Методические указания №474

11

Рис.7

На рис.8а представлена плоскость АВС – фронтально проецирующая. Точка K принадлежит плоскости АВС. Фронтальная проекция А2В2С2 обладает собирательным свойством, поэтому K2 ≡

А2В2С2.

Рис.8

На рис.8 б представлена плоскость Р – фронтально проецирующая плоскость. Фронтальный след плоскости Р2 обладает собирательным свойством, поэтому K2 ≡ Р2.

Задача. Через прямую АВ провести горизонтально проецирующую плоскость Q, через прямую СD провести фронтально проецирующую плоскость Р (рис.9).

12

Рис.9

4.4. Главные линии плоскости

Главными линиями заданной плоскости являются линии уровня (горизонтали и фронтали) и линии наибольшего ската и наклона.

Горизонталь (h) – это прямая, принадлежащая заданной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П1. В плоскости можно построить множество горизонталей. Так как горизонталь h параллельна плоскости проекций П1, то координата z любой точки такой прямой является величиной постоянной (z = const), поэтому проекция h2 параллельна оси x. Исходя из условия принадлежности прямой плоскости заданной следами и параллельной

13

плоскости П1 (h П1 и h P),такая прямая h должна иметь общую точку 1 с одним следом, а другому следу параллельна (12 Р2, 11 x), h P1. На эпюре: h1 P1, h2 x (рис.10).

Рис.10

Пример: в плоскости АВС построить одну из множества горизонталей. Используем условие принадлежности прямой заданной плоскости: прямая принадлежит плоскости, если проходит через две точки этой плоскости (рис.11).

Рис.11

14

Вначале строим через вершину С(С2) фронтальную проекцию горизонтали h2. Так как координата z всех точек этой прямой является величиной постоянной (z = const), то h2 x. В пределах отсека плоскости АВС ограничиваем горизонталь h точкой 1: 12 А2В2, 11 А1В1. Затем на плоскости П1 соединяем проекции С1и 11 и получим h1.

Фронталь (f) – это прямая, принадлежащая заданной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекции П2 (рис.12). В плоскости можно построить множество фронталей. При этом координата y всех точек этой прямой является величиной постоянной

(y = const).

Рис.12

На эпюре (рис.12б) вначале строим горизонтальную проекцию фронтали f1 параллельно оси x, так как y = const. Затем используем условие принадлежности фронтали плоскости заданной следами: с одним следом такая прямая имеет общую точку 1 (11 Q1), а другому следу такая прямая должна быть параллельна (12 x, f Q2), строим через 12 проекцию f2 Q2.

Пример: В плоскости АВС построить одну из множества фронталей (рис.13).

Вначале через вершину А (А1) строим горизонтальную проекцию фронтали f1 x, так как y = const. Затем, используя условие принадлежности прямой заданной плоскости, ограничиваем в пределах отсека плоскости АВС фронталь (f1) точкой 1: 11 В1С1, 12 В2С2. Затем на П2 соединяем проекции точек 12 и А2, получим f 2.

15

Рис.13

4.5. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Прямая относительно заданной плоскости может располагаться следующим образом: прямая параллельна плоскости, прямая пересекает плоскость и как частный случай пересекает под прямым углом, то есть перпендикулярна плоскости.

Две плоскости между собой могут быть параллельны, пересекаться под любым углом и под прямым углом.

4.5.1. Прямая, перпендикулярная плоскости

Прямая t перпендикулярна заданной плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. На эпюре такими пересекающимися прямыми должны быть горизонталь h и фронталь f (согласно теореме о проецировании прямого угла): h ∩ f, tf, t h, h и f принадлежат заданной плоскости, поэтому прямая t перпендикулярна заданной плоскости. Прямой угол между прямой t и прямыми h и f на соответствующие плоскости проекций П1 и П2 спроецируется без искажения.

18

проекции перпендикуляра: t1 Q1, t2 Q2.Следовательно, построенная плоскость α (МN ∩ t) перпендикулярна плоскости Q.

4.5.3. Пересечение двух плоскостей

Рассмотрим вначале частный случай, когда одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение (рис.17). В этом случае общая линия пересечения плоскостей находится без дополнительных построений.

На рис. 17а пересекаются две плоскости: плоскость P – плоскость общего положения и плоскость Q – горизонтальная плоскость уровня (плоскость Q параллельна горизонтальной плоскости проекций П1). В этом случае общая линия пересечения двух плоскостей также будет параллельна плоскости проекций П1, то есть будет являться горизонталью h этих двух плоскостей: h2 ≡ Q2; h2 x; h1 Q1.

Рис.17

Если одна из пересекающихся плоскостей будет параллельна фронтальной плоскости проекций П2, то линией пересечения таких плоскостей будет являться фронталь f.

На рисунке 17б пересекаются две плоскости: плоскость АВС – плоскость общего положения и плоскость T – горизонтально проецирующая плоскость (плоскость Т перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции П1). Линией пересечения двух плоскостей является прямая 12: 12 = АВС ∩ Т. Вначале определяем горизонтальную проекцию линии пересечения 1121 = А1В1С1 ∩ Т1, так как горизонтальный след Т1 обладает собирательным свойством: 11 =

19

А1В1 ∩ Т1; 21 = А1С1 ∩ Т1. Затем определяем фронтальную проекцию линии пересечения: 12 А2В2; 22 А2С2.

Рассмотрим случай определения линий пересечения двух плоскостей заданных следами (рис.18).

Рис.18

Линия пересечения 12 двух плоскостей P и Q заданных следами проходит через точки пересечения одноименных следов этих плоскостей: 1 = Q2 ∩ P2, 2 = Q1 ∩ P1. На эпюре: 12 = Q2 ∩ P2, 11 x, 21 =

Q1 ∩ P1, 22 x. Точки 1 и 2 линии пересечения двух плоскостей являются следами общей линии пересечения. Точка 1 является фронтальным следом прямой 12, точка 2 – горизонтальным следом прямой 12.

Рассмотрим общий случай определения линии пересечения двух плоскостей общего положения. Для нахождения прямой пересечения двух плоскостей определяем две точки, принадлежащие этой прямой. Линию пересечения заданных плоскостей определим при помощи вспомогательных секущих плоскостей частного положения. На рис.19 показаны две произвольно расположенные в пространстве плоскости α (АВ ∩ ВС) и β (m n), соответственно заданные плоскими фигурами.

Общий алгоритм решения задачи по определению линии пересечения двух плоскостей:

Для определения одной из точек линии пересечения необходимо:

20

1.Ввести вспомогательную секущую плоскость частного положения (проецирующую или уровня).

2.Определить прямые пересечения вспомогательной секущей плоскости с каждой из заданных плоскостей.

3.Определить на пересечении полученных прямых пересечения искомую общую точку для трех плоскостей: двух заданных и вспомогательной плоскости частного положения.

Рис.19

Для определения второй общей точки линии пересечения двух заданных плоскостей вводим еще одну вспомогательную секущую плоскость. Рассмотрим построения на эпюре (рис.20):

Ход решения задачи:

1.Вводим первую вспомогательную секущую плоскость Р (Р – горизонтальная плоскость уровня) произвольно. На эпюре это Р2.

2.Плоскость Р пересекает заданные плоскости по линиям 12 и 34 соответственно.

1222 = А2В2С2 ∩ P2, 3242 = m2n2 ∩ Р2, 11 А1В1, 21 В1С1, 31 m1,

41 n 1

3. Точка пересечения K этих плоскостей принадлежит всем трем плоскостям: P, АВС, m n. На эпюре K1 = 1121 ∩ 3141, K2 P2.