- •1.3 Точность систем телекоммуникаций
- •2.4. Моделирование сигналов рядом Фурье
- •2.5 Моделирование сигналов рядом Котельникова
- •2.7 Моделирование сигналов функциями Уолша
- •2.8 Моделирование сигналов на основе преобразования Фурье
- •2.11 Моделирование сигналов на основе преобразования Лапласа
- •3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
- •3.1 Виды звеньев в системах телекоммуникаций
При аппроксимации непериодической функции f(t ) на бесконечном (полубесконечном) интервале (третья задача) набор возможных ортогональных систем по сравнению с первой задачей также существенно меньше. В этом случае подходят только такие системы, базовые функции n(t ) которых являются непериодическими.
Общей рекомендацией при решении всех задач аппроксимации является выбор из возможного круга системы, ортогональной на рассматриваемом отрезке с весом (t ) 1. Разложение по такой системе базовых функций сущест-
|
|
|
|
|
Р |
венно улучшает сходимость обобщенного ряда Фурье. В случае представления |
|||||
функции f(t ), имеющей разрывы первого рода, улучшению сходимости при |
|||||
|
|
|
|
И |
|
прочих равных условиях способствует выбор ортогональной системы, постро- |
|||||
енной из кусочно-непрерывных функций n |
(t ). |
|
У |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Г |
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
2.4. Моделирование сигналов рядом Фурье |
|
|
|
|
|
В задачах математического и физического моделирования СТК в качестве |
|||||
анализ |
|
|
|
|
|
входных воздействий широко используют континуальные детерминированные |
|||||
к |
|
|
|
|
|
периодические сигналы, которые часто р скл дывают по ортогональной систе- |
ме гармонических функций кратных ч стот (в ряд Фурье). Такое представление |
|||
|
бание |
искажений этих сигналов, по- |
|
во многих случаях существенно упроща т |
|||
скольку: а) гармоническое кол |
|
является единственным из возможных |
|
т |
|
|
|
воздействий, не изменяющим сво й формы при прохождении через линейное |
звено СТК; б) разложение в ряд Фурье позволяет применять символический ме- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|||||||||||||
тод расчета, отличающийся св ей простотой. |
|
||||||||||||||||||
При разложении пери дического сигнал f(t ) f(t T ) в ряд Фурье ис- |
|||||||||||||||||||
пользуют систему действ тельных функций |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.17) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б |
n (t) |
(n 1t), n 0, |
||||||||||||||||
|
иsin |
|
|||||||||||||||||
или соответствующую ей систему комплекснозначных функций |
|||||||||||||||||||
и |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(t) e |
jn t |
(2.18) |
|||||||||||||||||
Б |
|
|
|
n |
1 , n , . |
||||||||||||||
Эти с стемы базовых функций являются ортогональными с единичным весом |
|||||||||||||||||||
( (t ) 1) на |
|
любом отрезке a,b длительностью |
Tab b a T 2 / 1, а |
||||||||||||||||
квадрат нормы каждой функции n(t ) равен |
|
|
|
n(t ) |
|
|
|
2 |
T . |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
Теорема разложения в обобщенный ряд Фурье (см. подразд. 2.2) устанав- |
|||||||||||||||||||
ливает общие |
(достаточно |
жесткие) требования к |
представляемой функции |
f(t ) и ортогональной системе. В случае некоторых ортогональных систем эти требования дополнительно уточнены с целью их ослабления. Так, для возможности описания рядом Фурье кусочно-непрерывная функция f(t ) должна
T
2
а) удовлетворить условию |
|
f(t ) |
dt абсолютной интегрируемости; |
||
T |
2 |
|
|
2 конечное число отно- |
|
б) быть ограниченной и иметь на отрезке T |
2,T |
сительных максимумов, относительных минимумов и разрывов первого рода, т.е. удовлетворять условиям Дирихле (ограниченной вариации).
