gurtov_v_a_tverdotelnaya_elektronika

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петрозаводский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

β(ψs −2ϕ0 )

Qn = [2kTεsε0 NA ]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

16.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 488 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 3. Физика поверхности и МДП-структуры

Сильная инверсия – состояние поверхности полупроводника, когда поверхностная концентрация неосновных носителей больше, чем концентрация основных носителей в квазинейтральном объеме (рис. 3.2г).

n-тип	ps > n0	зоны изогнуты вверх	ψs	< 0	\|ψs\| > 2φ0
p-тип	ns > p0	зоны изогнуты вниз	ψs	> 0	ψs > 2φ0

Eвнеш

qϕ

qψ

qϕ

qψ

ψs > 0

ψs < 0

ψs

qψ

Eвнеш

Рис. 3.2. Зонная диаграмма приповерхностной области полупроводника n-типа при различных состояниях поверхности:

а) обогащение; б) обеднение; в) слабая инверсия; г) сильная инверсия

Переход от области слабой инверсии к области сильной инверсии происходит при значении поверхностного потенциала ψs = 2φ0, получившем название «порогового» потенциала. При этом концентрация неосновных носителей на поверхности равна концентрации основных носителей в объеме полупроводника.

Та область в ОПЗ, где суммарная концентрация свободных носителей электронов и дырок меньше, чем концентрация ионизованной примеси, называется областью обеднения. Область в ОПЗ, где концентрация свободных неосновных носителей больше, чем основных, получила название инверсионного канала.

Gurtov.indd 64

17.11.2005 12:27:48

3.2. Заряд в области пространственного заряда

Одной из основных задач при анализе области пространственного заряда полупроводника является нахождение связи между электростатическим потенциалом ψ(x), с одной стороны, и величинами заряда в области пространственного заряда Qs, избытка электронов и дырок Гp,n, емкости ОПЗ Cs – с другой. Нахождение этой связи основано на решении уравнения Пуассона для ОПЗ.

3.2.1. Уравнение Пуассона для ОПЗ

Запишем уравнение Пуассона для полупроводника p-типа:

d2ψ	= −	ρ(x) .	(3.6)
dz2
		ε0εs

Величина ρ(x) в общем случае, когда отсутствует ограничение на малость возмущения, будет:

ρ(z) = q(ND+ – N A– + p – n).

(3.7)

В квазинейтральном объеме, где условие электронейтральности выполняется, ρ(x) = 0. Тогда:

N + – N – = n			0	– p		.		(3.8)
D	A		0		0
Поскольку, как было показано в (3.3)—(3.5):
n = n0eβϕ,		p = p0e−βϕ ,
n	= n e−βϕ0 ,			p	= p eβϕ0		,
0	i			0		i
для ρ(z) в ОПЗ имеем:
ρ(x) = −qp0[e−2βϕ0 (eβψ −1) − e−βψ +1] .								(3.9)

Подставляя (3.9) в (3.6), получаем для нахождения ψ(z) дифференциальное уравнение:

d2ψ		qp		−2βϕ			βψ		−βψ
	=	0	[e		0	(e		−1) − e		+1] .	(3.10)
dz2	=		[e		0	(e		−1) − e		+1] .	(3.10)
dz2		εsε0

Домножим выражение для дебаевской длины экранирования, которое представлено в разделе 2.5 формулой (2.23), слева и справа на величину dψ . Тогда:

dψ

d2ψ

1 d dψ 2

(3.11)

2 dz dz

Следовательно:

2qp

−2βϕ

−β

−1) − e

+1]d .

(3.12)

εsε0

Проинтегрировав (3.12) от бесконечности до некоторой точки ОПЗ, получаем:

2qp

[(e

−β

+ β −1) + e

−2βϕ

0 (e

−β −1)] .

(3.13)

εsε0

Gurtov.indd 65

17.11.2005 12:27:48

Глава 3. Физика поверхности и МДП-структуры

Воспользовавшись определением дебаевской длины экранирования L (2.28), а также соотношением E(z) = – dψ , получаем: D

kT 2

[(e

−β

−1) + e

−2β

0 (e

+ β

−β −1)] .

