- •Основы информационных технологий
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Современные информационные технологии
- •1.1 История, современное состояние и перспективы развития вычислительной техники
- •1.2 Элементная база, архитектура, сетевая компоновка, производительность
- •1.3 Понятие информации. Классификация и виды информационных технологий
- •Основные свойства информационных технологий.
- •1 .4 Операционные системы
- •2 Основные программные средства информационных технологий
- •2.1. Программное обеспечение. Текстовые редакторы, их возможности и назначение
- •2.2. Графические редакторы
- •2.3. Электронные таблицы
- •2.4. Сервисные инструментальные программные средства
- •2.5. Системы математических вычислений MatLab
- •2.6 Система подготовки презентаций
- •3 Сетевые технологии и интернет
- •3.1 Классификация компьютерных сетей
- •3.2 Семиуровневая модель структуры протоколов связи
- •2.3. Взаимодействие компьютеров в сети
- •3.3 Организационная структура Internet
- •3.4 Инструментальные средства создания web-сайтов. Основы web-дизайна
- •3.5 Языки разметки гипертекста html и xml
- •3.6 Скриптовые языки программирования
- •4 Системы управления базами данных
- •4.1. Классификация систем управления базами данных
- •4.2 Модели данных
- •4.3 Моделирование баз данных
- •4.4 Архитектура и функциональные возможности субд. Языковые и программные средства субд
- •4.5 Общая характеристика субд ms Access
- •4.6 Основные объекты ms Access
- •4.7 Основы языка sql
- •Контрольные вопросы
- •5 Защита информации при использовании информационных технологий
- •5.1 Основы информационной безопасности
- •5.2. Методы и средства защиты информации
- •5.3 Защита от несанкционированного доступа к данным
- •5.4 Классы безопасности компьютерных систем
- •5.5 Основные аспекты построения системы информационной безопасности
- •6 Математическое моделирование и численные методы
- •6.1 Математические модели и численные методы решения задач в различных предметных областях
- •6.2 Численное дифференцирование и интегрирование
- •6.2.1 Особенность задачи численного дифференцирования
- •6.2.2 Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов
- •6.2.3 Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа
- •6.2.4 Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона
- •6.2.5 Постановка задачи численного интегрирования
- •6.2.6 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •6.2.7 Формула трапеций
- •6.2.8 Формула Симпсона
- •6.2.9 Оценка точности квадратурных формул
- •6.3 Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.3.1 Задача Коши и краевая задача
- •6.3.1.1 Классификация уравнений
- •6.3.1.2 Задача Коши
- •6.3.2 Одношаговые методы решения задачи Коши
- •6.3.2.1 Метод Эйлера
- •6.3.2.2 Модифицированный метод Эйлера
- •6.3.2.3 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
- •6.3.2.4 Погрешность решения и выбор шага
- •6.3.3 Многошаговые методы решения задачи Коши
- •6.3.3.1 Многошаговые методы
- •6.3.3.2 Метод Адамса
- •6.3.3.3 Методы прогноза и коррекции (предиктор-корректор)
- •6.3.3.4 Общая характеристика многошаговых методов
- •6.3.4 Краевая задача и метод стрельбы
- •6.3.4.1 Краевая задача
- •6.3.4.2 Метод стрельбы
- •6.3.4.3 Метод стрельбы для линейного дифференциального уравнения
- •6.4 Решение дифференциальных уравнений в чстных производных
- •6.4.1 Краткие теоретические сведения
- •6.4.2 Классификация уравнений по математической форме
- •6.4.3 Основы метода конечных разностей
- •6.4.3.1 Построение сетки
- •6.4.3.2 Аппроксимация уравнения эллиптического типа
- •6.4.3.3 Аппроксимация уравнения гиперболического типа
- •6.4.3.4 Аппроксимация уравнения параболического типа
- •6.4.3.5 Погрешность решения
- •6.4.4 Основы метода конечных элементов
- •6.4.4.1. Формирование сетки
- •6.4.4.2 Конечно-элементная аппроксимация
- •6.4.4.3 Построение решения
- •6.6 Элементы математической статистики
- •6.6.1 Генеральная совокупность. Выборка. Статистические ряды
- •6.6.2 Графическое изображение вариационных рядов. Эмпирическое распределение
- •6.6.3 Средние величины и показатели вариации
- •6.6.4 Средняя арифметическая и ее свойства
- •6.6.5 Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •6.6.6 Коэффициент вариации
- •6.6.7 Структурные средние
- •6.6.8 Законы распределения случайных величин
- •6.6.9 Статистические гипотезы
- •7 Методы оптимизации и системы поддержки принятия решений
- •7.1 Характеристика методов решения задач оптимизации
- •7.1.1 Численные методы безусловной оптимизации нулевого порядка
- •7.1.1.1 Основные определения
- •7.1.1.2 Классификация методов
- •7.1.1.3 Общая характеристика методов нулевого порядка
- •7.1.1.4 Метод прямого поиска (метод Хука-Дживса)
- •7.1.1.5 Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера—Мида)
- •7.1.1.6 Метод вращающихся координат (метод Розенброка)
- •7.1.1.7 Метод параллельных касательных (метод Пауэлла)
- •7.1.2 Численные методы безусловной оптимизации первого порядка
- •7.1.2.1 Минимизация функций многих переменных. Основные положения
- •7.1.2.2 Метод наискорейшего спуска
- •7.1.2.3 Метод сопряженных градиентов
- •7.1.3 Численные методы безусловной оптимизации второго порядка
- •7.1.3.1 Особенности методов второго порядка
- •7.1.3.2 Метод Ньютона
- •7.2 Линейное программирование
- •7.2.1 Транспортная задача линейного программирования
- •7.2.1.1 Постановка задачи
- •7.2.1.2 Венгерский метод
- •7.2.1.3 Метод потенциалов
- •7.3 Прямые методы условной оптимизации
- •7.3.1 Основные определения
- •7.3.2 Метод проекции градиента
- •7.3.3 Комплексный метод Бокса
- •7.4 Методы штрафных функций
- •7.4.1 Основные определения
- •7.4.2 Методы внутренних штрафных функций
- •7.4.3 Методы внешних штрафных функций
- •7.4.4 Комбинированные алгоритмы штрафных функций
- •7.5 Информационные технологии поддержки принятия решений
- •7.6 Информационные технологии экспертных систем Характеристика и назначение
- •Список литературы
6.6.5 Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия (или варианса) - это средний квадрат отклонений вариант данной совокупности от их средней величины.
