Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TViMS

.pdf

Скачиваний:

125

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

4.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

x (приk 0) или по значению y при x 0 (при k 0). Можно также восполь-

зоваться формулой

y y

(10)

2 y3

где y1 и y2 — ординаты произвольных (но достаточно далеких) то-

чек с абсциссами x1 , x2 , а ордината y3

соответствует абсциссе x3

x1 x2 в

случае (8) и абсциссе x3

1/ 2(x1

x2 ) в случае (9).

3. Логарифмическая функция

Будем искать приближающую функцию (рис.10) в виде

f (x,a,b)

a ln x b.

(11)

Рис.10 График логарифмической функции

Для перехода к линейной функции достаточно выполнить подстановку

t ln x. Отсюда следует, что для нахождения значений aи b нужно проло-

гарифмировать значения аргумента в исходной таблице.1 и для новой таб-

лицы 4 найти приближающую функцию в виде линейной y=at+b.

Таблица 1 Таблица 4

x	x1	x2	x3 ...	xn	t	ln x	ln x	ln x	...	ln x
						1	2	3		n
f ( x )	y1	y2	y3 ...	yn	f (t)	y1	y2	y3	...	yn
					f (t)	y1	y2	y3	...	yn

Окончательно получим:

133

		n				n	n
		n yi ln xi				ln xi		yi
a		i	1			i 1	i 1		,
a			n			n		2	,
			n		2	n
		n		ln xi	2		ln xi	(12)
		i	1			i	1
			1	n			n
				n			n
	b			ln yi		a	ln xi .
	b		n	ln yi		a	ln xi .
			n	i 1			i 1

Для решения задачи приближения функции методом наименьших квадратов сформулируем основные шаги алгоритма.

1. Ввод исходных данных.

2.Выбор вида уравнения регрессии.

3.Преобразование данных к линейному типу зависимости.

4.Получение параметров уравнения регрессии.

5.Обратное преобразование данных и вычисление суммы квадратов

отклонений вычисленных значений функции от заданных.

6.Вывод результатов.

Пример построения различных видов аппроксимирующих функций

При испытаниях на железнодорожном пути под воздействием гармо-

нической нагрузки производилась регистрация величин прогибов рельсов под точкой приложения нагрузки и на различные расстояния от точки приложения нагрузки. В результате исследования были получены сле-

дующие значения y амплитуд прогибов рельсов в зависимости от x –

расстояний от точки приложения нагрузки.

					Таблица 1

x (см)	0	25	50	75	100
y (мм)	10	9,1	8,7	5,6	2,5

Требуется построить методом наименьших квадратов функцию, приближающую табличную наилучшим образом.

Для удобства обозначений изменим нумерацию исходных данных и будем считать, что x1 0; x2 25; x3 50 ; x4 75; x5 100 ; y1 10 ;

134

y2 9,1; y3 8,7 ; y4 5,6 ; y5 2,5. Сделаем предположение относительно характера аппроксимирующей функции, рассмотрев расположение точек, заданных таблицей, на графике (рис. 11.).

y 10

9,1

8,7

5,6

2,5

				x
25	50	75	100	x
25	50	75	100

Рис. 1. Исходные данные.

По характеру расположения точек на графике можно выдвинуть пред-

положение о линейной, квадратичной или показательной зависимости ве-

личин. Рассмотрим все три предположения.

Случай 1. Будем искать приближающую функцию y(x) в виде линейной функции

	n	b) y )2
y(x) ax b. Сумма мер отклонений S	((ax	b) y )2	, где i 1,2,3,4,5 ;
	i	i
	i 1

n 5 – число измерений. Найдѐм неизвестные коэффициенты из системы:

S			n
			n
	2 (axi			b yi ) xi 0,
b	2 (axi			b yi ) xi 0,
b		i	1
S			n
			n
	2		(axi	b yi ) 0.
b	2		(axi	b yi ) 0.
b		i	1

После преобразования система принимает вид:

135

	n		n		n
a	x2	b	x			x y ,
	i		i			i i
i	1	i	1		i 1	(1)
	n			n		(1)
	n			n
a	x2	bn			y .
	i				i
i	1		i		1

Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 2

x 2

9,1

625

227,5

8,7

2500

435

5,6

5625

420

100

2,5

10000

250

35,9

18750

1332,5

Подставив данные из таблицы 2 в систему (1), получим:

18750 a

250 b 1332,5 ,

0,074.

250 a 5

35,9

10,88

Уравнение линейной функции y

0,074

10,88.

Случай 2. Аппроксимирующая функция – квадратичная:

y a

a x

x2 .