Обозначим:

F(ψ,ϕ0 ) ≡[(e−βψ + βψ −1) + e−2βϕ0 (eβψ −βψ −1)]

Из (3.14) и (3.15) имеем:

E = −

= ±

F( , 0 ) .

q LD

(3.14)

(3.15)

(3.16)

Соотношение (3.16) называется первым интегралом уравнения Пуассона.

Знак электрического поля выбирается в зависимости от знака поверхностного потенциала. Если ψs > 0 (обеднение основными носителями или инверсия), поле направлено вглубь полупроводника по оси z и положительно. При ψs < 0 поле E направлено против оси z и отрицательно.

Величина электрического поля на поверхности Es будет:

Es	= ±	kT	2	F(ψs,ϕ0 ) .	(3.17)
		q
			LD

Поскольку, согласно теореме Гаусса, величина электрического поля на поверхности Es связана определенным образом с плотностью пространственного заряда на единицу площади Qsc, имеем:

Qsc = εsε0 Es	= ±	2εsε0kT	F(ψs,ϕ0 ) .	(3.18)

		qLD

Отметим, что соотношения (3.16)–(3.18), полученные в этом разделе, являются очень важными и будут в дальнейшем неоднократно привлекаться для анализа ОПЗ.

3.2.2. Выражение для заряда в ОПЗ

Выражение (3.18) для заряда в ОПЗ, полученное в предыдущем параграфе, справедливо для любых значений поверхностного потенциала. Однако использование его для конкретных случаев довольно затруднено в силу громоздкости функции F (ψ, φ0) в виде (3.15). Получим выражение для заряда Qsc, упростив соотношение (3.18) для различных областей.

Область обогащения (ψs < 0). Для полупроводника p-типа заряд в ОПЗ Qsc обусловлен зарядом свободных дырок Qp, как только:

;

βψ

>1 .

2ε

−

βψs

Qsc

= Qp =

2 .

(3.19)

qLD

Область обеднения (φ0 > ψs > 0). Заряд в ОПЗ Qsc обусловлен только зарядом ионизованных акцепторов QB. Из (3.16) и (3.18) следует, что:

2εs

ε0kT

( s

1)2.

(3.20)

Qsc QB

s 0qNA

qLD

Gurtov.indd 66

17.11.2005 12:27:48

3.2. Заряд в области пространственного заряда

Ширина обедненной области:

W =

2εsε0

−

qNA

ψs

Область слабой инверсии (2φ0 > ψs > φ0). Заряд в ОПЗ Qsc, так же как и в случае

обеднения, обусловлен только зарядом ионизованных акцепторов QB, поскольку

заряд свободных электронов Qn << QB.

= Q

− kT

2εsε0kT (βψ

2ε

−1)2 .

(3.21)

qLD

–10

βψs

QSC, Кл/см2

10–5

NA = 1016 см–3

T = 290 K

ϕ0 = 0,35 B

10–6

2βϕ0 = 28

Обогащение

Обеднение

Слабая

Сильная

инверсия

10–7

10–8

Плоские

зоны

10–9

ψs, В

–0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

–0,4

Рис. 3.3. Зависимость заряда в ОПЗ от поверхностного потенциала ψs,

рассчитанная для кремния p-типа

Gurtov.indd 67

17.11.2005 12:27:48

Глава 3. Физика поверхности и МДП-структуры

Область сильной инверсии (ψs > 2φ0). Заряд в ОПЗ Qsc обусловлен в основном зарядом свободных электронов вблизи поверхности в инверсионном канале Qn, хотя в начале области сильной инверсии еще существен вклад заряда ионизованных акцепторов:

		εsε0kT	β(ψs −2ϕ0 )
Qsc = QW + QB ≈ Qn	=		e 2 .	(3.22)

		2qLD

Величина заряда ионизованных акцепторов QB в ОПЗ и ширина слоя обеднения W не зависят от поверхностного потенциала ψs и равны:

2qεsε0

QB =

2qεs

ε0 NA

2ϕ0

−

; W =

2ϕ0

−

(3.23)

qNA

Отметим, что, как следует из рис. 3.2 и выражений (3.19)–(3.22), область обогащения по многим параметрам подобна области сильной инверсии, а область обеднения – области слабой инверсии. На рис. 3.3 приведено значение заряда в ОПЗ Qsc как функции поверхностного потенциала ψs, рассчитанное для конкретного случая.