Дисперсия
(6.93)
или, если используется интервальный вариационный ряд
. (6.94)
Свойства дисперсии
Свойство 1.Если каждую варианту совокупности уменьшить или увеличить на одно и тоже постоянное число А, то дисперсия не изменится.
Свойство 2.Если каждую варианту разделить (или умножить) на одно и тоже постоянное число А, то дисперсия уменьшится (или увеличится в А2раз.
Среднее квадратическое отклонение определяется по следующей формуле:
. (6.95)
Чем сильнее варьирует признак, тем больше величина этого показателя и наоборот.
6.6.6 Коэффициент вариации
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - величины абсолютные и имеют размерность вариант совокупности. Если же хотим сравнивать изменчивость признаков, выраженных разными единицами, следует перейти к относительным показателям.
Один из этих показателей - показатель Пирсона (коэффициент вариации)
. (6.96)
Чем выше %, тем более изменчив признак.
6.6.7 Структурные средние
Медиана() эмпирического распределения - средняя, относительно которой ряд распределения делится на две половины: в обе стороны от медианы располагается определенное число вариант. Если число вариант нечетно - центральная варианта его медиана. При четном - определяется по полусумме соседних вариант, расположенных в центре ряда.
Мода() - величина, которая встречается в данной совокупности наиболее часто. Класс с наибольшей частотой называется модальным.
О чем можно судить по медиане выборки? Важна эта характеристика особенно в тех случаях, когда обнаруживается значительная или резкая асимметрия в распределении частот по классам вариационного ряда. Часто используется для установления границ тех или иных нормативов.
6.6.8 Законы распределения случайных величин
Между отдельными значениями варьирующих признаков и частотой их встречаемости в генеральной совокупности существует определенная связь (это наглядно можно увидеть на графике зависимости частот от значения вариат).
Реализация того или иного эначения варьирующего признака представляет собой случайное событие. Предсказать появление случайного события в отдельных испытаниях (наблюдениях) можно лишь с некоторой уверенностью, или вероятностью, которое имеет данное событие. Случайной называется переменная величина, способная в одних и тех же условиях испытания принимать различные числовые значения. Функция , связывающая значения вариант с вероятностями называется законом распределения случайной величины.
В природе широко распространена закономерность: в массе относительно однородных членов, составляющих статистическую совокупность, большинство их оказывается среднего или близкого к нему размера, и чем дальше они отстоят от среднего уровня варьирующего признака , тем реже встречаются в данной совокупности. Такое поведение может описано законом нормального распределения(формула Гаусса-Лапласа)
(6.97)
где - дисперсия генеральной совокупности, - генеральная средняя арифметическая или математическое ожидание.
Величина получила название нормированного отклонения.
Выборочные характеристики рассматриваются как приближенные значения или точечные оценки соответствующих генеральных параметров, которые, как правило, остаются неизвестными. Средняя арифметическая выборки служит оценкой средней арифметической генеральной совокупности , выборочная дисперсия является оценкой генеральной дисперсии , - в качестве точечной оценки стандартного отклонения генеральной совокупности.
Формально математическое ожидание соответствует средней арифметической эмпирических распределений. Однако отождествлять эти величины нельзя. Средняя арифметическая выражается отношением суммы всех членов ряда к их общему числу, а математическое ожидание представляет сумму произведений членов ряда на их вероятности. Эмпирическая средняя стремится к своей вероятной величине, то есть, к математическому ожиданию по мере увеличения числа испытаний: чем больше число испытаний, тем ближе эмпирическая средняя к математическому ожиданию.