Сумма мер отклонений S

a x

. Неизвестные коэф-

1 i

2 i

i 1

фициенты найдем из системы:

2 (a

a x a

) 0

1 i

i 1

2 (a

a x a

) x 0 ,

1 i

2 (a

a x a

) x

1 i

i 1

преобразовав которую, получим:

136

								n				n			2	n
				a	0	n	a		x	a	2	x			2	y	i
					0		1		i		2			i			i
								i 1			i	1				i 1
						n			n						n			n
				a	0		x		a	x2		a	2			x3			x y	i		(2)
					0		i	1		i			2			i			i	i
						i	1		i	1					i 1		i	1
						n				n					n			n
				a	0		x2		a x3			a		2		x4			x2 y		i
					0		i	1		i				2		i			i		i
						i	1		i 1						i 1			i 1
	Составим вспомогательную таблицу.
																						Таблица .3
	x		x2	x3					x4							y			x y				x2 y

	0		0	0					0							10			0				0

	25		625	15625					390625							9,1			227,5				5687,5

	50		2500	125000					6250000							8,7			435				21750

	75		5625	421875					31640625							5,6			420				31500

	100		10000	1000000					100000000							2,5			250				25000

	250		18750	1562500					138281250							35,9			1332,5				83937,5

Подставим данные из таблицы 3 в систему (2):
5 a0 250 a1		18750 a2		35,9
250 a0 18750 a1 1562500 a2							1332,5						,

18750a0 1562500a1 138281250a2 83937,5

решив еѐ, получим значения параметров:

a0 9,865714721 a1 0,0071428579 a2 0,00081142

Уравнение квадратичной зависимости

y 9,865714721 0,007142857 x			0,000811429 x2
Случай 3. Найдем приближающую функцию в виде y				a	ea1x . После ло-
				0
гарифмирования показательной функции ln y ln a0				a1 x и введения обо-
значений	(x)	ln y ; ln a0 b0 ; a1	b1 , функция (x) записывается как
линейная	(x)	b0 b1 x .

137

Построим таблицу соответствия известных значений:

				Таблица 4

x	y	(x)	x2	x (x)

0	10	2,30	0	0

25	9,1	2,20	625	55

50	8,7	2,16	2500	108

75	5,6	1,72	5625	129

100	2,5	0,92	10000	92

250	35,9	9,3	18750	384

Запишем систему:

				n	n
		b0 n	b1	xi		i	(3)
				i 1	i 1		(3)
		n		n	x2	n
		b	x	b	x2		x
		0	i	1	i		i i
		i 1		i 1		i	1
Подставим данные из таблицы 4 в систему (3):
5 b0	250 b1 9,3	b0	2,508
250 b0	18750 b1	384 b1		0,01296

Возвращаясь к показательной функции, имеем:

a	0	eb0	12,28; a	b	0,01296;	y	12,28 e 0,01296 .
			1	1
Значения линейной функции: yл						0,074x 10,88 ; квадратичной функ-
ции:		yкв	9,865714721		0,007142857x		0,000811429x2 ; показательной
функции: yn 12,28				e 0,01296 x и их отклонения от табличных значений

функции в заданных точках сведѐм в таблицу.

						Таблица 5

x		0	25	50	75	100

y		10	9,1	8,7	5,6	2,5

yл	y	0,88	-0,07	-1,52	-0,27	0,98

yкв	y	-0,13	0,44	-0,51	0,24	-0,03

138

yn	y	2,28	-0,22	-2,28	-0,95	0,86

На основании таблицы 5 вычисляется сумма квадратов отклонений ап-

проксимации для каждого из трѐх рассмотренных видов приближения:

л	0,882	(	0,77)2	(	1,52)2	(	0,27)2	0,982	4,123,
л
кв	( 0,13)2		0,442	(	0,51)2	0,242 (		0,03)2	0,5291,
кв
n	2,282	(	0,22)2	(	2,28)2	(	0,95)2	0,862	12,087.
n

Следовательно, для заданной табличной функции наиболее целесообразна квадратичная аппроксимация.

ЗАДАНИЕ 22

В задачах № 1 – 30 для вариационных рядов найти доверительные интервалы для среднего и дисперсии. Вычислить доверительную вероятность при

заданном коэффициенте значимости .				Построить гистограмму.

Вариант 1	= 0,03

I i	31-33	33-35	35-37		37-39	39-41	41-43	43-45
mi	7	11	31		33	28	19	8

Вариант 2	= 0,07

I i	11-14	14-17	17-20		20-23	23-26	26-29	29-32
mi	1	4	7		12	15	10	3

Вариант 3	= 0,06

I i	1-4	4-7	7-10		10-13	13-16	16-19	19-22
mi	6	8	18		22	17	10	7

Вариант 4	= 0,01

I i	24-28	28-32	32-36		36-40	40-44	44-48	48-52
mi	9	16	17		4	13	8	6

Вариант 5	= 0,02

I i	31-35	35-39	39-43		43-47	47-51	51-55	55-59
mi	4	9	25		30	28	15	11

139

Вариант 6	= 0,02

I i	1-6	6-11	11-16	16-21	21-26	26-31	31-36
mi	10	29	58	56	43	29	12

Вариант 7	= 0,08

I i	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22
mi	8	19	33	41	37	21	1

Вариант 8	= 0,06

I i	16-20	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44
mi	9	13	28	35	20	12	2