При выполнении этих условий периодическая кусочно-непрерывная
функция (сигнал) |
f(t ) |
раскладывается в ряд Фурье, удобно представляемый в |
|||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
комплексном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f(t ) Cnejn 1t , |
|
|
|
|
|
(2.19) |
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
У |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
И |
|
|||||
где Cn |
1 |
T |
f(t )e jn 1tdt |
(сравните с (2.8) и (2.9)). |
|
(2.20) |
|||||
T |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
Г |
|
|
|
|
Ряд (2.19) |
в |
каждой |
точке |
Б |
|
|
|
|
|||
t ( , ) |
сходится к значению |
( f(t 0) f(t 0))/ 2. Он соответствует ортогональной системе (2.18). Спектральные коэффициенты ряда Фурье, являющиеся комплексными
числами, можно представить в форме |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
C |
|
|
|
|
|
f (t)cosn tdt |
|
j |
|
|
|
f (t)sinn tdt C |
|
jC |
|
|
|
C |
|
e |
|
n |
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
а1 |
nc |
|
|
|
|
ns |
|
|
|
n |
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(2.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
Cns |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
Cn |
|
|
Cnc |
|
Cns; |
|
n arctg |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.22) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Cnc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перацию интегрирования в выражениях (2.20) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
При их нахождении |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2.21) можно выполнять не т лько на отрезке T |
|
;T |
|
|
, но на любом отрезке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
длительностью T, напр мер, на отрезке 0,T . Модуль |
|
Cn |
|
и аргумент n спек- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тральных коэффициентов описывают дискретные математические спектры пе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
риодического сигна : амплитудный и фазовый соответственно. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Очев дно, |
|
Cn |
|
|
|
C n |
|
и n |
n, |
т.е. амплитудный спектр является |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
четной, а фазовый – нечетной функциями частоты. С учетом последнего, вы- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полняяипопарное суммирование в ряде (2.19) членов с номерами n и n, пере- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ходят к тригонометрическому ряду Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t ) C0 2 |
|
Cn |
|
cos(n 1t n ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.23) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часто представляемому в математической и технической литературе также в форме
|
a0 |
|
|
a0 |
|
|
f(t ) |
(an cosn 1t bn |
sinn 1t ) |
An cos(n 1t n ), (2.24) |
|||
|
|
|||||
2 |
n 1 |
2 |
n 1 |
где an 2Cnc ; bn 2Cns ; An 2Cn .
Форма (2.24), соответствующая ортогональной системе функций (2.17), удобна для моделирования и широко используется на практике. Коэффициенты An и nописывают дискретные физические спектры исследуемого периоди-
ческого сигнала: соответственно амплитудный и фазовый. Анализ ряда (2.24) с учетом соотношений (2.21) – (2.23) также показывает, что в случае четной рас-
кладываемой функции ( f(t ) f( t )) bn Cns 0, n 0 |
( n |
), а в слу- |
чае нечетной ( f(t ) f( t )) an Cnc 0 и n 2. |
|
|
Важной характеристикой периодического сигнала f(t ), |
определяемой |
|
|
|
Р |
при его математическом моделировании, является средняя мощность Pcp . Вос- |
|||||||||||||||||||||||||||
пользовавшись общим соотношением (2.16) и учитывая соотношенияИ |
(2.22) – |
||||||||||||||||||||||||||
(2.24), можно получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
A |
2 |
|
a |
0 |
|
2 |
A2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P |
P |
|
|
|
|
C |
|
|
|
C |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
. |
(2.25) |
|||
|
|
|
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cp |
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
n 1 |
2 |
|
|
||||||
Выражение (2.25), полученное с с мых общих позиций, подтверждает из- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вестное свойство: средняя мощность периодических сигналов произвольной |
|||||||||||||||||||||||||||
формы равна сумме средних |
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянной составляющей и гармоник |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и не зависит от начальных фаз посл дних. |
Это выражение часто используют |
||||||||||||||||||||||||||
для нахождения средней |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
сигнала на входе и выходе моделируемого |
||||||||||||||||||||
звена СТК. |
|
|
|
мощностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
мощности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
бенно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В заключение необходимо о метить, что ряд Фурье характеризуется пло- |
|||||||||||||||||||||||||||
хой сходимостью, |
с |
|
|
|
в случае представления сигналов, описываемых |
||||||||||||||||||||||
вания на ПЭВМразрывами. Но даже при N в точках разрыва первого рода в аппрок- |
|||||||||||||||||||||||||||
функциями с |
|
|
перв го рода. Для достижения высокой точности ап- |
||||||||||||||||||||||||
проксимации |
чество N учитываемых членов ряда (2.24) приходится часто |
||||||||||||||||||||||||||
выбирать из ус ов я N 1000, что существенно увеличивает время моделиро- |
|||||||||||||||||||||||||||
симирующейколфункции fэкв (t ) |
(сумме ряда Фурье) возникают бесконечно тон- |
||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кие гольчатые выбросы (игольчатые функции) весьма значительной величины. |
|||||||||||||||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту особенностьбряда Фурье называют явлением Гибса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 Моделирование сигналов рядом Котельникова
В СТК важную роль играет описание сигналов рядом Котельникова, которое лежит в основе одноименной теоремы об их дискретном представлении. Образующие ряд функции n(t ) обладают уникальными свойствами. Они широко используются при синтезе устройств коррекции формы телекоммуникационных сигналов. На их основе можно построить эффективные измерительные сигналы. В последнее время в связи с новыми возможностями при математиче-
ском и физическом моделировании функций n(t ) ряда Котельникова область их применения дополнительно расширяется.