3.2.3. Избыток свободных носителей заряда

Важной характеристикой ОПЗ является значение заряда свободных носителей (электронов или дырок) Qp,n или, если выразить этот заряд в единицах элементарного заряда, величина избытка электронов или дырок Γp,n в ОПЗ. Определим величину Γp как:

Γp = ∞∫( p(z) − p0 )dz ,	(3.24)
0

где p(z) – концентрация дырок в ОПЗ, p0 – концентрация дырок в квазинейтральном объеме.

Таким образом, избыток электронов или дырок – это избыточное по сравнению с равновесным в нейтральном объеме число свободных носителей на единицу площади ОПЗ. В ряде источников иногда избыток свободных носителей Γp, n называют поверхностной концентрацией. Это не совсем верно, ибо поверхностная концентрация по своему смыслу есть число свободных носителей заряда на единицу объема, рассчитанное на поверхности полупроводника. А избыток Γp, n есть избыточное число свободных носителей, проинтегрированное по глубине ОПЗ и рассчитанное на единицу площади.

Из (3.24) следует, что:

∞

−βψ

e−βψ −1

Γp = p0 ∫

−1)dz = p0

∫

dψ .

(3.25)

dψ

ψs

Аналогично избыток электронов Γn равен:

eβψ −1

Γn = n0 ∫

dψ .

(3.26)

dψ

ψs

Gurtov.indd 68

17.11.2005 12:27:49

3.2. Заряд в области пространственного заряда

Понятиями избытка Γp, n чаще пользуются, когда говорят о свободных носителях в инверсионном канале. Для случая обогащения выражения (3.25) и (3.26), рассчитанные с учетом (3.15), при значениях |βψs| > 3 будут иметь вид:

	ε	ε	0	kT	−βψ
Γp =	s		0		e 2 ,	(3.27)
Γp =	2q2 LD				e 2 ,	(3.27)
	2q2 LD
	εsε0kT				βψ
Γn =	εsε0kT				e 2 .	(3.28)
Γn =	2q2 LD				e 2 .	(3.28)
	2q2 LD

Для области слабой и сильной инверсии выражение для Γp,n можно получить в аналитическом виде из выражений для зарядов в ОПЗ, не прибегая к интегрированию (3.25) и (3.26).

Действительно, заряд свободных носителей, например электронов, в инверсионном канале Qn равен разности полного заряда Qsc и заряда ионизованных доноров QB, для которых имеются аналитические выражения:

Qn = Qsc – QB.

(3.29)

Для случая инверсии соотношение (3.18) для Qsc упростится и будет иметь вид:

β(ψs −2

ϕ0 )

2qε

(

1

	2
		(3.30)
−1) .

Используя выражения для QB в виде (3.20) и (3.23), получаем соответственно для области слабой и сильной инверсии выражения для Qn в виде:


					1
					kT	2
Qn	= 2qεs	ε0 NA	ψs	−			1	+
Qn	= 2qεs	ε0 NA	ψs	−			1	+
					q

				1

					2
kT eβ(ψs −2ϕ0 )
						−1 ,	(3.31)
q			kT			−1 ,	(3.31)
q	ψs	−	kT
	ψs	−	q

Qn = 2qεs


			1
			kT
			kT	2
ε0 NA	ψs	−			1	+
ε0 NA	ψs	−			1	+
			q

2ϕ0 −

kT 2

kT e

(ψs −2ϕ0 )

−

. (3.32)

ψs

−

ψs −

Для случая (3.32), используя соотношение

(1+ x)

≈1+

, при x << 1,

получаем:

= CB

eβ(ψs −2ϕ0 ) .

(3.33)

Здесь CB

∂QB

2qεsε0 NA

= −

– емкость обедненной области.

