2. Свой­ства ли­ней­ной функ­ции и

  Напоминание:

Опре­де­ле­ние. Ли­ней­ной на­зы­ва­ет­ся функ­ция вида, где

 - неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, ар­гу­мент;

 - за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция;

 - кон­стан­ты.    

При­ме­ры.

а. , (есте­ствен­ная об­ласть опре­де­ле­ния).

б. 

3. Анализ свойств конкретных линейных функций

а. Функ­ция (см. Рис.1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

.

.

.

Мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, непре­рыв­на, не огра­ни­че­на.

Гра­фик ил­лю­стри­ру­ет свой­ства.

б. Функ­ция (см. Рис.2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

.

Мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, непре­рыв­на, огра­ни­че­на.

Гра­фик ил­лю­стри­ру­ет свой­ства.

Задача на определение знаков

По гра­фи­ку функ­ции опре­де­лить знаки и.

 – уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент; – ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью.

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Задача о нахождении уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Найти урав­не­ние пря­мой , если.

Ре­ше­ние.  Гра­фик пря­мой на Рис. 4.

Рис. 4. Гра­фик функ­ции .

.

Ответ: .

Взаимное расположение прямых

(1) и(2).

 1. (пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся) (см. Рис. 5).

Рис. 5.

2. (пря­мые па­рал­лель­ны) (см. Рис. 6)

Рис. 6.

3. (пря­мые сов­па­да­ют) (см. Рис. 7)

Рис. 7.

8. Определение числа решений системы

Опре­де­лить число ре­ше­ний си­сте­мы.

Ответ: одно ре­ше­ние

 

Ответ: ре­ше­ний нет

Ответ: бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний

 

9. Свойства линейной функции

Рис. 8. Гра­фик функ­ции 

Рис. 9. Гра­фик функ­ции 

1. ;

2. Воз­рас­та­ет, если ; убы­ва­ет, если;

3. Не огра­ни­че­на ни снизу, ни свер­ху;

4. Нет ни наи­боль­ше­го, ни наи­мень­ше­го зна­че­ний;

5. Функ­ция непре­рыв­на;

6. ;

7. О вы­пук­ло­сти го­во­рить нет смыс­ла.

10. Функция и её свойства

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла с вер­ши­ной в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх (см. Рис. 10), если, и вниз (см. Рис. 11), если.

Свой­ства функ­ции :

Рис. 10. Гра­фик функ­ции 

 

Рис. 11. Гра­фик функ­ции 

Рис. 12. Гра­фик функ­ции 

а. для слу­чая (см. Рис. 12).

1. ;

2. Убы­ва­ет на ; воз­рас­та­ет на;

3. Огра­ни­че­на снизу, но не огра­ни­че­на свер­ху;

4. ,не су­ще­ству­ет;

5. Непре­рыв­на;

6. ;

7. Вы­пук­ла вниз.

Рис. 13. Гра­фик функ­ции 

б. для слу­чая (см. Рис. 13).

1. ;

2. Воз­рас­та­ет на луче ; убы­ва­ет на луче;

3. Не огра­ни­че­на снизу, но огра­ни­че­на свер­ху;

4. не су­ще­ству­ет,;

5. Непре­рыв­на;

6. ;

7. Вы­пук­ла вверх.

11. Задача

 До­ка­зать воз­рас­та­ние функ­ции при.

Рис. 14. Гра­фик функ­ции 

До­ка­за­тель­ство. Так как , то есть

 для всех из мно­же­ства.

Сте­пен­ная функ­ция с чет­ным по­ка­за­те­лем сте­пе­ни её свой­ства и гра­фик

Мы уже зна­ко­мы с функ­ци­ей Теперь по­зна­ко­мим­ся состе­пен­ной функ­ци­ей вида изу­чим свой­ства и гра­фи­ки таких функ­ций.

  Изучение свойств функции

Рас­смот­рим функ­цию 

 чет­ная функ­ция, 

Гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y.

Рас­смот­рим гра­фик функ­ции приПо­стро­им гра­фик по таб­ли­це зна­че­ний функ­ции (Рис. 1).

x	0	1		2
y	0	1		16

Сим­мет­рич­но отоб­ра­зим гра­фик от­но­си­тель­но оси y, и по­лу­чим гра­фик функ­ции  (Рис. 2).

Про­чтем по­лу­чен­ный гра­фик.

1. 

2. Функ­ция чет­ная.

3. Убы­ва­ет при воз­рас­та­ет при

4. Функ­ция огра­ни­че­на снизу и не огра­ни­че­на свер­ху.

5. не су­ще­ству­ет.

6. Функ­ция непре­рыв­на.

7. Об­ласть зна­че­ний: 

8. Функ­ция вы­пук­ла вниз. Это зна­чит, что если мы со­еди­ним от­рез­ком  две точки на гра­фи­ке, то гра­фик будет рас­по­ло­жен под этим от­рез­ком.