Завдання к-4. Складний рух точки

Умова завдання. Прямокутна пластина (рис.К4.0–К4.5) або кругла пластина радіусом (рис.К.4.6- К4.9) обертається навколо нерухомої осі з постійною кутовою швидкістю, яка задана в табл.К4 (при знаку «мінус» напрямокпротилежний показаному на рисунку). Вісь обертання на рис.К4.0-К4.3 і К4.8, К4.9 перпендикулярна площині пластини і проходить через точку(пластина обертається у своїй площині); на рис.К4.4-К4.7 вісь обертаннялежить у площині пластини (пластина обертається в просторі).

По пластині вздовж прямої (рис.К4.0-К.4.5) або по колу радіуса, тобто по ободу пластини (рис.К4.6-К.4.9), рухається точка. Закон її відносного руху виражається рівнянням(де- у сантиметрах;- у секундах) і заданий у табл.К4 окремо для рис. К4.0-К4.5 і для рис.К4.6-К4.9, при цьому на рис. 6-9і відраховується по дузі кола; там же дани розміриі. На всіх рисунках точкапоказана в положенні, при якому> 0 (при< 0 точка знаходиться по інший бік від точки).

Визначити. Визначити абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки в момент часу.

Табл.К4

Номер умови	, рад/с	Рис. 0 - 5		Рис. 6 - 9
		, см
0	-2	16
1	4	20
2	3	8
3	-4	12
4	-3	10
5	2	12
6	4	20
7	-5	10
8	2	8
9	-5	16

Теоретичне обґрунтування : [4] §64-67 ; [5] Разд. II., Гл. 5 , § 1 - 4; [6] Разд.2 . Гл. XIV, §111-116; [7]; [8].

Методичні вказівки. Задача К-4 – на складний рух точки.

Рух точки для нерухомого спостерігача (нерухома система відліку) і спостерігача, що переміщається (рухома система відліку), бачиться не однаково. Тому кінематичні характеристики цього руху - є відносна категорія, що залежить від вибору системи відліку. У деяких задачах кінематики складний рух точки зручно представити у вигляді суми простих складових: відносної і переносної. Виділення цих складових і правильне їхнє додавання для визначення кінематичних характеристик абсолютного руху точки – є основна задача кінематики складного руху точки.

Основними поняттями кінематики складного руху є: відносний рух, переносний рух і абсолютний рух.

Рух точки відносно рухомої системи відліку називається відносним. Рух самої рухомої системи відліку відносно нерухомої називається переносним. Рух точки стосовно нерухомої системи відліку називається абсолютним.

Кінематичні характеристики складного руху точки:

1. швидкості точки (відносна, переносна, абсолютна);

2. прискорення точки (відносне, переносне, Коріоліса, абсолютне).

Абсолютну швидкістьточки визначають по теоремі додавання швидкостей:

(1)

де - абсолютна швидкість точки ;

- відносна швидкість точки ;

- переносна швидкість точки .

Відносну і переносну швидкості знаходять по відомих формулах у залежності від виду відносного і переносного руху точки.

Абсолютне прискоренняточки визначають по теоремі додавання прискорень:

(2)

де - абсолютне прискорення точки ;

- відносне прискорення точки ;

- переносне прискорення точки ;

- прискорення Коріоліса.

Відносне і переносне прискорення знаходять по відомих формулах у залежності від виду відносного і переносного руху точки. Прискорення Коріоліса визначається векторним добутком:

(3)

Модуль прискорення Коріоліса можна визначити по формулі: , де- кут між векторамиі. Напрямокзнаходять за правилом векторного добутку або заправилом Жуковського: тобто щоб одержати напрямок треба вектор проекціїна площину, перпендикулярну вектору кутової швидкості( належить осі обертання), повернути напо напрямку обертання, обумовленого.

Приклад К-4.

Кругла пластина (рис.К4.а) радіусом обертається навколо осі, яка лежить в площині пластини і проходить через її центр, з постійною кутовою швидкістю. По ободу пластини рухається точка. Закон цього руху задається рівнянням; додатній напрямок- відк.

Визначити абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки в момент часу.

Дано: ,,

Визначити: ?

Розв’язування.

1. Об'єктом вивчення є точка .

2. Визначимо абсолютну швидкість точки .

Розглянемо рух точки як складний.

За відносний рух приймаємо рух точки по дузі пластини (тоді закон відносного руху стає відомим з умови). За переносний рух приймаємо обертальний рух самої пластини (кутова швидкість обертання якої також задана).

Швидкість точки в переносному русі залежить від відстані точки від осі обертання пластини. Тому, перед визначенням переносної швидкості варто визначити положення точкив розрахунковий момент часу. Це положення визначимо з закону руху по дузі, підставивши в нього відповідне значення:

(1)

Тоді кутова координата положення точкивизначиться центральним кутом, а відстань точки від осі обертання дорівнює. Зобразимо точку в даному положенні на рисунку (рис.К4.б).

Визначимо швидкість точки у відносному русі по пластині, рух якої задано природним способом. Покажемо природні осі координат.

(2)

При маємо: .

Проекція > 0, тому векторспрямований по дотичній до траєкторії відносного руху (дотична до дуги) вбік додатного відліку дугової координати (рис.К4.в).

Визначимо швидкість точки в переносному русі . Для цього уявимо, що відносного руху точки по пластині нема, тобто точканерухома і належить пластині.

Тоді:

(3)

Вектор і спрямований, з врахуванням напрямку, по дотичній до кола радіусаh, тобто від нас.

Визначимо абсолютну швидкість точкияк векторну суму відносноїі переносноїшвидкостей, тобто:

(4)

У нашому випадку маємо . Тоді величина абсолютної швидкості:

=. (5)

3. Визначимо абсолютне прискорення точки (рис.К4.г).

Відповідно до теореми про додавання прискорень:

(6)

Відносний рух точки - є рух поколу радіуса в площині пластини. Тому відносне прискорення є геометричною сумою нормальногоі дотичногоприскорень, тобто:

(7)

де (8)

(9)

Векторлежить на дотичній до дугиі якщо< 0, то спрямованийвбік від’ємного відліку . Векторспрямований від точкидо центру пластини.

Переносний рух – це рух точки по колу внаслідок обертання пластини з кутовою швидкістю. При цьому точказнаходиться на відстанівід осі

обертання. Тому:

(10)

де (11)

(12)

Вектор спрямований від точкидо осі обертання.

Прискорення Коріоліса знайдемо по формулі:

(13)

Вектор спрямований вздовж осі обертання у той бік, звідки обертання пластини видно проти руху годинникової стрілки (тобто в нашому випадку спрямований вправо). Тоді кут міжідорівнює. Визначимо модульу момент часу:

(14)

Вектор за правилом Жуковського спрямований від нас.

Модуль абсолютного прискорення знайдемо, спроектувавши (6) на обрані осі :

(15)

(16)

(17)

Після підстановки числових значень знайдемо:

Таким чином, повне прискорення по величині дорівнює:

В

;

ідповідь.