Приклад виконання професійно спрямованого індивідуального завдання (ідз 2)

Завдання. Дослідити задану таблицю міжгалузевого балансу – модель економічної системи. Нехай, наприклад, є три взаємозв’язані галузі. Таблиця міжгалузевих зв’язків (табл.1) містить дані балансу трьох галузей промисловості за деякий період (ум. грош. од.). Треба знайти необхідний обсяг валового випуску продукції кожної галузі, якщо кінцевий продукт споживання по галузях збільшити відповідно до 200, 70, 100 одиниць.

Розв’язання задачі базується на використанні прикладної програми з пакета MS Office – системи MS Excel, яка надає зручні для користувача засоби.

Таблиця 1. Міжгалузеві зв’язки

Дані про виконання міжгалузевого балансу за звітний період
Галузь виробництва	Споживання			Кінцевий продукт	Запланований валовий випуск
	Енергетика	Металургія	Машино-будування
Енергетика	5	40	30	125	200
Металургія	10	10	25	55	100
Машино-будування	17	5	3	75	100

РОЗВ’ЯЗАННЯ

1. Теоретичний матеріал

Припустимо, що запланований обсяг виробництва продукції кожної галузі має такі позначення:

Y₁ – запланований обсяг виробництва продукції енергетики, млн грн;

Y₂ – запланований обсяг виробництва продукції металургії, млн грн.;

Y₃ – запланований обсяг виробництва продукції машинобудування, млн грн.

Крім того, а_ij – матриця безпосередніх витрат, тобто кількість продукції i-го виду, необхідної для випуску одиниці продукції j-го виду, наприклад:

а₁₁ – кількість електроенергії, необхідної для виробництва одиниці електроенергії;

а₁₂ – кількість електроенергії, необхідної для виробництва одиниці продукції в металургії;

а₁₃ – кількість електроенергії, необхідної для виробництва одиниці продукції в машинобудуванні.

Яким є необхідний валовий обсяг виробництва продукції кожного виду (X₁ – енергетики, млн грн,X₂ – металургії, млн грн,X₃ – машинобудування, млн грн.).

Згідно з моделлю багатогалузевої економіки Леонтьєва, розв’язок можна одержати за формулою:

X=(Е-А)^{-1 .} Y,

де X – вектор валового випуску, Е – одинична матриця, А – матриця прямих витрат, Y – вектор кінцевого продукту.

Суть методу Леонтьєва полягає у визначенні валового випуску галузей за заданим кінцевим попитом на основі даних про технологічні можливості, втілених у коефіцієнтах а_ij. Докладніше про одержання формули дивись у [6, С.126-133].

2. Комп’ютерна технологія знаходження необхідного обсягу валового випуску продукції кожної галузі.

Розв’язання задачі у системі MS Excel реалізується такими діями:

1. Створити табличну модель для розрахунків засобами MS Excel (див. рис.8). Вважаємо, що діапазон комірок А10:С12 містить матрицю споживання; діапазон комірок Е10:Е12 – вектор кінцевого продукту (Y); діапазон комірок G10:I10 – вектор запланованого валового випуску.

Рис. 8. Дані про виконання міжгалузевого балансу за звітний період

2. Знайдемо матрицю прямих витрат за допомоги формули для коефіцієнтів прямих витрат:

,

де x_ij – обсяг продукції i-ої галузі, який споживає j-а галузь в процесі виробництва; x_j – валовий обсяг продукції i-ої галузі. Матриця прямих витрат А має вигляд:

Для того щоб знайти матрицю прямих витрат, використаємо програму MS Excel. Матриця прямих витрат А формується в комірках Е15:G17. Для комірки E15 формулу для обчислень можна подати у вигляді:

=A10/G$10

Тоді всі інші елементи матриці А можна отримати шляхом копіювання цієї формули до діапазону комірок E15:G15 методом автозаповнення (див. рис. 9).

Рис. 9. Матриця прямих витрат

3. Знайдемо одиничну матрицю Е. Оберненою до матриці А називають матрицю А^-1, добуток якої на матрицю А дорівнює одиничній матриці:

А^-1.А=Е

Одинична матриця Е формується в комірках E21:G23 – обернена матриця прямих витрат А^-1; E25:G27 – добуток матриці А на матрицю А^-1 дорівнює одиничній матриці (див. рис. 10).