Вариант 9	= 0,05

I i	19-23	23-27	27-31	31-35	35-39	39-43	43-47
mi	3	10	30	35	20	13	5

Вариант 10	= 0,02

I i	4-9	9-14	14-19	19-24	24-29	29-34	34-39
mi	8	14	26	20	8	5	1

Вариант 11	= 0,04

I i	30-33	33-36	36-39	39-42	42-45	45-48	48-51
mi	11	23	50	40	27	18	5

Вариант 12	= 0,01

I i	15-19	19-23	23-27	27-31	31-35	35-39	39-43
mi	1	7	15	24	18	6	2

Вариант 13	= 0,05

I i	20-28	28-36	36-44	44-52	52-60	60-68	68-76
mi	31	45	36	29	20	8	3

Вариант 14	= 0,04

I i	18-21	21-24	24-27	27-30	30-33	33-36	36-39
mi	9	31	54	60	63	46	20
Вариант 15	= 0,06

I i	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20	20-24	24-28
mi	15	51	83	56	22	11	3

140

Вариант 16	= 0,02

I i	24-26	26-28	28-30	30-32	32-34	34-36	36-38
mi	34	40	32	28	16	10	5

Вариант 17	= 0,01

I i	10-13	13-16	16-19	19-22	22-25	25-28	28-31
mi	4	10	15	27	35	21	12

Вариант 18	= 0,05

I i	61-64	64-67	67-70	70-73	73-76	76-79	79-82
mi	28	35	46	23	16	9	1

Вариант 19	= 0,08

I i	2-5	5-8	8-11	11-14	14-17	17-20	20-23
mi	12	22	45	58	51	25	13

Вариант 20	= 0,05

I i	13-15	15-17	17-19	19-21	21-23	23-25	25-27
mi	15	38	56	63	49	21	10

Вариант 21	= 0,01

I i	28-33	33-38	38-43	43-48	48-53	53-58	58-63
mi	21	39	48	58	31	26	17

Вариант 22	= 0,01

I i	55-60	60-65	65-70	70-75	75-80	80-85	85-90
mi	29	31	46	70	63	32	19
Вариант 23	= 0,02

I i	17-19	19-21	21-23	23-25	25-27	27-29	29-31
mi	5	8	15	30	20	10	4

Вариант 24	= 0,04

I i	30-33	33-36	36-39	39-42	42-45	45-48	48-51
mi	4	6	15	26	18	6	3

Вариант 25	= 0,06

I i	41-45	45-49	49-53	53-57	57-61	61-65	65-69
			141

mi	12	18	30	41	43	32	25

Вариант 26	= 0,04

I i	71-73	73-75	75-77	77-79	79-81	81-83	83-85
mi	12	16	37	35	30	12	1

Вариант 27	= 0,10

I i	8-14	14-20	20-26	26-32	32-38	39-44	44-50
mi	16	36	50	63	51	28	13

Вариант 28	= 0,05

I i	25-28	28-31	31-34	34-37	37-40	40-43	43-46
mi	10	19	29	37	23	16	8

Вариант 29	= 0,02

I i	16-19	19-22	22-25	25-28	28-31	31-34	34-37
mi	12	18	29	39	36	21	13

Вариант 30	= 0,06

I i	37-41	41-45	45-49	49-53	53-57	57-61	61-65
mi	4	6	28	35	13	6	1

3.5.2. ЗАДАНИЕ 23

Для приведенных группированных выборок, приняв уровень значимости

α=0,05, проверить гипотезу Н0 о том, что они получены из нормально распреде-

ленной генеральной совокупности.

На предприятии, где организовано производство проволоки из различных ма-

териалов и различного диаметра сечения, были проведены исследования при какой нагрузке происходит разрыв провода того или иного типа. Результаты этих исследований приведены в следующей таблице:

№	Материал и	Интервалы (кг)
вари	диаметр сече-
ри-	ния проволо-	Частоты mi
анта	ки в мм

1	Алюминий	6-7	7-8	8-9	9-10	10-11	11-12
	d = 0,5
	d = 0,5	12	36	96	67	19	6
		12	36	96	67	19	6

142

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.2015183.08 Кб24tmp_ИС-141712480911.docx
#
11.03.201646.75 Кб19TOR_otvety.docx
#
27.03.2015259.07 Кб20trebovanija_k_oformleniju_referata.doc
#
27.03.20152.97 Mб88Trofimova 1.doc
#
28.03.20151.9 Mб140Trofimova 1.pdf
#
11.03.20164.35 Mб125TViMS.pdf
#
08.12.2018926.72 Кб24TV_TEXT2.doc
#
22.09.201950.69 Кб20Types of nuclear reactors.doc
#
15.08.20195.52 Mб33Uchebnik_FKS.doc
#
27.03.20154.46 Mб510Uchebnik_po_vozhdeniyu_avtomobilya_Zelenin_S.doc
#
27.03.201513.58 Mб118ulyanov_a_a_mufty_privodov.doc