- •2.Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
- •3.Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.
- •4. Тәуелсіз оқиғалар. Мысалдар.
- •6. Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мен
- •Үлестірім
- •Үлестірім функциясы. Қасиеттері
- •Үлестірім қасиеттері
- •7. Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы.
- •Дискрет кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
- •Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
- •Кездейсоқ шаманың дисперсиясы
- •Дисперсия есептеу формулалары
- •Ковариацианы есептеу формуласы
- •Корреляция коэфициенті
- •9. Орталық шектік теорема
- •10. Эмперикалық үлестірім функциясы. Таңдамалық орта және таңдамалық дисперсия
- •Математикалық күтімнің бағасы – таңдамалық орта
- •11. Бағалар. Бағалардың сұрыптамасы (ығыстырылымағындық, тиянақтылық, эффективтілік).
- •Математикалық күтімнің бағасы – таңдамалық орта
11. Бағалар. Бағалардың сұрыптамасы (ығыстырылымағындық, тиянақтылық, эффективтілік).
- үлестірім функциялар жиынтығы, мұндағы
- белгісіз параметр деп аталады, ал - белгісіз параметрлер жиыны
Есептің қойылуы: Қандайда бір үшін сәйкесүлестірім функциясы- дің үлестірім функциясы болып табылады, яғни.
Мәселе – сол -ді таңдамадан пайдаланып жуықтап табу керек .
Қойылған есепті шешу үшін -ден алынғантаңдаманы пайдаланамыз.- белгісіз параметрінің мағынасына қарай ( ол әртүрлі мысалдарда әрқалай болады)
функциясын құрады және ол арқылы мына функцияға келеді
.
Бұл функция - белгісіз параметрініңбағасы деп аталады.
- ге келесі талаптар қойылады:
1. Егер үшінболса, онда- бағасыығыспаған баға деп аталады.
2. Егер үшінболса, онда- бағалар тізбегітиянақты деп аталады.
3. Егер - бағасы
теңдігін қанағаттандырса, онда - бағасыэффективті деп аталады.
Математикалық күтімнің бағасы – таңдамалық орта
- бақыланатын кездейсоқ шамасы берілген. Оның үлестірімі параметрімен бірмәнді анықталғаны белгілі болсын (мысалы, бинамиамды үлестірім: белгісіз параметрлер ретінде; көрсеткішті үлестірім :; қалыпты үлестірім :; т.с.с.).
Мақсат: параметрлері үшін баға құру.
Ол үшін таңдама керек:
- -ден алынған таңдама.
Баға ретінде: (36.1)
таңдамалық орта деп аталатын кездейсоқ шама алынады. Бағаны бұлай алуға себеп болатын математикалық күтімнің практикалық мағынасы және үлкен сандар заңы.
Бұл баға ығыспаған және тиянақты болатынын көрсетейік:
1)
2) берілсін,екені белгілі болсын. Онда
Демек бұл баға математикалық күтім үшін тиянақты баға болады.
Белгісіз дисперсия үшін баға – таңдамалық дисперсия
- бақыланатын кездейсоқ шама болсын, оның дисперсиясы белгісіз болсын.
- таңдама
Мақсат: - қа баға құру
Ол үшін дисперсияның анықтамасын еске түсірейік:
Бұдан баға
(37.1)
болуы мүмкін деген ойға келеміз.
- ығыспаған баға . Бұдан бұл баға үшін ығыспаған болмайтындығы көрініп тұр. Ығыспаған баға алу үшін бұл теңдіктің екі жағында- ге көбейтеміз. Сонда
Бұдан бұны деп белгілейік:
(37.2)
(37.1) – дисперсияның ығысқан бағасы деп аталады
(37.2) – дисперсияның ығыспаған бағасы деп аталады.
12. Нормаль үлестірім параметрлері үшін сенімділік интервалдары.
Параметрлері және болатын нормаль ( гаустік, қалыпты ) үлестірім:
Мұндай қалыпты шаманы қысқаша түрінде жазатын боламыз. Параметрлері болатын нормаль үлестірім стандартты нормаль үлестірім деп аталады.
Нормальді үлестірімдердің композициясы нормальді үлестірілген болады. Осылай егер Х пен У – тәуелсіз нормальді үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, яғни
Z болса онда кездейсоқ шамасы да нормаль үлестірілген болады. Z Х пен У тәуелді болса, (корреляция коэффициенті ρ≠0), онда Z=X+Y нормальді үлестірілген болып қалады, параметрлері ( Ω,ℱ, Р) ықтималдық кеңістігінде өзара тәуелсіз және үлестірімдері бірдей
ξ1(ω)...ξn(ω) M(ξk)=a D(ξk)=δ2<+∞ онда
P(ω:( ξ1(ω)+..+ ξn(ω)-M(ξ1(ω),..,ξn(ω)/≤x)→1/
Муавр-Лаплас Ф0,1 (х) стандарт нормаль үлестірім эквивалентті N(0;1)
Егер Х кездейсоқ шамасы бас жиында нормал үлестірілген болса, параметрін интервалдық бағалауды көрсету үшін пайдалануға болады. а параметрін сенімділікпен қамтитын сенімділік интервалын табу керек болсын. Егер кездейсоқ шама Х нормаль үлестірілген болса, онда тәуелсіз бақылау арқылы табылған таңдама орта нормальді үлестірілген болады.үлестіруінің параметрлері
болады.
Енді теңдігі орындалсын дейік, мұндағыберілген сенімділік
формуласын пайдаланайық, ол үшін Х-ті мен-нымен ауыстырайық, сонда
болады, мұндағы ;
Соңғы теңдіктен болады.
Сонда болады.
Бұдан
;
Алдыңғы қатынастың мағынасы төмендегідей:
Сенімділік интервалы белгісіз параметра ны сенімділікпен қамтитынын бекітуге мүмкін болады. Бағалау дәлдігі.
саны теңдігінен анықталады, бұдан; 2-ші қосымшадағы Лаплас функциясының кестесі бойынша аргумент-ны табамыз.
Мысал. Кездейсоқ шама Х орташа квадраттық ауытқуы ке тең екендігі белгілі нормаль үлестірілген болсын.
Бас жиынның белгісіз математикалық күтімі а-ны таңдама ортасы арқылы бағалаудың сенімділік интервалын табыңдар, егер таңдама көлеміжәне сенімділігіболса.
Шешуі: -ны табамыз.болғандықтан; 2-ші қосымшаданекенін табамыз.
Дәлдік бағаны табамыз. ; Сонда сенімділік интервалыболады. Мысалы, егерболса, онда сенімділік шекарасы
болады. Олай болса бас жиынның белгісіз параметрі а теңсіздігін қанағаттандырады.
Квадраттық ауытқу (таңдама көлеміболса) белгісіз болса, сенімділік интервалболады, мұндағы-түзетілген орташа квадраттық ауытқу,-ны берілгенжәнебойынша кестеден (3-қосымша) табады.