§ 7. Сферические функции
Рассмотрим трехмерное уравнение Лапласа в сферической системе координат r, θ, φ:
, где
(38)
с граничным условием
(39)
К такому уравнению можно, в частности прийти при решении задачи о распределении тепла внутри или вне сферы единичного радиуса, на которой задано распределение температуры.
Такую задачу можно решать
методом разделения переменных. Сначала
представим функцию
в виде произведения
(40)
Подставляя это произведение в исходное уравнение (38), получим
Разделив все члены уравнения
на
,
будем иметь равенство
,
которое может иметь место только в случае, когда
,
а
,
где λ – некоторая константа, которая может иметь несколько значений, в том числе и бесконечный набор значений.
Из полученных соотношений получим два уравнения
(41)
(42)
Решения уравнения (41) имеет вид:
, (43)
где n – целое число, а An и Вn – произвольные постоянные. В силу требования об ограниченности решения для внутренней задачи все коэффициенты Вn должны быть равны нулю, а для внешней задачи все An должны быть равны нулю. Возьмем решение внешней задачи
и подставим его в уравнение (41), предварительно вычислив
и
В результате получим
,
откуда
.
Теперь в уравнении (42) известны значения параметра λ и поскольку их бесконечный набор, то и уравнений будет тоже бесконечный набор:
(44)
Эти уравнения называются уравнениями сферических функций, а их решения Yn (θ, φ) – сферическими функциями.
Решение уравнения (42) также будем искать методом разделения переменных, представив Yn (θ, φ) в виде
(45)
Подставляя это выражение в уравнение (42) получим:
Разделив все члены этого уравнения на P(θ) Ф(φ), получим
,
а умножив все члены этого
уравнения на sin2φ
можем записать
После этого можем записать два уравнения:
,
(46)
которое имеет знакомое нам решение для каждого значения m:
,
(47)
где m – целое число (исходя из необходимости периодичности решения).
Второе уравнение запишем для каждого значения m и n (вспоминая, что нам известны значения λ):
(48)
Выполним в этом уравнении замену переменных
Эта замена приведет уравнение
(48) к виду (учитывая, что
)
или
(49)
В частности, при m = 0 получим уравнение
(50)
Это уравнение называется уравнением Лежандра, а его решения функциями Лежандра.