Рис. 10. Одинична матриця

У діапазоні комірок E21:G23 обчислимо обернену матрицюпрямих витрат А^-1. Для цього потрібно:

• виділити діапазони комірок E21:G23;

• вибрати меню ВставкаФункція (див. рис. 11).

Рис. 11. Вибір функції

На першому кроці майстра функцій вибрати категорію Математические, а далі функцію МОБР (див. рис. 12), після чого натиснути кнопку Ок.

Рис. 12. Функція МОБР

У вікні аргументів функції текстового поля Масив задати область E15:G17 (матриця прямих витрат), від якої необхідно знайти обернену матрицю прямих витрат і натиснути кнопку Ок (див. рис. 13).

Рис. 13. Аргументи функції МОБР

Далі натискаємо клавішу F2, після чого одночасно натискаємо три клавіші Ctrl+Shift+Enter. У діапазоні комірок E21:G23 з’явиться результат обчислення оберненої матриці прямих витрат (див. рис. 16).

У діапазоні комірок E25:G27 обчислимо добуток матриці А на матрицю А^-1, який дорівнює одиничній матриці.

Для цього потрібно:

• виділити діапазони комірок E25:G27;

• вибрати меню Вставка Функція (див. рис. 11)

На першому кроці майстра функцій вибрати категорію Математические і далі вибрати функцію МУМНОЖ (див. рис. 14), після чого натиснути кнопку Ок.

Рис. 14. Функція МУМНОЖ

У вікні аргументів функції Масив1 задати область E15:G17 (матриця прямих витрат). У вікні аргументів функції Масив2 задати область E21:G23 (обернена матриця прямих витрат) і натиснути кнопку Ок (див. рис. 15).

Рис. 15. Аргументи функції МУМНОЖ

Далі натискаємо клавішу F2, після чого одночасно натискаємо три клавіші Ctrl+Shift+Enter. У діапазоні комірок E25:G27 з’явиться результат обчислення одиничної матриці (див. рис. 16).

Рис. 16. Результат обчислення одиничної матриці

4. Обчислимо в діапазоні комірок E30:G32 різницю матриць (Е-А), де Е – одинична матриця, А – матриця прямих витрат.

Для цього потрібно виділити область E30:G32, занести до неї формулу

=E25:G27-E15:G17

Далі натискаємо клавішу F2, після чого одночасно натискаємо три клавіші Ctrl+Shift+Enter. У діапазоні комірок E25:G27 з’явиться результат обчислення різниці матриць (див. рис. 17).

Рис. 17. Результат обчислення різниці матриць

5. У діапазоні комірок E35:G37 обчислимо обернену матрицюповних витрат(Е-А)^-1.

Для цього потрібно:

• виділити діапазони комірок E35:G37;

• вибрати меню ВставкаФункція (див. рис.11).

На першому кроці майстра функцій вибрати категорію Математические і далі – функцію (див. рис. 12), після чого натиснути кнопку Ок.

У вікні аргументів функції МОБР задати Массив – область E30:G32 (різниця матриць), від якої необхідно знайти обернену матрицю повних витрат (Е-А)^-1 і натиснути кнопку Ок (див. рис. 18).

Рис. 18. Аргументи функції МОБР

Далі натискаємо клавішу F2, після чого одночасно натискаємо три клавіші Ctrl+Shift+Enter. У діапазоні комірок E35:G37 з’явиться результат обчислення оберненої матриці повних витрат (див. рис. 19).

Рис. 19. Результат обчислення оберненої матриці повних витрат

6. Згідно з моделлю багатогалузевої економіки Леонтьєва, розв’язок одержуємо за формулою

X=(Е-А)^{-1 .} Y,

де X – вектор валового випуску, Е – одинична матриця, А – матриця прямих витрат, Y – вектор кінцевого продукту.

Виділити діапазон комірок H5:H7 (див. рис. 20). Для визначення вектора валового випуску Х використовується функція МУМНОЖ, аргументами якої є масив E35:G37 – обернена матриця повних витрат і масив E10:E12 – вектор кінцевого продукту (Y). Результат обчислення вектора валового випуску (Х) буде в діапазоні комірок H5:H7 (див. рис.20).

Висновок. Отже, валовий випуск у першій галузі треба збільшити на 101,39 ум. од., у другій галузі – на 32,39 ум. од., у третій галузі – на 36,33 ум. од.

Рис. 20. Результат обчислення вектора валового випуску (Х)