Прикл. матем

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Данный степенной ряд сходится при x

Данный степенной ряд сходится при x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

855.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

299.	un =	xn+1			300. un =	2n xn
				.		.
		5n+1
			n			2n −1

Литература к задачам 291-300: [3], т.2, гл.V, §1,3; [4], т.2, гл.XVI, §7,8,13; [5], т.II, р.III, гл.II, §3; гл.I, §4,5; [6], гл.XVII, §3; [11], гл.XI, §1,3; [15], гл.IX, §1-3.

∞ 2n xn

Пример. Найти область сходимости степенного ряда ∑ .

n=13n n

	Нам		дан	степенной			ряд	∞		2	n
	Нам		дан	степенной			ряд	∑un xn , следовательно, un =		2	;
		2n+1 .						n=1		3n	n
un+1	=	2n+1 .		Найдем			радиус		сходимости степенного	ряда:
	3n+1		n +1
R = lim		un	= lim	2n3n+1	n +1	=	3 lim	n +1 = 3 .
	n→∞ un+1		n→∞	2n+13n	n		2 n→∞	n	2

(Замечание. Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в

некоторых случаях удобнее применить формулу: R = 1 ). limn un

n→∞

На концах этого интервала ряд может сходиться или расходиться. Проведем исследование сходимости ряда на концах полученного интервала.

		3							∞	1 .
При x = −		3		имеем знакочередующийся числовой ряд ∑(−1)n
При x = −				имеем знакочередующийся числовой ряд ∑(−1)n
	2								=	n
Применим признак Лейбница:									n 1	n
Применим признак Лейбница:
1) u =1 > u			2	=	1	>K> u	n	= 1	>... ,
1			2		2		n	n
					2			n
2) lim un	= lim				1	= 0 .
n→∞			n→∞		n
n→∞					n
Так как для этого ряда выполняются условия:
1) 1 > 1	>K>				1	>...,
2					n
2) lim un	= lim				1	= 0 ,
n→∞			n→∞		n
n→∞					n

то данный ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши. Положим f (x)= 1x . Тогда несобственный интеграл

∞	dx		A	dx		x A = lim 2 A − 2 = ∞.
∫	dx	= lim	∫	dx	= lim 2	x A = lim 2 A − 2 = ∞.
1	x	A→∞	1	x	A→∞	1 A→∞

Несобственный интеграл расходится, а, следовательно, расходится и числовой ряд.

Окончательно, областью сходимости данного ряда является интервал

	3		3
−		;		.
−	2	;	2	.
	2		2

301-310. Вычислить определенный интеграл ∫ f (x)dx с точностью до

0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

301. f (x) = ln(1 + x) , a = 0,25 .

−x

303. f (x) = xe 4 ; a = 0,04 .

305. f (x) = 3 1 + x2 ; a =1. 4

307.f (x) = x − arctgx ; a = 0,5.

309. f (x) = 1 + x2 ; a = 0,5 .

302. f (x)= x cos x , a = 0,25 .

304.f (x) = arctgx2 ; a = 0,5.

306.	f (x) =	sin x2	; a = 0,5.
306.	f (x) =	x	; a = 0,5.
		x
308.	f (x) = arctg(		x ) ; a =1.
			2
310.	f (x) =	e−2x2	; a = 0,25.
310.	f (x) =	x	; a = 0,25.
		x

Литература к задачам 301-310: [3], т.2, гл.V, §4,6; [4], т.2, гл.XVI, §16,17,21; [5], т.II, р.III, гл.II, §5-7; [6], гл.IV, §5; [11], гл.XI, §4,5; [15], гл.IX, §4,5; [22], §9.7, 9.11.

Пример. f (x) = sin(x2 ) ; a =1.

Воспользуемся формулой

sin x = x −	x3	+	x5	−... +(−1)	n−1	x2n−1	+...,
	3!		5!			(2n −1)!

заменив в ней x на x2 , получим ряд:

sin( x

) = x

−

x10

−... +

(−1)

n−1 x4n−2

+...,

(2n −1)!

он сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно

интегрировать. Следовательно,

4n−2

∫sin(x2 )dx = ∫(x2 −

−... + (−1)n−1

+...)dx = (

−

(2n −1)!

x11

+K+

(−1)

n−1

x4n−1

+K)

−

−... +

11 5!

(4n −1) (2n −1)!

7 3!

11 5!

+ (−1)

+...

≈

−

= 0,3333 −0,0381 = 0,295.

(4n −1) (2n −

1)!

Заданная точность будет достигнута, если взять первые два члена

разложения, поскольку уже третий член полученного ряда

≈ 0,0007 ,

11 5!

