Определение параметров автоколебаний нелинейных систем

Пусть передаточная функция линейной части системы, показанной на рис.3.2б, имеет вид

Wo(p) = M(p)/N(p).

Тогда можно записать следующее уравнение:

N(p)  X(p) = - M(p)  Z(p),

где N(p) , M(p) - некоторые полиномы от p; p  d/dt.

Пусть также задано уравнение НЭ: Z = F(X).

Тогда уравнение замкнутой системы принимает вид:

N(p)X + M(p)F(X) = 0. (4)

Для решения нелинейного уравнения (4) пользуются методом гармонической линеаризации. Первые гармоники входного и выходного сигналов НЭ определяются следующими выражениями:

X(t) = Asin(t); Z(t) = A[q(A)sin(t) + q₁(A)cos(t)]. (5)

Продифференцировав X(t), можно из выражений (5) исключить тригонометрические функции.

dX(t)/dt = Acos(t)  pX(p)

Z = F(X) = q(A)X + q₁(A)pX/_a. (6)

Уравнение (6) нелинейное, поскольку q(A) и q1(A) являются нелинейными функциями амплитуды A, но для каждого установившегося режима автоколебаний эти функции рассматриваются как постоянные величины. Поэтому (6) в окрестности исследуемого процесса автоколебаний можно считать линеаризованным уравнением. Подставляя (6) в (4) можно получить линеаризованное уравнение исследуемой системы

[N(p) + M(p)(q + q₁p/_a)]X = 0. (7)

Частоту _a и амплитуду A находят из условия существования периодического решения уравнения (7), т.е. j - корень характеристического уравнения.

Применительно к нелинейной системе, приведенной на рис.3.2а, можно прийти к следующим выражениям, связывающим параметры системы и характеристики ее автоколебательного процесса:

B = A(1 + ²To²)^1/2/(8Ko); (8)

С = 2A/(1 + ²To²)^1/2, (9)

где В - максимальный сигнал на выходе НЭ;  _a - частота автоколебаний; A - амплитуда автоколебаний; Ko - коэффициент передачи объекта управления; To - постоянная времени объекта управления; С - ширина зоны неоднозначности НЭ (ширина петли статической характеристики нелинейного элемента).

Выражения (8) и (9) используются при синтезе аналогичных систем, при котором задача синтеза сводится к выбору ширины петли С и максимального сигнала на выходе НЭ В при заданных допустимых значениях амплитуды A и частоты  _a автоколебаний.

Рис. 3.3. Структурная схема первой моделируемой САУ.

Порядок выполнения работы

1. Собрать схему моделирования первой системы (рис.3.3). Задать следующие значения настраиваемых параметров:

G(t) = 0; Кпе = 1,0 - (Сп = 1,0); Т₀₁ = 0; Т₀₂ = 1,0;

Koe = по заданию преподавателя.

2. Рассчитать и поместить результаты расчетов в протокол № 1 амплитуды и частоты автоколебаний в первой моделируемой системе в зависимости от ширины петли статической характеристики НЭ в соответствии с выражениями:

A = C / 2;    = BKoe / (2C); B = 10.

3. По полученным данным построить графики 1 и 2.

4. Собрать схему моделирования второй системы (рис.3.2а). Задать следующие значения настраиваемых параметров:

G(t) = 0; К_пе = 1,0 (С_п = 1,0);

Koe = по заданию преподавателя;

Т₀₁ = по заданию преподавателя;

Т₀₂  = по заданию преподавателя.

5. Рассчитать и поместить результаты расчетов в протокол  № 2 амплитуды и частоты автоколебаний во второй моделируемой системе в зависимости от ширины петли статической характеристики НЭ в соответствии с выражениями:

В = A (1 + ²To²)^1/2/[4Ko]; С = 2A / (1 + ²To²)^1/2.

6. Определить необходимую ширину петли характеристики НЭ и частоту автоколебаний при A_доп = 0.1 и B = 10.

7. По полученным данным построить графики 3 и 4.