Определение скоростей точек в плоскопараллельном движении

Теорема о скоростях точек. 

    При движении фигуры в плоскости положение её точек можно определить соотношением

 

 

                                                       r_M=r_A⊕AM.

    В данном случае точка  A является полюсом. Скорость точки M 

                     V_M=dr_M/dt=(dr_A/dt)+dAM/dt; V_M=V_A⊕V_MA .      

   

Производная от вектора, постоянного по величине и переменного по направлению, есть вращательная скорость 

     Вектор ω  в данном случае перпендикулярен плоскости фигуры: V_AM⊥ AM.

   

     Скорость точки в плоскопараллельном движении определяется как геометрическая сумма скорости полюса и скорости точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

     Численная величина скорости может быть найдена по теореме косинусов:

V_M²=V_A²+V_MA²+2V_A⋅V_MAcosα      

или проецированием векторного равенства на оси координат:

                              V_Mx=V_Ax⊕V_MAx,   V_My=V_Ay⊕V_MAy, 

 Ускорение точки в плоскопараллельном движении

    Из выражения V_M=V_A ⊕ V_MA  (или V_M=V_A+ω ⊗ AM ) путем дифференцирования получаем

где  a_MA^вр -вращательное ускорение точки M  при вращении вокруг точки A ;

 a_MA^вр=ε ⊗ АM, a_MA^вр⊥AM; 

a_MA^вр=ε⋅АM

  a_MA^ц - центростремительное ускорение точки M  при вращении вокруг точки A ;

a_MA^ц=ω ⊗ (ω ⊗ AM )=ω ⊗ М_VA; 

a_MA^ц=ω²AM

 

    Центростремительное ускорение a_MA^ц  направлено от точки M  к полюсу A  .

    Численную величину полного ускорения можно определить, спроецировав векторное равенство (2.15) на выбранные оси координат:

2.2 Постановка задачи.

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек B и C, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.

Размеры, см				ωOA, рад/с		εOA, рад/с2
ОА	r	AC
40	15	8	2		2

2.3 Алгоритм решения задачи.

1. Определение скоростей точек.

Вычислим скорость точки А при заданном положении механизма:

ν_A = _ОАOA = 240 = 80 см/с.

Скорость точки А направлена перпендикулярна к ОА. Мгновенный центр скоростей С_V находится в точке соприкосновения колес.

Угловая скорость колеса

_К = ν_A/r = 80/15 = 5,33 c^-1

Скорости точек В и С:

ν_B = _КВС_V;

ν_С = _КСС_V,

где

ВС_V = r= 151,41 = 21,2 см,

СС_V = см.

Следовательно,

ν_B = _КВС_V = 5,3321,2 = 113 см/с;

ν_С = _КСС_V = 5,3321,4 = 114,1 см/с.

Вектор направлен перпендикулярно к отрезкуBC_V, а вектор - перпендикулярно к отрезкуCC_V в сторону вращения колеса.

рис. 1

2. Определение ускорений точек.

Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений:

;

см/с²;

см/с².

Вектор направлен от А к О. Векторперпендикулярен к векторуи направлен в соответствии с направлением углового ускорения_ОА.

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем:

.

Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении колеса вокруг полюса А:

см/с².

Вращательное ускорение точки В:

,

где

с^-2,

см/с².

Вектор направлен от В к А. Векторперпендикулярен к векторуи направлен в соответствии с направлением углового ускорения_K.

Ускорение точки В находим способом проекций:

см/с²;

см/с²;

см/с².

Определяем ускорение точки С:

.

Центростремительное ускорение точки С во вращательном движении колеса вокруг полюса А:

см/с².

Вращательное ускорение точки С:

см/с².

Вектор направлен от С к А. Векторперпендикулярен к векторуи направлен в соответствии с направлением углового ускорения_K.

Ускорение точки С находим способом проекций:

см/с².

рис. 2