по модулю меньше 0,001.

311 – 320. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в

степенной

ряд

решения

y = y(x)

дифференциального

уравнения

y′ = f (x, y) ,удовлетворяющего начальному условию y(0) = y0 .

311. y′ = x 2 y 2 +1,

y(0) = 1.

312. y′

= x 3 + y 3 , y(0) =

313. y′ = 2x + y 2 + ex ,

y(0) = 1.

314. y′

= 2 y2 + yex ,

y(0) =

315. y′ = 2 cos x − xy2 ,

y(0) = 1.

315. y′

= x2 y2 + y sin x ,

y(0) =

317. y′ = e3x + 2xy2 ,

y(0) = 1.

318. y′ = y cos x + 2 cos y ,

y(0) = 0.

319. y′ = x2 − y2 ,

y(0) =

320. y′ = x + x2 + y2 , y(0) = 1.

Литература к задачам 311-320: [3], т.2, гл.V, §4,6; [4], т.2, гл.XVI, §16,17,21; [5], т.II, р.III, гл.II, §5-7; [6], гл.IV, §5; [11], гл.XI, §4,5; [15], гл.IX, §4,5; [22], §9.7, 9.11.

Пример. y′ = x + e y , y(0) = 0 .

Решение данного дифференциального уравнения ищем в виде степенного ряда y(x)= y(0)+ y′1!(0)x + y′′2!(0)x2 + y′′3!′(0)x3 +.... По условию задачи y(0) = 0 .

Из данного дифференциального уравнения находим: y′(0) = e0 =1.

Дифференцируем исходное уравнение дважды: y′′ =1 + y′e y ;

y′′′ = y′′e y + (y′)2 e y .

Тогда:	′′	= 2 ,	′′	= 2 +1 = 3, подставляя найденные значения
	y (0)		y (0)

производных в ряд, получаем: y(x) = x + x2 + 32x3 +....

321 – 330. Разложить данную функцию f (x) в ряд Фурье в интервале

(a,b).

321.

f (x) =3 −

(−5;5) ;

322.

f (x) = −x ,

(−2;2) ;

323.

f (x) =5 −

(−π;π) ;

324.

f (x) =π − x ,

(−π;π) ;

325.

f (x) =π + x ,

(−π;π) ;

326.

f (x) = x + 2 ,

(−π;π) ;

327.

f (x) = 4x − 3,

(−5;5) ;

328.

f (x) = 5x +1,

(−π;π) ;

329.

7x −1,

−π < x ≤ 0

(−π;π) ;

f (x) =

0 < x <π

330.

−π < x ≤ 0

(−π;π) .

f (x) =

0 < x <π

1− x,

Литература к задачам 321-330: [3], т.2, гл.V, §8; [4], т.2, гл.XVII, §1-5; [5], т.II, р.III, гл.II, §9; [6], гл.XVII, §4; [11], гл.XII, §1; [15], гл.IX, §7; [22], §9.8.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x (−2 ≤ x ≤ 2) . Сделаем чертеж.

- 6

- 4

- 2

Разложим функцию в ряд Фурье

f (x)=	a	0	∞	π n x		π n x
			+ ∑ an cos	l	+ bn sin	l	.
	2
			n=1

Так как данная функция четная, то она разлагается в ряд Фурье только по косинусам, т.е. bn = 0 . Далее находим:

		2 l		2	2	x2	2

a0	=		∫ f (x)dx =		∫ xdx =			= 2,
		l		2		2
			0		0		0

2 l

πnx

an =

∫ f (x)cos

= ∫ x cos

dx =

sin

cos

πn

π 2n2

n = 2k

((−1)n −1) =

, n = 2k −1

π 2n2

−

(2k

−

(2k −1)πx

(x) =

=1−

∞

cos

∑

n=1

(2k −1)

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

331 – 340. Методом Фурье найти решение u = u (x;t) уравнения колебаний

однородной		струны				∂u		= a2 ∂2u					, если она закреплена на концах
						∂t 2
u(0,t)=u (l,t)= 0												∂x2
				и в начальный момент времени оттянута вверх в точке x = c
(0 < c <l) на величину h , а затем отпущена без начальной скорости.
331.	c =	l	,		h =			l				.
		4					100

332.	c =	l	,		h =			l	.
		3					50

333.	c =	l	,		h =			3l				.
		2					100

334.	c =	2l		,	h =			l		.
		3					25

335.	c =	3l		,	h =			l			.
		4
							20
336.	c =	l	,		h =			l				.
		5					100

337.	c =	2l		,	h =			l	.
		5					50

338.	c =	3l		,	h =			3l				.
		5					100

339.	c =	4l		,	h =	l	.
		5				25

340.	c =	l	,		h =	l		.
		6
						20

Литература к задачам 331–340: [4], т.2, гл.XVIII, §1-3; [23], §3.

