Лекции _ Вышка

Пусть событие A – деталь стандартная. Условные вероятности этого собы-

полной вероятности имеем: P(A) = 12 ×0,8 + 12 ×0,7 = 12 ×1,5 = 12 × 32 = 34 .

19

Лекция 4

Теорема Бейеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа.

Английский математик Бейес Томас (1702-1761) поставил и решил одну из основных задач элементарной теории вероятностей, позволяющей

найти значения “апостериорных” вероятностей P (Bi / A) события Bi после наступления события A (“a posteriori – после опыта”) через значения “априорных” вероятностей P (Bi ) (a priori – до опыта). Эта теорема названа теоремой Бейеса и опубликована в 1763 году.

Теорема Бейеса

Т. Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1 , B2 ,..., Bn (гипотез), образующих полную группу

событий. Если событие A уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса

PA (Bi ) = P(Bi )× PBi (A) , i = 1, n , где P( A) определяется по формуле

полной вероятности

n

P(A) = åP(Bi )× PBi (A)

i=1

Доказательство:

Так как событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1 , B2 ,..., Bn , образующих полную группу, то вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B1 )× PB1 (A) + P(B2 )× PB2 (A) +...+ P(Bn )× PBn (A) .

Предположим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A . Поставим задачу: определить, как при этом изменились вероятности гипотез. То есть найдём вероятности PA (B1 ), PA (B2 ),..., PA (Bn ) .

По формуле умножения зависимых событий:

P(A× B1 ) = P(A)× PA (B1 ) = P(B1 )× PB1 (A)

Аналогично можно доказать для любого Bi :

19

Пример: Вероятность попадания в цель для 1-й группы стрелков – 0,8, для второй – 0,9. Один из стрелков выстрелил и попал в цель. Что вероятнее: стрелок был из 1-ой группы или из второй? В 1-ой группе 10 человек, во второй – 8 человек.

Рассмотрим гипотезы

Таким образом, вероятнее, что стрелял стрелок из 1-ой группы.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Если производятся несколько испытаний, причём вероятность A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события A .

Предположим, что производиться n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. Будем считать, что вероятность наступления события A в каждом испытании

равна p (0 < p < 1). Вероятность не наступления равна q = 1− p .

20

Последовательность независимых испытаний с двумя исходами впервые была исследована швейцарским математиком Якобом Бернулли (1654 - 1705)

и носит название последовательности испытаний Бернулли.

Поставим задачу: найти вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно k раз Pn (k) .

Например, если идёт речь о появлении события A в четырёх испытаниях 3 раза, то возможны следующие исходы: AAAA, AAAA, AAAA,

AAAA .

Т. Если вероятность наступления события A в каждом испытании одинакова и равна p(0 < p <1) , то вероятность того, что в n испытаниях

Число таких событий m равно числу сочетаний, которые можно составить из n элементов по k элементов. То есть m = Cnk .

P(B1 +...+ Bm ) = P(B1 ) + P(B2 ) +...+ P(Bm ) = Cnk × pk ×qn−k

Pn (k) = Cnk × pk ×qn−k – формула Бернулли

Следствия:

1)Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не более k раз:

P(1; k) = Pn (1) + Pn (2) +...+ Pn (k) .

2)не менее k раз: Pn (k;n) = Pn (k) + Pn (k +1) + ...+ Pn (n) .

3)более k раз: Pn (k +1; n) = Pn (k +1) +...+ Pn (n) .

4)менее k раз: P(1; k -1) = Pn (1) +...+ Pn (k -1) .

5)от k1 до k2 раз: P(k1 ;k2 ) = Pn (k1 ) + Pn (k1 +1) +...+ Pn (k2 ) .

Пример: Найти вероятность того, что при четырёх бросаниях монеты «герб» выпадет 3 раза.

21

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Пользоваться формулой Бернулли при большом числе испытаний n довольно трудно. Локальная теорема Муавра-Лапласа даёт возможность приближенно вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно k раз.

Эту теорему сначала доказал для частного случая при p = 12

английский математик Муавр Абрахам (1667-1754). В 1783 г. Лаплас обобщил ее для произвольного p . Рассмотрим эту теорему без

доказательства.

Т. Если вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1) , то вероятность Pn (k) того, что в n

Составлена таблица значений ϕ(x) , соответствующая положительным значениям x . При вычислении функция ϕ(x) от отрицательных значений аргумента учитывается то, что функция ϕ(x) чётная, то есть ϕ(-x) = ϕ(x) .

Пример: Найти вероятность того, что событие A наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления в одном испытании p = 0, 2 .

n = 400, k = 80, q = 0,8

22

выражается через элементарные функции. Доказательство теоремы выходит за рамки данного курса, покажем лишь равенство определенного интеграла разности функции Лапласа в точках x′′ и x′ .

Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенными от 70 до 100 деталей.

24