Ряд Котельникова образует бесконечная система действительных функ-
ций
n(t) |
sin m(t n t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
, t m |
, n , , |
(2.26) |
|||
|
||||||
|
m(t n t) |
|
|
|
|
которые по сравнению с функциями всех других ортогональных систем имеют одинаковую форму и отличаются только расположением на оси абсцисс (времени). Система (2.26) функций обладает следующими свойствами:
|
|
1, |
t n t, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.27) |
n (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k |
n), |
|
|
|
||||
|
|
0, t k t |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. функции n(t ) являются четными относительно точки t n t Ри принима- |
||||||||||||||||||
ют нулевые значения через равные интервалы t времени (рисунок 2.2, а); |
||||||||||||||||||
функции n(t ) имеют модуль |
|
|
|
|
|
|
И |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
m |
Г |
|
|
|||||
|
S ( ) |
|
2 fm |
|
|
|
|
|
|
(2.28) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
спектральной плотности и, |
значит, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
хар ктеризуются равномерным и ограни- |
ченным по частоте амплитудным спе ктрома(рисунок 2.2, б), тем самым косвенно подтверждая, что спектром кон чной ширины могут обладать только беско-
нечно протяженные сигналы и, наоборот, финитные сигналы имеют спектр |
||||||||||||||||||||||||
бесконечной протяжённости; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
система функций n(t ) являееся ортогональной с весом (t ) 1 на бес- |
|||||||||||||||||||||||
конечном интервале ( ; |
), при э ом |
|
|
|
n(t ) |
|
|
|
2 t. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
(t ) |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1.0 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
||||||
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 t |
л |
|
|
|
|
|
n 1 t |
n 1 t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
б |
|
|
|
t |
|
3 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 t |
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n t |
|
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а
m |
0 |
m |
б |
|
Рисунок 2.2 – Временные (а) и частотные (б) свойства функций ряда Котельникова
С учётом этих свойств любой сигнал (функция f(t )), ограниченный по спектру верхней граничной частотой m 2 fm , представляется рядом Котельникова:
|
|
|
sin m(t n t ) |
|
|
|
f(t ) |
Cn |
|
||
|
|
, |
(2.29) |
||
|
|
||||
где Cn |
|
n |
m(t n t ) |
f(t ) в любой точке |
|
f(n t ). При этом ряд сходится к функции |
|||||
t ( ; ) |
n |
|
|
|
И |
. Последнее обеспечивается благодаря тому, что при ограничении |
|||||
|
|
|
|
У |
спектра сигнал описывается плавной функцией, которая не содержитРразрывов
и изломов (в окрестности любой точки раскладывается в ряд Тейлора). Коэффициенты C и ряд (2.29) в целом получены на основе общих соотношений
(2.5) – (2.9). Это позволяет утверждать, что известная теорема Котельникова с |
|
Б |
|
математической точки зрения является частным случаем разложения функции |
|
f(t ) в обобщенный ряд Фурье по специальной ортогональнойГ |
системе (2.26). |
а |
|
Рассмотрим случай, когда длительность сигнала f(t ) конечна и равна , |
а его спектр ограничен частотой fm .кК пок з но выше, эти условия строго не
совместимы. Однако практически всегда можно выбрать такое значение f ,
е m
чтобы “хвосты” функции врем ни, обусловленные отсеканием спектральных компонент на частотах f рдинатfm и выходящие за пределы интервала длительно-
стью , содержали пренебрежимо малую энергию по сравнению с энергией ис-
|
|
нечно |
|
|
|
|
|
|
sin m |
(t n t ) |
|
|||||||
ходного сигнала f(t ) |
. При аком допущении рассматриваемый финитный сиг- |
|||||||||||||||||
нал представляется к |
|
|
й суммой ряда Котельникова (левая граница сигна- |
|||||||||||||||
|
и |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ла совмещена с начал м к |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
л |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t ) f(n t ) |
|
|
|
|
|
|
, |
(2.30) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где N t 2 fm |
n 0 |
|
|
|
|
|
|
m(t n t ) |
|
|||||||||
так называемое число степеней свободы, или база |
||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
сигнала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшисьб |
общими соотношениями (2.15) и (2.16), можно опре- |
|||||||||||||||||
дел ть энерг ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
Э f 2(n t ) |
|
|
|
n(t ) |
|
|
|
|
t f 2(n t ) |
(2.31) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|||
и среднюю на интервале мощность |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
N |
|
|
|
|||||||||
|
Pcp |
Э |
f 2(n t ) |
(2.32) |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N n 0 |
|
|
|
континуального финитного сигнала. Последняя, как показывает выражение (2.32), численно равна среднему квадрату отсчетных значений f(n t ).