Пример.

Задача заключается в том, что нужно решить дифференциальное

уравнение в	частных		производных	∂u	= a2 ∂2u , решение	которого
				∂t	∂x2
удовлетворяет	граничным условиям			u(0,t)= u(l,t)= 0 и		начальным
условиям:
	h x, 0 ≤ x ≤ c				ϕ(x)= ∂u(x;0)= 0
f (x)=u (x;0)= c					∂t
		h	(x − l), c ≤ x ≤l
			(x − l), c ≤ x ≤l
	c −l

Первое начальное условие определяет форму струны в начальный момент времени, а второе условие – тот факт, что она отпущена без начальной скорости.

Изобразим струну в начальный момент времени. u

	A
	h		B
	x=c		B
0	x=c	l	x
0		l	x

Решение u =u (x;t) данной задачи ищем по методу Фурье:

	∞	∞		nπat		nπat		nπx
u (x;t)= ∑un (x;t)=		∑ an cos			+ bn sin		sin
u (x;t)= ∑un (x;t)=		∑ an cos		l	+ bn sin	l	sin	l ,
	n=1	n=1		l		l		l ,
коэффициенты которого an			и bn находятся по формулам:
an = 2 l	f (x)sin nπx dx ,
l ∫	l
0

b =	2	l	ϕ(x)sin	nπx	dx .

n	nπ a ∫			l
	0

Подставляя исходные данные задачи, студент должен определить коэффициенты an и bn и записать решение u (x;t) в виде ряда.

341 – 350. Найти закон распределения температуры в стержне длиной l , если на левом конце температура α , а на правом – β и начальное распределение температуры u (x;0)=α .

341.α =15o β = −20o .

342.α =15o β = −20o .

343. α = 20o	β = −15o .
344. α = 20o	β = −15o .
345. α = 25o	β = −10o .
346. α = 25o	β = −10o .
347. α = 30o	β = −5o .
348. α = 30o	β = −5o .
349. α = 35o	β = −25o .
350. α = 35o	β = −25o .

Литература к задачам 341–350: [4], т.2, гл.XVIII, §4-6; [23], §4.

Пример. Для нахождения закона распределения температуры внутри

стержня требуется решить уравнение теплопроводности	∂u	= a2 ∂2u	при
	∂t	∂x2

граничных условиях u (0;t)=α , u (l;t)= β и начальном условии u (x;0)=α .

Чтобы свести задачу к нулевым граничным условиям, сделаем замену переменной

v(x;t)= u (x;t)−		α	+	β −α	x
v(x;t)= u (x;t)−		α	+		x
				l
				l	.
Тогда для функции v(x;t) получим однородные граничные условия
v(0;t)= u (0;t)−α =α −α = 0 ,
v(l;t)= u (l;t)− α + β −α		l	= β − (α + β −α)= 0
	l
	l				,
					,

иначальное уравнение

v(x;0)= u (x;0)− α + β −l α x =α − α + β −l α x = (α −l β)x .

Уравнение, которому должна удовлетворять функция v(x;t) имеет

вид

∂v = a2 ∂2v ∂t ∂x2 .

Проделав все преобразования метода Фурье, найдем функцию v(x;t)

в виде суммы ряда

∞	n π a		2
	−		t

v (x;t)= ∑an e		l

n=1

sin nπ x , l

где коэффициенты ряда определяются по формулам:

an =	2 l (α	− β)		x sin	nπx			dx
	l ∫	l				l
									.
	0
Выполняя обратную замену переменной, получим искомое
распределение температуры внутри стержня							πa 2
	β −α			∞	n				t
					−

u (x;t)=α +		x + ∑ane					l		sin	nπx	.
	l
			n=1							l

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

351.В студенческой группе учится 24 человека: 18 парней и 6 девушек. На профсоюзную конференцию выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятности того, что:

а) среди делегатов будет 3 парня и 2 девушки. б) среди делегатов будет хотя бы одна девушка.

352.В урне находится 3 красных, 2 черных и 4 синих шара. Наугад выбирают 3 шара. Найти вероятность того, что:

а) все шары одного цвета; б) все шары разного цвета, но среди них нет черных.

353.В отделе работают 5 мужчин и 4 женщины. Профсоюз выделил 3 путевки, которые разыгрываются жеребьевкой. Найти вероятности того, что:

а) все путевки получат женщины; б) путевку получит хотя бы один мужчина.

