Методические указания №474

21

Рис.20

4. Проведя вторую вспомогательную плоскость Q и выполнив аналогичные построения, найдем вторую точку О, принадлежащую линии пересечения заданных плоскостей. О = С5 ∩ 67. На эпюре: О1 =

С151 ∩ 6171, О2 Q2.

4.5.4. Пересечение прямой и плоскости

Прямая и плоскость занимают общее положение относительно плоскостей проекций. Рассмотрим примеры, когда одна исходная плоскость будет задана плоской геометрической фигурой (треугольник), другая – следами.

Основная позиционная задача

Определить точку пересечения прямой m и плоскости α (АВС). Общий алгоритм решения задачи по определению точки

пересечения прямой и плоскости (рис.21):

1. Провести через прямую вспомогательную плоскость частного положения (проецирующую плоскость или плоскость уровня, как удобнее по условию задачи). В данном случае через прямую m проводим горизонтально проецирующую плоскость Q (Q П1).

22

2.Определить линию пересечения двух плоскостей: заданной и частного положения. В данном случае плоскость α (АВС) и плоскость частного положения Q пересекаются по линии 12 (12 = АВС ∩ Q).

3.Отметить на пересечении полученной линии пересечения и заданной прямой общую точку. В данном случае общая линия пересечения двух плоскостей 12 пересекает заданную прямую m в

точке K: (K = 12 ∩ m).

Рис.21

Пример. Определить точку пересечения прямой m с плоскостью

α (АВС), (рис.22).

Ход решения задачи:

1.Проводим через прямую m плоскость частного положения Q. Плоскость Q – горизонтально проецирующая (Q П1), m1 ≡ Q1.

2.Определяем линию пересечения двух плоскостей: заданной α (АВС) и частного положения Q. Линией пересечения двух плоскостей является линия 12. На эпюре1121 = А1В1С1 ∩ Q1, 11 = А1В1 ∩ Q1, 21 = А1С1 ∩ Q1. Определяем фронтальную проекцию линии пересечения

1222: 12 А2В2, 22 А2С2.

3. Строим точку пересечения K заданной прямой m с заданной плоскостью α (АВС), как точку пересечения прямой m с построенной

23

Рис.22

линией пересечения двух плоскостей 12: K2 = m2 ∩ 1222, K1 m1.

4. Определяем видимость взаимного пересечения плоскостей методом конкурирующих точек.

На плоскости проекций П1 рассмотрим две конкурирующие точки: 2 АС, (21 А1С1) и 3 m, (31 m1). Определяем фронтальные проекции 22 и 32: 22 А2С2, 32 m2. По фронтальным проекциям можно установить, что точка 2 расположена выше точки 3 (z2 z3). Следовательно, прямая АС (А2С2) расположена выше, чем прямая m (m2), то есть часть прямой 3K (31K1) на П1 закрыта плоскостью АВС (А1В1С1). Этот участок показан линией невидимого контура.

Аналогично определяем видимость на П2, используя пару конкурирующих точек 4 ≡ 5 (42 ≡ 52).

Пример. Определить точку пересечения прямой m с заданной плоскостью общего положения P (рис.23).

Для определения общей точки пересечения прямой m с заданной плоскостью P используем общий алгоритм решения задачи:

3. K = m ∩ 12, K1 = m1 ∩ 1121, K2 m2

4. Определяем видимость пересечения методом конкурирующих точек.

24

Рис.23

5.Указания к выполнению расчетно-графического задания

Задача 1 – определить кратчайшее расстояние от точки Е до плоскости АВС. Построить точку Е симметричную точке Е относительно плоскости АВС (рис.24).

Согласно своему варианту из табл.1 берем числовые значения координат x, y, z заданных точек A, B, C, D, E, F и в левой части формата А3 наносим исходные данные для решения задачи1: проекции точки Е и проекции плоскости АВС. Масштаб 1:1.

Кратчайшее расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

При проведении направления перпендикуляра на эпюре используем условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая перпендикулярна заданной плоскости, если перпендикулярна двум пресекающимся прямым этой плоскости. На эпюре такими пересекающимися прямыми должны быть горизонталь и фронталь.

25

Рис.24

Ход решения задачи:

1.В заданной плоскости АВС строим горизонталь h (h2, h1) и фронталь f (f1, f2) через одну из вершин плоскости (подробнее смотреть в разделе

4.4.).

2.Через точку Е проводим направление перпендикуляра t: на плоскости проекций П2 строим t2 f 2, на плоскости проекций П1

строим t1 h1 (согласно теореме о проецировании прямого угла).

