9. Опишите законы диффузии

Первый закон Фика

Математическое описание диффузионных процессов применительно к идеальным газам и растворам было впервые предложено в 1855 г. А.Фиком в виде двух законов, основанных на уравнениях теплопроводности.

Первый закон Фика характеризует скорость проникновения атомов одного вещества в другое при постоянном во времени потоке этих атомов и неизменном градиенте их концентрации:

J=-D∇N

где J - вектор плотности потока атомов вещества; ∇N- вектор градиента концентрации диффундирующих атомов; D – коэффициент пропорциональности или коэффициент диффузии.

Коэффициент диффузии определяет величину плотности потока атомов вещества при заданном градиенте концентрации.

Так как диффузионный поток атомов вещества идет в направлении выравнивания перепада концентрации, то коэффициент D(см²/с) является мерой скорости, с которой система способна при заданных условиях выравнять концентрация.

Эта скорость зависит только от подвижности диффундирующих атомов в решетке полупроводника. Скорость диффузии зависит от кристаллографического направления, однако при обычных условиях в полупроводниках обнаруживается только слабая анизотропия.

Кроме того, при повышенных температурах в реальном технологическом процессе преимущественное перемещение атомов в наиболее "выгодном" кристаллографическом направлении перекрывается беспорядочным броуновским тепловым движением.

Градиент концентрации при объемной диффузии имеет три составляющие по координатным осям.

Если глубина диффузии значительно меньше поперечных размеров площади, на которой она происходит, то считают, что диффузия идет в одном направлении. Одномерное уравнение Фика имеет вид

J(x)=-

где J(x) – плотность потока или число атомов вещества, переносимых в единицу времени через единичную площадь;градиент концентрации диффундирующей примеси в направлении диффузии.

Второй закон Фика

Второй закон Фика определяет скорость накопления растворенной примеси в любой плоскости, перпендикулярной направлению диффузии. Второе уравнение диффузии выводится из первого закона Фика при допущении, что коэффициент диффузии не зависит от концентрации и имеет вид

Второй закон Фика является основным законом диффузии, он определяет концентрацию вводимой в полупроводник примеси в любой момент времени на любом расстоянии от поверхности при заданной температуре диффузии.

Температура входит в уравнение не явно, а через коэффициент диффузии:

где D₀ – постоянная, численно равная коэффициенту диффузии при бесконечно большой температуре; ΔЕ – энергия активации процесса диффузии данной примеси, т.е. энергия, необходимая для перескока атома примеси на вакантный узел решетки. При обычных комнатных температурах диффузия в твердых телах практически не наблюдается. Процессы диффузии в полупроводниках происходят при высоких температурах 800 – 900° С для германия и 1000 – 1350°С для кремния.

10. Опишите распределение примеси при диффузии из источника бесконечной мощности

Решение основного уравнения для конкретных условий диффузии определяет значение концентрации примесей на разной глубине при различной длительности процесса, и таким образом находится зависимость N = f (x) для данной температуры диффузии.

При диффузии из поверхностного источника бесконечной мощности, обеспечивающего постоянство поверхностной концентрации N₀, начальное и граничные условия для решения уравнения второго закона Фика имеют вид

N(x,t) = 0 при t = 0;

N(x,t) = N₀ при t > 0 x = 0.

При этих условиях распределение концентрации примеси по глубине диффузионного слоя в момент времени t описывается выражением

(10.1),

где N₀ – концентрация примеси на поверхности пластины; х – глубина диффузии; D – коэффициент диффузии; t – время проведения процесса; символ erfc обозначает функцию дополнения интеграла ошибок до единицы.

В выражение (10.1) входит произведение Dt, определяющее длину диффузии примесных атомов. Графики распределения концентрации примеси приведены на рис.8.

Количество примеси, поступающей на поверхность, равно количеству примеси, уходящей с поверхности в объем пластины.

При практических расчетах распределений примеси, описываемых уравнением (10.1), находят величину для определенных температур и времени диффузии, затем находят erfc().