Лекции _ Вышка

Таким образок толщина монеты должна быть в 2 раза меньше радиуса.

Основные соотношения комбинаторики.

Для нахождения вероятности по классическому определению часто используются формулы комбинаторики. Рассмотрим основные понятия комбинаторного исчисления.

1) Перестановками называются различные комбинации, составленные из одних и тех же элементов, отличающихся порядком расположения элементов.

Например: Перестановками из чисел 1,2,3 будут:

123 132 213 231 312 321

14444244443

6 перестановок

Количество перестановок определяется по формуле

Pn = n!, n Î N

В данном примере число перестановок из трех цифр P3 = 3! = 6 .

2) Размещениями называются различные комбинации, составленные из n элементов по m элементов, которые отличаются как составом, так и порядком расположения элементов.

Размещения из чисел 1,2,3 по 2 элемента будут:

12 21 13 31 23 32

144424443

6 размещений

11

Общая формула для количества размещений из n элементов по m элементов имеет вид

По определению полагают 0! =1

3) Сочетаниями называются различные комбинации, состоящие из n элементов по m элементов, которые отличаются только составом элементов. Рассмотрим те же числа 1,2,3. Составим сочетания по 2 элемента

12 13 21

14243

3сочетания

Количество сочетаний из n элементов по m элементов определяется по формуле

В комбинаторном исчислении справедливо правило суммы и правило произведения, которые формулируются следующим образом:

Правило суммы: Если объект A может быть выбран n способами, объект B – m способами, то либо A либо B можно выбрать m + n способами.

Например: добраться до университета можно либо на транспорте (объект A ): (например, на автобусе, троллейбусе, трамвае, маршрутном такси, на собственном автомобиле или на такси), либо пешком (объект B ). Всего способов добраться до университета будет m + n = 6 +1 = 7 .

Правило произведения: Если объект A можно выбрать n способами, а объект B – m способами, то пару объектов ( A, B) можно выбрать m×n способами.

Например, надо приготовить салат, в состав которого входит один фрукт и один овощ. Пусть мы имеем 3 вида фруктов: яблоки (Я), груши (Г) и бананы (Б) и 2 вида овощей: морковка (М) и свекла (С). Составим возможные комбинации (возможные рецепты салатов): ЯМ, ЯС, ГМ, ГС, БМ, БС – всего

6 = 3×2 .

Рассмотрим пример применения комбинаторики в задачах теории вероятностей.

12

Пример: Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса. Решение: Пусть событие A – студент знает предложенные ему 3 вопроса.

Число возможных исходов n = C253 , число исходов, благоприятных к событию A – m = C203 . Найдем вероятность по классическому определению

Условная вероятность

При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события, имея некоторые дополнительные сведения о нем. Обычно нужно найти вероятность события A после того, как произошло событие B . Вероятность события A , как правило, при этом изменяется.

Определение: Условной вероятностью PB (A) (или P (A / B) ) события A

называют вероятность события A при условии, что событие B уже произошло с ненулевой вероятностью ( P (B) ¹ 0 ).

Пример: Найти вероятность того, что при бросании игровой кости выпадет «4», если выпало чётное число очков.

Решение:

Рассмотрим события: B – выпало чётное число очков, общее число исходов n = 3 , и событие A – выпало «4», благоприятных исходов один ( m = 1 ). Найдем вероятность из классического определения.

PB (A) = mn = 13

Пример: В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если первый раз был извлечен черный шар.

Решение: Рассмотрим события

А – первый раз был извлечен черный шар В – второй раз был извлечен белый шар

Так как после первого извлечения в урне осталось 5 шаров, из которых 3 белых, то искомая условная вероятность будет равна

13

PA (B) = 35

14

Лекция 3

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Т1. Если события A и B несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей каждого из событий.

P (A + B) = P( A)+ P (B)

Доказательство: Докажем для классического случая, то есть когда вероятность определяется непосредственным подсчетом. Для более сложных случаев это утверждение принимается в качестве аксиомы без доказательств (см. лекцию №1).

C = A + B – событие, состоящее в появлении либо A , либо B . Число исходов, благоприятных для такого события, равно mA + mB . Найдем вероятность, исходя из классического определения:

Следствие: Если события A1 , A2 ,K, An – попарно несовместны, то

P (A1 + A2 +K+ An ) = P( A1 ) + P( A2 )+K+ P (An )

Т2. Если события A и B совместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей каждого из событий без вероятности их совместного появления

P (A + B) = P (A) + P(B)- P( A× B)

Т3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P (A× B) = P (A)× P(B)

Доказательство приведем дальше, оно будет следовать из следующей теоремы, как частный случай.

Т4. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого.

P(AB) = P(A)× PA (B) = P(B)× PB (A)

Доказательство: Пусть nA - число исходов, благоприятных для события A , nAB – то количество исходов из числа nA , которое благоприятно так-

же и для события B .

Тогда условная вероятность события B , при условии, что A уже про-

Из (2)Þ P(AB) = PA (B) × P(A) .

Аналогично можно доказать, что P(AB) = PB (A)× P(B) .

Замечание 1: формула (2) является формулой для вычисления условной вероятности и часто используется как определение условной вероятности.

