- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Раздел I. Теория вероятностей
- •Тема 1. Случайные события
- •1.1 Классификация событий
- •1.2. Вероятность событий
- •Свойства вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •1.4. Операции над событиями
- •Тема 2. Основные теоремы
- •2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.2. Теорема умножения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Тема 3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2. Формула Пуассона
- •3.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойста функци , ее график
- •3.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции :
- •Тема 4. Дискретная случайная величина и её характеристики
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •4.3. Математические операции над случайными величинами
- •4.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Свойства
- •Свойства
- •4.5. Биноминальный закон распределения и закон Пуассона
- •4.6. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Тема 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Плотность распределения вероятностей непрерывных случайных величин
- •Свойства плотности распределения
- •5.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •5.3. Нормальный закон распределения
- •Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •5.4. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова
- •Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины
- •6.1. Способы задания двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •6.2. Условные законы распределения
- •6.3. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •6.4. Двумерный нормальный закон распределения
- •Тема 7. Закон больших чисел
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева)
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •Раздел II. Математическая статистика Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
- •8.1. Понятие о вариационных рядах
- •8.2. Эмпирическая функция распределения
- •Свойства :
- •8.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •Основные свойства
- •Основные свойства дисперсии
- •Упрощённый способ расчёта средней арифметической и дисперсии
- •8.4. Выборочный метод
- •Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней
- •Точечные оценки генеральной совокупности. Свойства оценок
- •Интервальная оценка параметров
- •Доверительный интервал для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам
- •Объём выборки
- •Тема 10. Статистическая проверка гипотез
- •10.1. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки
- •1) - То нулевую гипотезуотвергают,
- •2) - То нет оснований отвергнуть.
- •10.2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Критерий согласия Пирсона
- •Правило проверки нулевой гипотезы
- •Тема 11. Корреляция и регрессия
- •11.1. Линейная парная регрессия
- •11.2. Оценка тесноты корреляционной зависимости
- •Свойства выборочного коэффициента корреляции r
- •Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней
Точечные оценки генеральной совокупности. Свойства оценок
Определение.Точечнойназывают оценку, которая определяется одним числом.
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Предположим из теоретических соображений мы установили, какое распределение имеет этот признак. Наша задача – оценить параметры, которыми определяется это распределение.
Например, если известно, что изучаемый признак распределён в генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.
Обычно имеются лишь данные выборки. Через эти данные и выражаются оцениваемые параметры.
Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям:
1) статистическая оценка должна быть несмещённой,
2) статистическая оценка должна быть эффективной,
3) статистическая оценка должна быть состоятельной.
Определение.Статистическая оценкапараметраназываетсянесмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру. В противном случае оценка называется смещённой.
Определение.Статистическая оценка называетсяэффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных при заданном объёме выборки.
Определение.Статистическая оценка называетсясостоятельной, если при выборке большого объёмастатистическая оценка стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
Приведём некоторые теоремы об оценках:
Теорема.Выборочная доля- есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной доли.
Теорема. Выборочная средняя -есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной средней .
Теорема.Выборочная дисперсия- есть смещённая и состоятельная оценка генеральной дисперсии.
То есть математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .
Поэтому, чтобы «исправить» выборочную дисперсию до несмещённой оценки достаточно умножить на дробь. Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обозначают через.
Определение. Исправленной выборочной дисперсиейназывается величина
.
- исправленное среднеквадратическое отклонение.
Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, так как .
Если , то, то есть.
Следовательно, выборочная и исправленная дисперсия приблизительно равны .
Интервальная оценка параметров
Определение.Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.
Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок. Пусть найденная по результатам выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра. Ясно, что чем меньше, тем точнее оценка. Другими словами, если(), то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образомхарактеризует точность оценки. Однако, мы не можем категорически утверждать, что оценкаудовлетворяет неравенству. Мы можем лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.
Определение.Надёжностью(доверительной вероятностью) оценки параметрапоназывается вероятность, с которой осуществляется неравенство.
Обычно надёжность задаётся наперед, причём чаще всего близка к единице.
Например, =.
Пусть вероятность того, что равна:
или
.
Данное соотношение понимают так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр, равна.
Интервал называетсядоверительным.
Величина доверительного интервала существенно зависит от объёма выборки (уменьшается с ростом) и от значения доверительной вероятности(увеличивается с приближениемк единице).
Определение. Наибольшее отклонениевыборочной средней (или выборочной доли) от генеральной средней (или генеральной доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью, называетсяпредельной ошибкой выборки(точность оценки).
Эту ошибку называют случайной ошибкой репрезентативности.Систематическая ошибка репрезентативности появляется в результате нарушения принципа случайности при отборе элементов в выборку.