2.7. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве

Совокупность фиксированных точки О и двух единичных взаимно перпендикулярных векторов и(Ц = {O, ,}) называетсяцилиндрическим репером. Пусть П  плоскость, проходящая через

точку О параллельно вектору и перпендикулярно вектору. ПустьN – проекция точки М на плоскость П. Тогда . Пусть,(т.е. (, ) – полярные координаты точки N на плоскости П) и пусть . Тогда упорядоченная тройка (, , z) вполне определяет положение точки М в пространстве и называется

Рис. 28

цилиндрическими координатами точки М.

Если в плоскости П зафиксировать репер R₁ = , а в пространстве репер R = , то получим прямоугольную систему координат, соответствующую данной цилиндрической системе координат. ЕслиМ(, , z)_Ц и М (х, у, z)_R , то x = cos, y = sin , z = z. Эти формулы характеризуют связь между прямоугольными декартовыми и соответствующими цилиндрическими координатами точки.

Сферические координаты в пространстве определяются с помощью того же репера, что и цилиндрические координаты, но положение точки определяется упорядоченной тройкой (, , ), где  = ,  = и = Эта тройка чисел, очевидно, вполне

определяет положение точки в пространстве (рис. 29). Если ввести соответствующую систему прямоугольных координат, то сферические и соответствующие прямоугольные координаты точки будут связаны формулами x = CosSin, y = SinSin , z = Cos.

Рис. 29

III. Образы первой ступени

3.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат

Фигурой называется любое множество точек.

Пусть даны любая система координат (на плоскости или в пространстве) и произвольная фигура Ф. Тогда каждая точка, в том числе и каждая точка фигуры, будут определяться своими координатами. Если точку в фигуре менять, то будут меняться и её координаты. Но (если только фигура не совпадает с плоскостью или пространством), меняясь, координаты точек фигуры будут удовлетворять каким-то условиям.

Определение 19. Условием, определяющим фигуру Ф в данной системе координат называется такое условие, которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре Ф, и не удовлетворяют координаты никаких других точек.

Примеры. Найти условия, определяющие следующие фигуры.

1. Ось (Ох) в аффинной системе координат на плоскости (рис. 30). М  (Ох)  . Следовательно, условие, определяющее ось (Ох) в аффинной системе координат на плоскости, есть у = 0. 2. Ось (Ох) в аффинной системе координат в пространстве (рис. 31). М  (Ох)  Следовательно, условие, определяющее ось (Ох) в аффинной системе координат в пространстве, есть 3. Окружность радиуса r с центром в точке М0(х0, у0) в прямоугольной системе координат на плоскости (рис. 32). М  окр(М0, r)  М0М = r. Перепишем последнее равенство в координатах, используя тот факт, что система координат прямоугольная. М  окр(М0, r)  Так как в последнем равенстве обе части неотрицательны, то оно эквивалентно условию (12)

Рис. 30 Рис. 31 Рис.32

В приведённых примерах условия, определяющие фигуру, являются либо уравнениями, либо системами уравнений. Если условие, определяющее фигуру является уравнением или системой уравнений, то оно называется уравнением (уравнениями) данной фигуры. Так, уравнение оси (Ох) на плоскости у = 0. Уравнения оси (Ох) в пространстве Уравнение окружности в прямоугольной системе координат на плоскости

4. Шар радиуса r с центром С(х0, у0, z0) в прямоугольной системе координат в пространстве (рис. 33). М  шар (С, r)  СМ  r. Перепишем последнее равенство в координатах, используя тот факт, что система координат прямоугольная.

Рис.33

М  шар (С, r) 

Так как в последнем равенстве обе части неотрицательны, то оно эквивалентно условию

(13)

Обратная задача:

Пусть на плоскости (или в пространстве) зафиксирована аффинная система координат и задано условие, связывающее две (или три) переменные. Например, F(x, y) = 0. Если {(x, y)}  множество всех упорядоченных пар действительных чисел, удовлетворяющих данному условию, то в данной системе координат это множество определяет множество точек, т.е. фигуру.

Примеры. Какие фигуры определяют следующие условия?

1. х2 + у2 + 3х  4у  1 = 0. Система координат на плоскости задана репером . Решение. Приведём данное уравнение к виду (12). (х2 + 3х + ) + (у2  4у + 4) = 1 + +4, или (х + )2 + (у  2)2 = . Это уравнение в прямоугольной системе координат на плоскости определяет окружность с центром С(, 2) и радиусом.

2. х2 + у2 + 3х  4у + 7 = 0. После выделения полных квадратов получаем (х + )2 + (у  2)2 = . Это уравнение в любой аффинной системе координат (на плоскости и в пространстве) задаёт пустое множество точек.