15

Определение: Условной вероятностью события B при условии, что событие A уже произошло, называется число, определяемое равенством

= P(AB)

PA (B) P(A) .

Замечание 2: Если события A и B независимы, то PA (B) = P(B) , тогда

P(AB) = P(A)× P(B) (теорема 3).

Следствие: Если имеем n зависимых событий A1 , A2 , A3 ,...An , то вероятность

произведения этих событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, причём вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что произошли все предыдущие события.

P(ABC) = P(A)× PA (B)× PAB (C) .

Пример: В урне находится 3 белых, 5 красных и 4 синих шара. Найти вероятность того, что первый вытянутый шар будет белым, 2-ой – красным и 3-ий синим.

Решение:

Рассмотрим события

A- 1-ый шар белый.

B- 2-ой шар красный. C - 3-ий шар синий.

Эти события зависимы, так как вероятности последующих событий изменяются, если произошли предыдущие. По формуле вероятности произведения зависимых событий имеем

P(ABC) = P (A)× PA (B)× PAB (C) = 123 ×115 ×104 = 14 ×111 × 42 = 221 .

Определение: Cобытия A1 , A2 , A3 ,..., An называются взаимно независимыми

(или независимыми в совокупности, или просто независимыми), если для всех комбинаций индексов 1 £ i1 £ i2 £ K £ ik £ n (k = 2,K, n) имеем

P (Ai1 × Ai2 ×K× Ain ) = P(Ai1 )P (Ai2 )KP(Aik ). Если это условие выполнено только при k = 2 , то события называются попарно независимы. Отметим, что из попарной независимости не следует взаимная независимость.

Вероятность появления хотя бы одного события.

16

Т. Пусть события A1 , A2 , A3 ,..., An взаимно независимы, причем

P (A1 ) = p1 , P( A2 ) = p2 , K , P( An ) = pn . Вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий A1 , A2 , A3 ,..., An .

P(A) = 1- q1 ×q2 ...×qn

Доказательство: Пусть событие A состоит в том, что появилось хотя бы одно из событий A1 , A2 , A3 ,..., An . Рассмотрим противоположные события:

A1 - не появилось событие A1 . A2 - не появилось A2 .

M

An - не появилось An .

Событие A = A1 × A2 × A3 ×...× An состоит в том, что не появилось ни одно из событий A1 , A2 , A3 ,..., An .

Так как A1 , A2 , A3 ,..., An взаимно независимы, то A1 , A2 , A3 ,..., An - тоже взаимно независимы, следовательно

P(A) = P(A1 × A2 ×...× An ) = P(A1 )× P(A2 ) ×...× P(An ) , тогда P(A) = 1- P(A1 ) × P(A2 )×...× P(An ) .

Обозначим P(A1 ) = 1- p1 = q1 , P(A2 ) = q2 ,... P(An ) = qn . Тогда вероятность появления хотя бы одного из событий с разными вероятностями будет вычисляться по формуле:

мых события с равными вероятностями.

Пример: Вероятности попадания в цель при стрельбе из 3-х орудий соответственно равны p1 = 0,8, p2 = 0,7, p3 = 0,9 . Найти вероятность того, что при

одном залпе попадёт хотя бы одно из орудий. Решение:

Пусть событие A – попадёт хотя бы одно орудие. Рассмотрим события A1 – попадёт 1-ое орудие.

A2 – попадёт 2-ое орудие.

A3 – попадёт 3-е орудие.

17

попадёт ни одно из орудий, будет противоположно к событию A . Тогда

P(A) = 1- P(A) = 1- P(A1 × A2 × A3 ) =

= 1- P(A1 )× P(A2 )× P(A3 ) = 1- q1 ×q2 ×q3 =1- 0,2×0,3×0,1 = 1- 0,006 = 0.994

.Формула полной вероятности.

Т. Пусть событие A может наступить только при условии появления одного из n несовместных событий (гипотез) B1 , B2 ,..., Bn , составляющих полную группу событий. Тогда вероятность события A равна сумме произведений вероятностей гипотез Bi на соответствующие условные вероятности события A .

P(A) = P(B1 )× PB1 (A) + P(B2 )× PB2 (A) + ... + P(Bn )× PBn (A)

Доказательство: Так как событие A наступает при условии появления одного из событий B1 , B2 ,..., Bn , то появление события A равносильно появлению

одного из событий B1 × A, B2 × A, ..., Bn × A . Эти события несовместны, так как несовместны B1 , B2 ,..., Bn , следовательно

P(A) = P(B1 × A + B2 × A +K+ Bn × A) = P(B1 × A) + P(B2 × A) + ... + P(Bn × A) =

= P(B1 ) × PB1 (A) + P(B2 )× PB2 (A) +...+ P(Bn )× PBn (A)

Замечание: Вероятности гипотез должны удовлетворять соотношению åni=1 P(Bi ) = 1 , так как они составляют полную группу событий

Пример: Имеется 2 набора деталей. Вероятность того, что деталь, взятая из 1- го набора, будет стандартной равна 0,8. Вероятность того, что деталь, взятая из 2-го набора, будет стандартной равна 0,7. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

Рассмотрим гипотезы:

B1 – взятая деталь будет из 1-го набора, P(B1 ) = 12 ,

B2 – взятая деталь будет из 2-го набора, P(B2 ) = 12 .

18