- •«Финансовый университет при правительстве
- •Содержание
- •Введение
- •1. Краткие теоретические сведения о маи
- •1.1. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •1.2. Алгоритм маи
- •1.2.1. Основные положения
- •Основные принципы метода анализа иерархий
- •1.2.2. Постановка задачи (пример)
- •1.2.3. Этапы маи
- •3. Ограничения на область применимости маи
- •Вопросы для самоподготовки:
- •4. Порядок выполнения лабораторной работы
- •Варианты заданий Базовый вариант задания (№0)
- •Литература:
- •Горбатков Станислав Анатольевич
1. Краткие теоретические сведения о маи
1.1. Собственные векторы и собственные значения матрицы
Прежде, чем изложить подробно алгоритм МАИ и описать пример его применения, приведем элементарные сведения о понятиях «собственный вектор» (СВ) матрицы и ее «собственное значение» (СЗ), поскольку МАИ основан на использовании этих понятий и математическим аппарате линейной алгебры.
Определение. Число λ называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой n-мерный нулевой вектор , что выполняется уравнение [10, с. 70]:
или . (1)
Множество всех собственных значений матрицы А находится как корни характеристического или векового уравнения
, (2)
где λ – рассматривается в качестве независимых переменных; Е – матричная единица; det(·) – определитель матрицы.
Замечание 1. Если выполнить операцию вычисления определителя det(·) в (2), то получим выражение для характеристического полинома относительно собственных чисел:
. (3)
Решение систем линейных однородных уравнений вида (1) и (2) основано на известной лемме из теории матриц [9, с. 54]: «Для того, чтобы линейная система однородных алгебраических уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно равенство нулю ее определителя».
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
.
Запишем характеристическое уравнение матрицы
.
То есть получилось квадратное уравнение (характеристический многочлен) относительно неизвестных значений λ.
Решением этого квадратного уравнения будут корни:
.
Найдем собственные векторы, принадлежащие собственным значениям. Собственный вектор принадлежащий собственному значению , по определению является нулевым решением системы
. (3)
Верхний индекс в скобках означает принадлежность к собственному значению , а нижний индекс – это номер простого (не кратного) корня.
Поучим:
.
Проверяем условие цитированной выше леммы:
.
Условия выполнены, значит нетривиальное решение (3) существует. Тогда в простейшем случае системы двух уравнений [9, с. 336]:
Таким образом, ненулевой собственный вектор, принадлежащий собственному числу , найден:
.
Аналогично находится второй собственный вектор матрицыА, принадлежащий собственному значению .
;
Следовательно, второй собственный вектор, принадлежащий собственному числу , равен
.
Замечание. Метод нахождения собственных чисел и собственных векторов из [9, с. 336] неэффективен с точки зрения вычислительной математики при высоком порядке матрицыА (n ~ сотни и тысячи).
В вычислительной математике известны различные вычислительные схемы определения собственных чисел и собственных векторов матрицы, и имеются соответствующие пакеты программ для ЭВМ. Однако до настоящего времени общепринятый стандартный простой метод решения проблемы на собственные значения и собственные векторы матриц большого размера отсутствует.
Если под рукой нет подходящей программы, то можно применить один из простых приближенных методов, описанных в [1, с. 32]. В лабораторной работе применен метод под номером 4, использующий среднегеометрическую оценку компонент собственного вектора (см. ниже, пункт 1.2).