Пример выполнения задания (вариант №12)

Дано: кг;кг;кг;кг;;;;;;;;.

Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах и.

Решение

Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Для решения задачи применим уравнение Лагранжа второго рода:

, (1)

, (2)

где – кинетическая энергия системы;

и– обобщенные силы.

Найдем кинетическую энергию системы:

(3)

Движение тел 1, 2, 3 – поступательное, тела 4 – плоскопараллельное, тела 5 – вращательное, следовательно:

;;;

;

.

В результате выражение (3) кинетической энергии системы принимает вид:

(4)

Используя (4) определим величины, входящие в левые части уравнений Лагранжа:

; ; . (5)

; ; . (6)

Обобщенные силы иопределяются из выражений работы неконсервативных сил на элементарных перемещениях системы. К неконсервативным относятся только силы изображенные на чертеже. Для определения сообщим системе возможное перемещение, при котором,, тогда:

. (7)

Для определения сообщим системе возможное перемещение, при котором,, тогда:

. (8)

Подставляя полученные выражения (5), (6), (7) и (8) в уравнения Лагранжа получим:

, (9)

. (10)

Разрешив систему уравнений (9), (10) относительно иимеем:

, (11)

. (12)

Дважды проинтегрировав дифференциальные уравнения (12), (13) с начальными условиями,,,, получим искомое решение задачи:

, где,;

, где,.

Ответ: ,.

37