Механика_сплошной_среды_

Из этого закона можно получить известную формулу вычисления расхода

для невязкой и несжимаемой жидкости, текущей в трубопроводе.

Вывод равенства (3.10) с помощью (3.9) дан в Приложении.

3.6. Фильтрация жидкости в скважину

Просачивание, течение сквозь пористую среду называют фильтрацией жидкости.

Пусть имеется вертикальная скважина радиуса rc . Она пронизывает пласт мощности (толщины) h, содержащий жидкость. За счѐт

перепада давления жидкость течѐт в скважину в радиальном направлении. Скорость фильтрации прямо пропорциональна градиенту давления dp / dr (т.е. разности, перепаду давления, приходящего-

ся на единицу длины) и обратно пропорциональна вязкости жидкости:

скважины до произвольной точки прискважинного пространства.

Во время эксплуатации скважины прилежащие пласты, как правило, загрязняются. Это означает, что коэффициент проницаемости пластов k уменьшается и потому уменьшается приток жидкости в скважину. Найдѐм количественную связь между этими величинами.

Вокруг скважины мысленно опишем цилиндрическую поверхность радиуса r (r rc ) и высоты h. Площадь этой воображаемой по-

вен V vS. Он не зависит от r. Подставив сюда значения (а) и (б), получим

V k dp 2 rh.dr

Отделим переменные p и r :

41

В свою очередь, пласт, из которого жидкость притекает в скважину, снабжается жидкостью из области, называемой контуром питания. Ради простоты будем считать, что контур питания представ-

Рассмотрим два примера применения данной формулы.

фициент проницаемости растѐт по линейному закону:

1 Дюпюи Жюль (1804-1866) – французский инженер, механик, экономист.

42

k ar b (a, b 0)

(рис. 3.11). Подставим эту величину в интеграл, входящий в (3.11):

Рис. 3.11

3.7. Закон парности касательных напряжений

Внутри жидкого или твѐрдого тела в какой-либо точке мысленно построим оси координат x, y, z (рис. 3.12). Вблизи начала координат

проведѐм наклонную плоскость, пересекающую оси так, чтобы треугольник, содержащий точку C, был равнобоким (тогда 3dx 3dy,

значит, dx dy). Получится бесконечно малый тетраэдр, ограничен-

ный координатными плоскостями и наклонной плоскостью (на рис. 3.12 тетраэдр показан в увеличенном масштабе). Точки A, B, C, D, лежащие на гранях, будем считать именами этих граней.

43

Но DA = DB, S A S B . После сокращений останется

yx xy ,

что и требовалось доказать.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Скалярное и векторное поля

Пусть M – произвольная точка пространства, мени. Введѐм обозначения:

(M ,t) плотность частицы жидкости или газа в точке M в момент времени t;

скорость частицы жидкости или газа в точке в момент времени t. v(M ,t) M

Эти обозначения говорят, что плотность и скорость – функции от точки пространства и времени. Кроме плотности и скорости существуют другие переменные величины, также зависящие от положения точки M и момента времени t.

Поле – функция от точки и времени.

Так как функция может быть скалярной либо векторной, то и поле бывает скалярным или векторным.

Значит, плотность (M ,t) скалярное поле (скалярная функция, скаляр), а

скорость векторное поле (векторная функция, вектор). v(M ,t)

Поле, не меняющееся во времени, называют стационарным или устано-

Введѐм систему координат Oxyz. Произвольная точка M будет иметь коор-

45

dS F

В этих формулах:

dV объѐм, содержащийся внутри бесконечно малой поверхности (dS);

dS вектор площадки поверхности (dS);

точка ( ) – знак скалярного умножения; косой крест ( ) – знак векторного умножения.

Правые части данных формул не содержат координат переменной точки M . Значит, эти формулы справедливы в любой системе координат, они не зависят от выбора системы координат. Иными словами, они инвариантны.

Правые части этих формул можно записать, используя знак предела. Например, (П.3.3) можно записать так:

Здесь (V ) M означает, что и область (V ), и замкнутая поверхность (S)

сжимаются в точку M. Поэтому величины (П.3.1)-(П.3.3) не зависят от формы поверхности (dS) или (S ). Если в формуле (П.3.4) убрать знак предела, полу-

Формально эти равенства получаются сразу из определений (П.3.1)-(П.3.3).

Равенство (П.4.2) называется формулой Остроградского-Гаусса.

Строгое доказательство этих формул опирается на тот факт, что поверхностные интегралы в правых частях изменяют свой знак при изменении ориентации поверхности.

48

5. Градиент, дивергенция и ротор

вдекартовых координатах

Вдекартовой системе координат градиент, дивергенция и ротор

( P, Q, R – функции от x, y, z ).

 В П.3 мы выяснили, что формулы (П.3.1)-(П.3.3) не зависят от формы замкнутой поверхности (dS), ограничивающей фигуру (dV ). Поэтому ради удобства

возьмѐм фигуру (dV ) – бесконечно малый параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Его объѐм dV dxdydz. Направим координатные оси вдоль рѐбер (рис. 5.1).

Докажем формулу (П.5.1).

49

= Площадь грани (ЛИРУЛ) равна dy dz и равна площади грани (АСОКА). И т.д. =

Остальные две формулы можно вывести таким же путѐм, но мы поступим иначе. Выпишем полученные равенства

50