∂ψ

ψ −

Gurtov.indd 69

17.11.2005 12:27:49

Глава 3. Физика поверхности и МДП-структуры

Для случая (3.33) удовлетворительная аппроксимация существует только при β(ψs – 2φ0) > 7 и имеет вид:

Отметим, что выражение (3.33) совпадает с соответствующим выражением для Qn в уравнении (3.22). Величина избытка электронов Гn = Qn/q будет для области слабой и сильной инверсии при соответствующих ограничениях равна:

= C

eβ(ψs −2ϕ0 )

(3.35)

β(ψs

−2ϕ0 )

εsε0 NA

Γn

= 2

(3.36)

Из соотношения (3.36) при значении ψs = 2φ0, т. е. для начала области сильной инверсии, можно получить, что для кремния с удельным сопротивлением ρ = (1÷10) Ом·см величина избытка Γn(ψs = 2φ0) = (109÷1010) см–2. Максимальное значение избытка Γn, достигаемое в ОПЗ, составляет Γn max = (1÷2)·1013 см–2 и ограничивается пробоем ОПЗ полупроводника.

Из соотношений (3.35) и (3.36) следует, что избыток свободных носителей экспоненциально зависит от значения поверхностного потенциала ψs и слабо зависит от температуры и легирования полупроводника. На рис. 3.4 и 3.5 приведены соответствующие графики зависимости Qn и Γn от значения ψs.

10–6	Qn, Кл/см2		ND =1014 см–3
			ND =1014 см–3
10–7					1017
10–7					1016
				1015
10–8
10–9					βψs =2ϕ0
10–10
10–11
10–12					βψs
10–12		20	25	30	35	40
15		20	25	30	35	40
Рис. 3.4. Зависимость заряда свободных электронов Qn							в
инверсионном канале от поверхностного потенциала

ψs, рассчитанная для кремния p-типа с различной концентрацией акцепторов [1, 42]

Gurtov.indd 70

17.11.2005 12:27:49

где ρ(z) – плотность заряда свободных носителей в направлении, перпендикулярном поверхности.

Очевидно, что интеграл:

∞∫ρ(z)zdz

3.2. Заряд в области пространственного заряда

10	13	Гn,см–2
10
1012				NA =1015 см–3
1012
1011
				80
1010				140
1010
				230
109				320
109
108
107				+β(ψs –2ϕ0)
107		–4	0	4	8	12
		–4	0	4	8	12

Рис. 3.5. Зависимость избытка электронов Γn в инверсионном канале от поверхностного потенциала ψs, рассчитанная для кремния p-типа при различной температуре

3.2.4.Среднее расстояние локализации свободных носителей от поверхности полупроводника

Для ряда процессов, протекающих в ОПЗ, важной характеристикой является среднее расстояние λc, на котором локализованы свободные носители заряда, электроны или дырки, от поверхности полупроводника. Определим величину λc следующим образом:

λ	c	=	0	,	(3.37)
			∞
			∫ρ(z)dz

∞∫ρ(z)dz = Qp,n	(3.38)
0

равен заряду свободных носителей в ОПЗ. Для случая обогащения поверхности основными носителями (для полупроводника p-типа – дырками) величина λc будет после соответствующего интегрирования равна:

λ	c	=	βψs LD	.	(3.39)

			F(ψs,ϕ0 )

Gurtov.indd 71

17.11.2005 12:27:50

Глава 3. Физика поверхности и МДП-структуры

Отметим, что соотношение (3.39) применимо и для случая инверсии, если под λc понимать центроид расположения полного заряда Qsc в ОПЗ.

Для области слабой инверсии электрическое поле E(z) в пределах инверсионного слоя постоянно и равно полю на поверхности Es. Электростатический потенциал линейно спадает по инверсионному слою:

ψ = ψs – Esz.

(3.40)

При этом распределение концентрации n(z) по глубине инверсионного слоя будет:

n(z) = n0eβ(ψs −Es z) = nse−βEs z .

(3.41)

Тогда из (3.39) и (3.41) с учетом (3.4), (3.5) и (3.18) следует:

λ		=	1	= εsε0kT .	(3.42)
	c		βEz
				qQB

Как видно из (3.42), в области слабой инверсии среднее расстояние λc свободных носителей заряда слабо зависит от поверхностного потенциала ψs, а следовательно, и от избытка свободных носителей в канале. Зависимость λc от температуры T близка к линейной.

