TViMS
.pdf16.
|
X n |
|
– n |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pin |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Pin |
|
1n |
|
|
|
|
|
1– |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
7n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5n2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
5n2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
4n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
5n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
3n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
X n |
|
|
6n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4n 2 |
|
|
|
|
2n2 |
|
4n 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Pi |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
3n |
|
||||||||||||||||||||||||
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
7n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Pi |
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
5n 1 |
|
5n |
|
17.
|
X n |
– 4n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3n 1 |
|
|
3n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X n |
|
3n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pin |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5n |
|
1– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
2n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3n2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
3n2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
8n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Pin |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
7n |
|
|
|
7n 1 |
|
|
|
|
|
7n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
5n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
X n |
|
9n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
9n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3n |
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
X n |
|
5n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Pn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
|
2n |
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103
III. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1. Основные понятия математической статистики
Математическая статистика – это раздел математики, который изучает методы сбора, систематизации, обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений.
Любое множество, подлежащее изучению в статистике, называется
генеральной совокупностью.
Любое подмножество генеральной совокупности называется выборкой. Основная задача математической статистики состоит в получении обосно-
ванных выводов о свойствах генеральной совокупности по известным свойс т- вам извлеченной из нее выборки.
Количество элементов в генеральной совокупности или в выборке называется объемом. Элементы выборки могут характеризоваться числами, отражающими какой-либо признак изучаемого объекта. Эти числа называются вариантами, так как от выборки к выборке эти значения меняются.
Первым шагом в обработке полученных данных является составление статистического или вариационного ряда.
Вариационным рядом выборки x1 , x2 ,..., xn называется способ ее записи, при котором элементы упорядочены по величине: x 1 , x 2 , x 3 ,...x n , где
x 1 |
x 2 x 3 ... x n . |
|
|
Пусть в выборке объема n элемент xi встречается mi раз. Число mi |
называ- |
||
ется частотой элемента xi . Очевидно, что k |
mi n , где «k» – количество раз- |
||
|
i |
1 |
|
личных элементов в данной выборке. |
|
|
|
Статистическим рядом называется последовательность пар |
xi , mi , |
||
где i |
1,..., k . Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, |
первая строка которой содержит элементы xi , а вторая их частоты mi . Пример 1. Пусть дана выборка: 5,8,1,3,2,5,2,2,8,9. Упорядочив элементы выборки, получим вариационный ряд: 1,2,2,2,3,5,5,8,8,9
Статистический ряд имеет вид:
xi |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
mi |
1 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Для графического изображения статистического ряда частот служит ломаная в прямоугольной декартовой системе координат с вершинами в
104
точках xi , mi |
– называемая полигоном частот, или ломаная с вершинами |
|
в точках xi , |
mi |
– называемая полигоном относительных частот. Здесь |
n |
xi – возможные значения вариант, mi – частота, n – объем выборки.
При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы
(разряды), представляя результаты опытов в виде сгруппированного ста-
тистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы вы-
борки, разбивается на k непересекающихся интервалов, обычно одинако-
вой длины l .Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интерва-
лов разбиения k 1 log2 n .
Для графического изображения сгруппированной выборки служит сту-
пенчатая фигура из прямоугольников, называемая гистограммой. Для по-
строения гистограммы на оси абсцисс откладываются интервалы длины l ,
которые служат основаниями прямоугольников, а их высоты определяют-
ся отношением |
mi |
|
, если мы строим гистограмму частот, или |
mi |
, если |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
l |
|
|
n l |
||||
мы строим гистограмму относительных частот. Каждая |
генеральная со- |
|||||||
вокупность имеет |
функцию распределения F x Р Х |
x , которая |
||||||
обычно неизвестна. По выборке можно найти эмпирическую функцию |
||||||||
распределения F x |
, определяемую соотношением: F x |
|
|
mi |
. Значе- |
|||
|
|
|
||||||
|
n |
n |
xi x n |
|||||
|
|
|
|
ниями эмпирической функции распределения являются так называемые накопленные частоты.