3. Находим основание перпендикуляра K (точку пересечения перпендикуляра t с плоскостью АВС). Для этого используем общий алгоритм решения задачи:

- проводим через прямую t горизонтально проецирующую плоскость

Q: Q1 ≡ t1, Q1 П1

- определяем линию пересечения плоскостей АВС и Q. Линией пересечения является линия 34:

3141 = А1В1С1 ∩ Q1, 31 = А1С1 ∩ Q1, 41 = А1В1 ∩ Q1, 32 А2С2, 42 А2 В2

- точку пересечения K перпендикуляра t с плоскостью АВС находим как точку пересечения перпендикуляра t с построенной линией пересечения: K = t ∩ 34, K2 = t2 ∩ 3242, K1 t1

26

4. Определяем натуральную величину (Н.В.) перпендикуляра методом прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник строим (допустим) на П1. Прилежащим катетом будет являться горизонтальная проекция перпендикуляра E1K1. Противолежащим катетом E1E0 является разность удалений концов отрезка перпендикуляра ЕK от П1 – z, то есть zЕ – zK Гипотенуза K1E0 представляет натуральную величину перпендикуляра.

5.Точка Е симметричная точке Е относительно плоскости АВС располагается на продолжении перпендикуляра по другую сторону от точки пересечения K на расстоянии длины перпендикуляра. На

плоскости проекций П2: Е2K2 = Е 2K 2. На плоскости проекций П1: Е1K

располагаться на одной линии связи, перпендикулярной оси x. Задача 2. Через прямую DF построить плоскость,

перпендикулярную заданной плоскости АВС, найти линию пересечения двух плоскостей. Определить видимость взаимного пересечения этих плоскостей.

В правой части формата А3 наносим исходные данные: проекции прямой DF и проекции плоскости АВС. Значения координат x, y, z точек A, B, C, D, F выбираем из табл.1 строго по своему варианту

(рис.25).

Ход решения:

1.Плоскость, перпендикулярная заданной плоскости АВС и

перпендикулярности двух плоскостей. Чтобы построить прямую t , перпендикулярную плоскости АВС, нужно из любой точки прямой DF, в данном случае из точки D, воспользовавшись условием перпендикулярности прямой и плоскости (прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, на эпюре такими пересекающимися прямыми должны быть только горизонталь h и фронталь f), построим направление перпендикуляра: на плоскости П2 построим t2 f2, на плоскости проекций П1 построим t1 h1. Предварительно в заданной плоскости

27

АВС строим горизонталь h (h2,h1) и фронталь f (f1,f2). Таким образом построена плоскость α (DF ∩ t), перпендикулярная плоскости АВС.

Рис.25

2. Необходимо определить линию пересечения плоскостей: заданной АВС и построенной перпендикулярной плоскости α. В данном случае общие точки для обеих плоскостей (линию пересечения) можно найти как точки пересечения прямых одной плоскости с отсеком другой плоскости. То есть решать задачу на пересечение прямой с плоскостью (дважды), используя общий алгоритм решения таких задач:

– проводим через перпендикуляр t фронтально проецирующую плоскость Q: t2 ≡ Q2, Q2 П2. Строим линию пересечения 34 двух плоскостей: заданной АВС и вспомогательной плоскости Q.

3242 = А2В2С2 ∩ Q2, 32 = А2С2 ∩ Q2, 42 = В2С2 ∩ Q2, 31 А1С1, 41 В1С1

Далее определяем точку пересечения K перпендикуляра t с плоскостью АВС, как точку пересечения прямой t с построенной линией пересечения 34.

K1 = t1 ∩ 3141, K2 t2

28

– аналогично определяем вторую общую точку О пересечения двух плоскостей АВС и α. Для этого через прямую DF проводим плоскость частного положения P (P – фронтально проецирующая плоскость).

P2 ≡ D2F2, P2 П2, 56 = P ∩ АВС, 5262 = P2 ∩ А2В2С2, 52 = P2 ∩ А2С2,

62 = P2 ∩ В2С2, 51 А1С1, 61 В1С1

Находим точку пересечения прямой DF с заданной плоскостью

АВС: О = DF ∩ 56, О1 = D1F1 ∩ 5161, О2 D2F2

– полученные одноименно проекции точек K и О соединяем: K1О1 – горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей, K2О2 – фронтальная проекция линии пересечения плоскостей.

3. Определяем видимость взаимного пересечения двух плоскостей, используя метод конкурирующих точек.

Видимость определяется внутри общего отсека двух пересекающихся плоскостей. Линия пересечения плоскостей всегда будет видимой.

Определяем видимость на фронтальной плоскости проекций П2. Выбираем на плоскости проекций П2 пару конкурирующих точек 6 и 7 (62 ≡ 72). Находим горизонтальные проекции этих точек: 61 В1С1, 71 D1F1. Так как y7 > y6, то точка 6 на П2 невидима(62) и прямая ВС, проходящая через точку 6 между проекциями точек 62 и 42 будет невидимой. Далее отрезки по видимости чередуются в шахматном порядке: 42K2 – видимый, K232 – невидимый, 3252 – видимый, 52О2 – невидимый, О262 – видимый.

Аналогично определяем видимость на П1. Выбираем на плоскости проекций П1 пару конкурирующих точек 8 и 9 (81 ≡ 91). Находим фронтальные проекции этих точек: В2 А2С2, 92 t2. Так как z9 z8, то точка 8 на П1 невидима (81), прямая АС , проходящая через точку 8 будет невидимой, а прямая t (t1) до точки K (K1) – видимая. Далее отрезки по видимости чередуются в шахматном порядке (внутри общего отсека двух пересекающихся плоскостей).

29

30