Для области очень сильной инверсии, когда Qn >> QB, выражение для центроида электронов в инверсионном канале дается соотношением (3.39). В промежуточной области значений поверхностного потенциала среднее расстояние λc необходимо рассчитывать, пользуясь численными методами, по уравнению (3.37).

λ, Å				NA = 1015 см–3
250				VSS = 0
250	T = 320 K
	T = 320 K
	290		ψs = 2ϕ0
200	290
200
	260
150	230
	200
100	170
	140
50	110
50	80
	80
0			Гn, см–2
107	108	109	1010	1011	1012	1013

Рис. 3.6.Рассчитанное численно среднее расстояние локализации электронов λc в ОПЗ в зависимости от избытка электронов Гn при разных температурах. Пунктирная линия соответствует самосогласованному квантовому расчету Стерна для многих уровней при T = 300 К для кремния p-типа

Gurtov.indd 72

17.11.2005 12:27:50

3.2. Заряд в области пространственного заряда

На рис. 3.6 приведен результат такого численного расчета. Обращает на себя внимание тот факт, что значения центроида λc лежат в пределах (20÷300) Å в реально достижимых случаях как для случая обогащения, так и для инверсии. Особой точкой является значение потенциала плоских зон ψs = 0, где значение λc равняется дебаевской длине экранирования, достигающей десятых долей микрона.

3.2.5.Форма потенциального барьера на поверхности полупроводника

При решении уравнения Пуассона в разделе 3.2.1 нами был получен первый интеграл в виде (3.16). Для нахождения формы потенциального барьера, т. е. зависимости электростатического потенциала ψ(z), необходимо проинтегрировать соотношение (3.16) и получить второй интеграл уравнения Пуассона:

ψ	dψ				kT	1
∫	dψ			=	kT	1		z .	(3.43)
∫	F(ψ	,ϕ	)	=	q		L	z .	(3.43)
ψs	s	0					D

В общем виде уравнение (3.43) решить и найти аналитическое выражение ψ(z) не удается. Рассмотрим частные случаи.

Собственный полупроводник (p = n = ni; φ0 = 0)

Из (3.15) следует, что величина F(ψ, φ0) для собственного полупроводника:

−βψ βψ	1	1	βψ
F(ψ, ϕ0 ) = (e + e − 2)	2	=	sh	.

		2		2

Подставляя (3.44) в (3.43), имеем:

∫

2kT

Легко убедиться, что решение (3.45) будет в виде:

βψs

= ln

βψ

или:

βψ

= th

βψs

exp

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

Из (3.47) трудно наглядно представить форму потенциального барьера. Расчет показывает быстрый спад ψ(z) вблизи поверхности и относительно медленное убывание при больших величинах z.

Обеднение и слабая инверсия в примесном полупроводнике

Для этой области, как следует из (3.15), функция F (ψ, φ0) имеет совсем простой вид. Второй интеграл уравнения Пуассона при этом будет равен:

∫s	d			=	kT	1	z.	(3.48)
			1	=			z.	(3.48)
	β −	kT	2		q	LD


		q

Gurtov.indd 73

17.11.2005 12:27:50

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 488 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.2019167.8 Кб1GP_lektsii.docx
#
14.05.201517.77 Mб27Great Britain.doc
#
14.05.20153.21 Mб74GRX2_User_Manual_RUS.pdf
#
14.05.20151.11 Mб41Guide_book_for_PostGR.doc
#
24.08.201979.22 Кб2Gulliver.rtf
#
18.03.201616.32 Mб26gurtov_v_a_tverdotelnaya_elektronika.pdf
#
18.07.2019277.5 Кб7Headlines_final.doc
#
26.08.201953.25 Кб1history questions.doc
#
14.05.201528.16 Кб27HOW TO MAKE A RENDERING OF A TEXT.doc
#
14.05.201535.84 Кб16HW1 Вопросы Упр 23 24.doc
#
14.05.201537.89 Кб45HW6 test 25 26 Past Simple Past Cont.doc