24.03.20161.97 Mб451IGA-test-lech (3).doc
#
14.03.2015488.07 Кб9index.pdf
#
06.09.2019144.38 Кб1istoria_bolezn.doc
#
24.03.2016145.41 Кб22kardiomiopatii.doc