2.6 Моделирование сигналов полиномами Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита
При описании сигналов и (реже) звеньев СТК используются полиномы Лежандра первого рода, Чебышева первого рода, Лагерра и Эрмита. Все они образуют ортогональные системы функций, которые существенно расширяют
возможности математического моделирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Полиномы Лежандра первого рода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Pn |
(t ) |
|
|
1 |
t2 |
1 n ( n) , |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
(2.33) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
обладают следующими свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
являются полиномами с рациональными вещественными коэффициента- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ми, например, P (t) 1, |
P (t) t, |
P (t) (3t2 |
1)/2, |
P (t ) (5t3 3t )/ 2, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
И |
|
|
|||||
P (t ) (35t4 |
30t2 3)/ 8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|||||||||||||||
4 |
образуют систему функций, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ортогональную с весомУ(t ) 1 на отрезке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1; 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (t ) |
|
2 2/(2n 1); |
|||||||||
|
с учетом (2.7) квадрат нормы функции |
P (t ) равен |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в соответствии с условиями теоремы р зложения в обобщенный ряд Фу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
зке |
|
|
|
|
|
|
|
f(t ) |
может быть пред- |
|||||||||||||
рье (см. подразд. 2.2) моделируемая фун ция (сигнал) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ставлена на (нормированном) отр |
|
|
|
1; 1 рядом (по полиномам Лежандра) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t ) CnPn(t ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.34) |
||||||||||||
|
|
|
|
2n 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
где C |
|
|
|
|
|
f(t )P (t )dt |
(сравните с формулой (2.9)). |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
2 1 |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Полиномы Чебышеваопервого рода |
|
|
|
|
2n 1 ( n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2)n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
б |
Tn |
(t ) |
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
, n 0, |
(2.35) |
||||||||||||||
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
обладают следующими свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
являются полиномами с целочисленными вещественными коэффициен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
тами, |
напр мер, |
|
T (t ) 1, |
T (t ) t, |
T (t ) 2t2 |
1, |
|
|
T (t ) 4t3 |
3t , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
T (t ) 8t4 8t2 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Биз всех полиномов (с целочисленными коэффициентами) степени |
n и |
одинаковыми коэффициентами при старшем члене меньше всего уклоняются от нуля на отрезке 1; 1 , при этом Tn(t ) 1;
|
|
|
за пределами |
|
отрезка 1; 1 быстро и неограниченно возрастают |
||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
lim |
Tn(t) |
2 |
t |
|
. Благодаря этому и предыдущему свойству их также |
||
|
t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применяют для аппроксимации частотных характеристик звеньев (фильтров) СТК;
|
образуют систему функций, |
ортогональную с весом (t ) 1 |
1 t2 |
на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезке 1; 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в соответствии |
|
с |
|
|
|
(2.7) |
|
имеют |
норму |
|
T0(t ) |
Р |
и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(t ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
||
|
Tn(t ) (t ) |
|
|
/ 2 (n 0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
согласно условиям теоремы разложения в обобщенный ряд Фурье пред- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ставляют моделируемую функцию |
|
f(t ) на (нормированном) |
отрезке |
1; 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рядом (по полиномам Чебышева) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t ) CnTn(t ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.36) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
где согласно выражению (2.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
C0 |
1 |
|
|
|
f(t ) |
|
dt, Cn |
2 |
|
|
f (t)Tn |
(t |
) |
dt (Бn 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Полиномы Лагерра |
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n t ( n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln(t ) |
|
|
|
|
|
|
, n 0, |
|
|
|
|
|
|
|
(2.37) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
обладают следующими свойс вамие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
являются полин мами с рациональными вещественными коэффициента- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ми, например, L (t) 1, L(t) t 1, |
L (t) t2 /2 2t 1, L (t) t3 /6 3t2 /2 3t 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
образуют с стему функций Лагерра, ортонормированную с единичным |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
весом на по убесконечном интервале 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б |
и |
|
|
|
t |
2 |
Ln(t ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.38) |
||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
ln |
(t ) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с условиями теоремы разложения в обобщенный ряд Фу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в соответствиил |
|
|
рье представляют моделируемую функцию |
f(t ) на полубесконечном интерва- |
|
ле 0, рядом (по функциям Лагерра) |
|
|
Б |
|
|
f(t ) Cnln(t ), |
(2.39) |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
где Cn |
f(t )ln(t ). |
|
|
0 |
|
Функции Лагерра по форме схожи с импульсными характеристиками функциональных блоков СТК, представляющих последовательное соединение