Пример 2
а) Дан статистический ряд. Требуется построить полигон относительных частот.
xi |
значения вариант |
|
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
частоты |
|
1 |
5 |
6 |
5 |
3 |
|
|
105 |
|
|
|
|
|
б) Дан сгруппированный статистический ряд. Требуется построить гистограмму относительных частот.
границы |
10-20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
|
интервалов |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
частоты |
1 |
2 |
7 |
18 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Для построения полигона частот найдем относительные час-
|
mi |
|
5 |
тоты по формуле |
, где n |
m 1 5 6 5 3 20. |
|
|
n |
i |
|
|
i 1 |
Результат запишем в таблицу. mi
|
xi |
15 |
|
16 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
5 |
|
|
3 |
20 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
mi |
|
1/20=0,05 |
|
5/20=0,25 |
|
6/20=0,3 |
5/20=0,25 |
3/20=0,15 |
1 |
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Строим ломаную с координатами xi , |
mi |
|
(рис.1). |
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1
Замечание. Обычно при построении полигона масштаб по осям берется неодинаковым.
б) Для построения гистограммы относительных частот найдем относительные часто-
ты по формуле |
mi |
, высоты прямоугольников – по формуле h |
mi |
, где |
|
|
|||
|
n |
nl |
106
|
n |
n |
mi 1 2 7 18 12 40 , l 10 . Величина h характеризует плотность попа- |
|
i 1 |
дания вариант в i–тый интервал. Результаты удобно записать в таблицу.
|
xi xi 1 |
10 - 20 |
20 - 30 |
30 - 40 |
40 - 50 |
50 - 60 |
|
|
mi |
1 |
2 |
7 |
18 |
12 |
40 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
|
1/40 = 0,025 |
2/40 = 0,05 |
7/40 = 0,175 |
18/40 = 0,45 |
12/40 = 0,3 |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
|
0,025/10 = |
0,05/10 = |
0,175/10 = |
0,45/10 = |
0,3/10 = |
0,1 |
|
nl |
0,0025 |
0,005 |
0,0175 |
0,045 |
0,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Строим гистограмму (рис. 2).
ni
nl |
Рис.2 |
2. Статистические оценки параметров распределения
2.1. Основные понятия
107
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось устано-
вить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оцен-
ки параметров, которыми определяется это распределение.
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического рас-
пределенияназывают функцию от наблюдаемых случайных величин.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется од-
ним числом θ* |
f (x , x |
,..., x |
n |
) , где |
x , x |
,..., x |
n |
- результаты наблюдений |
|
1 2 |
|
|
1 2 |
|
|
над количественным признаком X (выборка).
Несмещенной называют статистическую оценку θ* , математическое
ожидание которой равно оцениваемому параметру θ при любом объеме выборки, то есть M θ* .
Эффективной называют статистическую оценку, которая при данном
объеме выборки n имеет наименьшую дисперсию. |
|
Состоятельной называют оценку, которая при n |
стремится по |
вероятности к оцениваемому параметру. |
|
2.2. Генеральная и выборочная средние
Пусть изучается генеральная совокупность относительно количествен-
ного признака Х .
Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.
Если все значения x1, x2 ,..., xN признака генеральной совокупности различны, то
|
|
x1 ... xN |
, |
|
x |
||||
|
|
|||
|
|
N |
где N – объем генеральной совокупности.
108
Если x1, x2 ,..., xk имеют соответствующие частоты N1, N2 ,..., Nk , то
x |
|
x1N1 ... |
xk Nk , причем |
Ni N . |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
i |
1 |
Генеральная средняя признака равна математическому ожиданию признака
x M X .
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количест-
венного признака Х извлечена выборка объема n .
Выборочной средней называют среднее арифметическое значений при-
знака выборочной совокупности.
Если все значения x1, x2 ,..., xn |
признака выборочной совокупности различ- |
|||||||||
|
|
|
|
|
x1 |
... xn |
. |
|
||
ны, то x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
Если x1, x2 ,..., xk имеют соответствующие частоты m1, m2 ,..., mk , то |
||||||||||
|
x |
|
x1m1 |
... |
xk mk , причем |
mi n . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
i 1 |
Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой ге-
неральной средней.
