Задание №3

Требуется построить линейный блочный (n,k)-код. Определить теоретический предел для этого кода – найти максимальную кратность исправляемых ошибок q_и.

Определить вероятность ошибочного декодирования кодовой комбинации P_ош, если ошибки в отдельных символах в канале передачи происходят с вероятностью p, а ошибки в разных символах независимы. В ответе для величины P_ош оставить 6 знаков после десятичной точки.

Исходные данные:

n	k	p
43	15	0.179

Код Хэмминга имеет кодовое расстояние, равное трем, и полностью характеризуется числом проверочных символов r. В нашем случае имеем:

(3.1)

Определим число q-кратных ошибок выражением:

(3.2)

А общее количество ошибок определится как :

(3.3)

Чтобы любая из ошибок могла быть исправлена, различным ошибкам должны соответствовать различные значения синдрома c. Вектор c состоит из r двоичных символов, максимальное количество различных ненулевых комбинаций равно . Отсюда получаем неравенство Хэмминга:

(3.4)

(3.5)

Найдем значение - максимальную кратность исправляемых ошибок:

При :

А при :

, что не соответствует условию , поэтому .

Так как возникновение ошибки в том или ином разряде по условию задачи– события независимые, каждое из них совершаются с вероятностью p, то по биномиальной формуле определим вероятность того, что ошибка имеет кратность q как:

(3.6)

Вероятность ошибочного приема определяется теми ошибками, которые мы не сможем исправить, т.е. ошибки с кратностями q_max  q  n:

(3.7)

Подсчитаем , подставив данные в вышеприведенную формулу:

Таблица ответов для проверки:

qи	Pош	S
8	0.360	8.360

Глава 4. Расчётное задание №4. Задача №1.

1) Вероятность битовой ошибки при передаче цифрового сигнала

Источник информации создает цифровой поток B мегабит в секунду. На вход радиолинии с выхода передатчика подается последовательность двоичных радиоимпульсов, модулированных по закону М (М=1 для АМ, М=2 для ЧМ с ортогональными сигналами, М=3 для ФМ). Задана требуемая вероятность битовой ошибки Р_ош на выходе оптимального когерентного демодулятора Р_ош и величина ослабления в линии F. На входе приемника присутствует аддитивный белый гауссовский шум со спектральной плотностью N_o.

Определить требуемую среднюю мощность W передаваемых сигналов обоих видов (0 и 1) без использования корректирующего кода (W₁) и при использовании (n,k)-кода Хэмминга в режиме исправления ошибки (W₂). Определить в каждом из режимов вероятность битовой ошибки на выходе линии связи (декодера) (P_Б1, P_Б2 )

Примечания:

1) 1пВт=10^-12 Вт.

2) При вычислении отношения сигнал/шум необходимо учитывать, что длительность передаваемых импульсов должна уменьшаться при увеличении избыточности, чтобы обеспечить заданную скорость передачи В информационных символов.

3) Вероятность битовой ошибки при демодуляции двоичного сигнала в когерентной системе определяется по формуле

,

где – интеграл вероятности,– отношение энергии разностного сигнала (импульса) к спектральной плотности мощности белого шума, зависящее не только от средней мощности сигнала (P_c) на выходе линии, но и от вида модуляции, q²=Е/ N_o

при .

Обратите внимание, что энергия сигнала зависит не только от его мощности, но и от длительности, E=WT.

Исходные данные:

N	M	F,дБ	n	k	B,Мбит/с	Рош*10^2	N0,пВт/Гц
22	1	54	63	57	0,3	0,3	0,3

Ф(q/2)=0.997; (1)

где отношение энергии разностного сигнала к спектральной плотности шума,

интеграл вероятности (значение интеграла можно определить из приложения№3

учебника Акулиничева).

; (2)

; (3)

При амплитудной модуляции величины связаны следующим соотношением:

, ; (4)

. (5)

где отношение средней энергии импульса на входе демодулятора к спектральной

плотности шума.

. (6)

Известно, что , гдесредняя энергия одного импульса (так как появления 0 и 1 равновероятно).

, (7)

Мощность сигнала на входе приёмника можно рассчитать по формуле:

, (8)

где время длительности сигнала;

бодовая скорость.

, (9)

Необходимо также учесть, что в линии происходит затухание сигнала, поэтому мощность, дошедшая до приёмника, в раз меньше, чем на передатчике.

В таком случае мощность на передатчике:

(10)

2) Необходимо найти среднюю мощность W передаваемых сигналов обоих видов (0 и 1) при использовании кода Хэмминга ().

В этом случае в результате избыточности кода необходимо за один и тот же промежуток времени передать больше сигналов, следовательно, при использовании корректирующего кода бодовая скорость увеличивается в раз.

(11)

где заданная бодовая скорость;

число информационных символов;

длина кодовой последовательности.

. (12)

. (13)

Учтём затухание в линии передачи:

(14)

Таблица результатов:

W1 ^	W2^			S
				16.605

(Если учитывать степень и суммиовать в одной и той же степени то сумма ответов S=13.87062)