354.Среди 12 деталей 5 изготовлены первым заводом, 4 – вторым и 3 – третьим заводом. Найти вероятности того, что:

а) среди взятых наугад пяти деталей 2 детали изготовлены первым, 2 вторым и 1 третьим заводами;

б) среди пяти деталей не меньше 4 деталей первого завода.

355.В студенческой группе учится 20 человек: 11 парней и 9 девушек. Для прохождения практики на предприятии набирают группу из 5 человек. Найти вероятности того, что:

а) среди делегатов будет 2 парня и 3 девушки. б) среди делегатов будет хотя бы две девушки.

356.В коробке лежат конфеты: 10 шоколадных и 12 карамелек. Наугад выбирают 5 конфет. Найти вероятности того, что среди этих пяти конфет будет:

а) 3 шоколадных конфеты; б) хотя бы одна карамелька.

357.В партии из 30 деталей 2 детали дефектные, 28 деталей стандартные. Наугад берут три детали. Чему равны вероятности событий в следующих случаях:

а) все три детали без дефектов; б) хотя бы одна деталь без дефектов.

358.На полке стоит 6 учебников: 2 по физике, 3 по математике, 1 по астрономии. Наугад берут две книги. Найти вероятность того, что:

а) среди них будут только книги по математике; б) среди них будут книги по двум разным предметам.

359.В урне находится 2 красных, 4 черных и 3 синих шара. Наугад выбирают 3 шара. Найти вероятность того, что:

а) все шары разного цвета; б) среди шаров есть один красный.

360.Среди 10 деталей 4 изготовлены заводом А, 4 – заводом В и 2 – заводом С. Найти вероятности:

а) среди взятых наугад пяти деталей 2 детали изготовлены заводом А, 1 - заводом В и 2 заводом С;

б) среди пяти деталей 3 детали изготовлены заводом С.

Пример. В урне находится 5 красных и 7 черных шаров. Наугад выбирают 4 шара. Найти вероятность:

а) все шары черные; б) среди выбранных шаров хотя бы 3 красных.

Воспользуемся классическим определением вероятности:

P = mn ,

где n - общее число всех возможных исходов; m - число благоприятных

исходов.

а) Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 4 шара из 12 имеющихся, причем

порядок извлечения не важен, поэтому n = C124 .

Если все шары черные, то надо выбрать 4 шара из семи черных, то есть число благоприятных исходов будет m = C74 . Тогда вероятность

C 4

P =

;

C124

Число сочетаний находится по формуле:

Cnk

k!(n − k)!

Тогда C74

1 2 3 4 5 6 7

= 35;

(1 2 3 4) (1 2 3)

4! 3!

C 4

12!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

= 495 .

4! 8!

(1 2 3 4) (1 2 3 4 5 6 7 8)

P = 49535 = 997 .

б) Если среди шаров должно быть хотя бы три красных, это значит, что может быть три или четыре шара красного цвета среди выбранных. Эти события несовместны, значит, искомая вероятность равна сумме вероятностей:

P = P{3 шара красных}+ P{4 шара красных}.

Сначала найдем вероятность того, что среди выбранных шаров будет 3 красных. Снова пользуемся классическим определением вероятности:

общее число возможных элементарных исходов n =C124 = 412! 8!! = 495, число

благоприятных

исходов

будет

m = C53 C71 =

= 70(выбираем 3

3! 2! 1! 6!

красных шара

из 5

имеющихся

и 1 черный

из

7), таким образом

P{3 шара красных}=

495

Теперь найдем вероятность того, что среди выбранных шаров будет 4 красных шара. Снова пользуемся классическим определением

вероятности:

общее

число

возможных элементарных

исходов

n = C 4

12!

= 495 ,

число

благоприятных

исходов

будет

4! 8!

m = C54

= 5, таким образом P{4 шара красных}=

4! 1!

495

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.02.2016250.88 Кб6Практические работы ПГС дист.курс 1.doc
#
18.11.201911.33 Mб59Практические (ВСТИ).doc
#
21.02.20161.24 Mб28Практические занятия по ЭС.doc
#
21.11.20191.78 Mб34Практические СМ механика.doc
#
18.08.201943.77 Кб6Предсказания погоды.docx
#
21.02.2016855.41 Кб18Прикл. матем.pdf
#
21.02.20162.9 Mб14ПРИЛОЖЕНИЕ к ДБН рус (1).doc
#
21.02.201659.11 Кб105пример 4 практической.docx
#
21.02.2016709.12 Кб27пример бизнес проекта.doc
#
27.11.2019159.74 Кб4Пример Деловой игры.doc
#
21.02.2016381.88 Кб25Пример к.р. ООП.pdf