2.3. Генеральная и выборочная дисперсии
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного
признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения,
вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.
Если все значения x1, x2 ,..., xN признака генеральной совокупности объ-
ема N различны, то генеральная дисперсия определяется по формуле
|
N |
|
2 |
|
|
xi |
xГ |
|
|
DГ |
|
. |
||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
109
Если x1, x2 ,..., xk |
имеют соответствующие частоты N1 , N2 ,..., Nk , то |
|||||
|
k |
|
|
2 |
|
|
|
N |
i |
x x |
|
k |
|
|
|
i |
Г |
|||
DГ |
i 1 |
|
|
|
, причем |
Ni N . |
|
|
N |
|
|||
|
|
|
|
|
i 1 |
Генеральное среднее квадратическое отклонение определяется по формуле
σГ DГ .
Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения
xB , вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.
Если все значения x1, x2 ,..., xn |
признака выборки объема n различны, то |
||||||||
выборочная дисперсия определяется по формуле |
|||||||||
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
xB |
|
|
|
|
|
|
DB |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Если же x1, x2 ,..., xk имеют соответствующие частоты m1, m2 ,..., mk , то |
|||||||||
|
|
k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ni |
xi |
|
|
|
|
||
|
|
xB |
k |
n . |
|||||
DB |
|
|
|
, причем |
mi |
||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
i 1 |
|
Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется по |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
формуле σB |
|
DB . |
|
|
В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используют ис-
правленную выборочную дисперсию:
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
ni xi |
|
|
||
|
|
n |
|
|
n |
|
xi xB |
|
|
xB |
|||
S 2 |
|
|
DB |
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
n |
1 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
110
Для оценки среднеквадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднеквадратическое отклонение
|
k |
|
2 |
|
|
|
ni xi |
xB |
|
|
|
S |
|
, причем |
S уже не является несмещенной оценкой. |
||
i 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
2.4. Интервальные оценки
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами
– концами интервала, покрывающего параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью
γ покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожида-
ния a нормально распределенного количественного признака X по выбо-
рочной средней xB при известном среднеквадратическом отклонении ге-
неральной совокупности служит доверительный интервал
xB |
|
|
tσ |
|
a |
xB |
tσ |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
tσ |
|
δ – точность оценки, n – объем выборки, t – значение аргумента |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функции Лапласа |
|
|
|
|
(t) (см.приложения), при котором (t) |
γ |
; при |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неизвестном среднеквадратическом отклонении (и объеме выборки |
|||||||||||||||||||||
n |
30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xB |
|
|
tγ S |
|
a |
xB |
|
tγ S |
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где S |
|
«исправленное» выборочное среднеквадратическое отклонение, |
|||||||||||||||||||
tγ находят по таблице(см. приложения)по заданным n и γ . |
|
|
111
Интервальной оценкой (с надежностью γ) среднеквадратического от-
клонения нормально распределенного количественного признака X по
«исправленному» выборочному среднеквадратическому отклонению S
служит доверительный интервал
S(1 |
q) |
σ |
S(1 q) (при q 1), |
0 |
σ |
S(1 |
q) (при q 1), |
где q находят по табл. приложения по заданным n и γ.
2.5.Статистические гипотезы
Во многих случаях результаты наблюдений используются для проверки предположений (гипотез) относительно тех или иных свойств распределе-
ния генеральной совокупности. В частности, такого рода задачи возника-
ют при сравнении различных технологических процессов или методов об-
работки по определенным измеряемым признакам, например, по точности,
производительности и т. д.
Пусть X – наблюдаемая дискретная или непрерывная случайная величина.
Статистической гипотезой называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины X .
Основной или нулевой гипотезой H0 называют выдвинутую гипотезу, а
гипотезу H1 , ей противоречащую – конкурирующей или альтернативной.
Простой называют выдвинутую гипотезу, содержащую только одно предположение.
Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или беско-
нечного числа простых гипотез.
В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.
112