Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикл. матем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

855.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

															31
cosϕ =	A1 A2	A1 A4			, где A A A A = x x					2	+ y y	2	+ z z	2	- скалярное
cosϕ =					, где A A A A = x x						+ y y		+ z z		- скалярное
	A1 A2		A1 A4	1		2	1	4	1		1		1
	A1 A2		A1 A4

произведение векторов, записанное в координатной форме. Координаты вектора A1 A4 равны:

A1 A4 = {2;2;−3}, A1 A4 = 4 + 4 +9 = 17 .

Тогда	cosϕ =	−1 2 +3 2 + (−3) (−3)≈ 0,72 ; ϕ ≈ 48,5o.
		19 17
3) Уравнение		плоскости, проходящей через три заданные точки
A1 (x1, y1, z1 ),	A2 (x2 , y2 , z2 ), A3 (x3 , y3 , z3 ), имеет вид:

x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − y1

z − z1

z2 − z1 = 0 . z3 − z1

Подставляя значения координат, вычисляем определитель:

x − 3 y − 2 z − 4

x −3 y − 2 z − 4

= −15x − 4y + z + 49.

2 −3 5 − 2

1 − 4

−1

−3

3 − 3 1 − 2 0 − 4

−1

− 4

Итак, искомое уравнение плоскости имеет вид

−15x − 4y + z + 49 = 0

или

15x + 4y − z − 49 = 0 .

A1 (x1, y1, z1 ) и

4) Уравнения

прямой,

проходящей

через точки

A4 (x2 , y2 , z2 ), имеет вид

x − x1

y − y1

z − z1

− y

− x

− z

Таким образом, получаем искомые уравнения:

x −3

y − 2

z − 4

−3

5) Если даны плоскость

Ax + By + Cz + D = 0

с нормальным

вектором n ={A, B,C} и прямая

x − x0

y − y0

z − z0

с направляющим

вектором a ={m,l, p}, то угол между прямой и плоскостью определяется

по формуле	Am + Bl + Cp

sinϕ = ±	A2 + B2 + C 2 m2 + l 2 + p2 .
Так как n ={15;4;−1}, а a = {2;2;−3}, то
sinϕ = 30 + 8 + 3 ≈ 0,64 , ϕ ≈ 44,2o.
	17 242

6) Площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

A A × A A

A 1A 2 A 3

, где

A A

× A A =

1 2

1 3

1 2

1 3

произведение векторов. A1 A2

и A1 A3 .

Так как

A1 A2 × A1 A3 =

= −15i − 4 j + k ,

−1 3 −3

−1

− 4

то

S A 1A 2 A 3

(−15)2 + (− 4)2 +12

≈ 7,8 (кв. ед.).

7) Объем пирамиды, построенной на трех векторах,

шестой модуля смешанного произведения этих векторов:

V = 1

A A × A A A A

Следовательно,

V =

−1

−3

−1

− 4

−3 − 24 −8 −6

≈ 6,8 (куб. ед.)

−3

- векторное

равен одной

8) Так как в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку D перпендикулярно плоскости ABC, можно выбрать вектор нормали n к плоскости, то канонические уравнения искомой прямой запишется в виде

x −5 = y − 4 = z −1. 15 4 1

21.Составить уравнение и построить кривую, расстояния каждой точки которой от точки A(-3;0) и от точки B(9;0) относятся как 1:3.

22.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку С (1;-2;2) перпендикулярно двум плоскостям -x+2y+z=0 и x+y=0. Построить найденную плоскость.

23.Дан треугольник ABC, вершины которого соответственно имеют координаты A(2;8), B(-2;1), C(2;-2). Найти длину биссектрисы угла C. 24.Написать уравнение кривой, каждая точка которой вдвое ближе к точке A(2;0), чем к точке B(4;0). Сделать чертеж.

25.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

M1(-4;0;2) перпендикулярно прямым:

x +1

y +1

x − 2

y − 3

z − 5

26.Найти точку пересечения прямой

x −1

y + 2

z +1

и плоскости 2x-3y-

5z=3

− 5

27.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки A(2;0) и прямой x=6.

x = t + 3

28.Найти расстояние от точки A(2;-1;1) до прямой y = −2t − 4 .

z = 3t +1

29.Составить уравнение диаметра окружности x2 + y2 + 4x − 6y −17 = 0

перпендикулярного к прямой 2x-y+4=0.

30.Составить уравнение и построить кривую, расстояние каждой точки которой до точки A(3;0) втрое больше расстояния ее до прямой x+9=0.

Литература к задачам 21-30: [1], гл.6, §1-3; [2], §24-40; [3], т.1, гл.I, §3,4; [6], гл. II, §3; [9], с.73-99; [21], гл.2, §5; [25], гл.3, §3.1-3.8.

Пример.1. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(0;2) и от прямой y+2=0 относятся как 3 :1.

Выберем на искомой кривой произвольную точку М(x;y). Очевидно,

AM = (x −0)2 + (y − 2)2 = x2 + (y − 2)2 ,

а расстояние от точки М(x;y) до заданной прямой y=-2 равно

BM = (x − x)2 + (y + 2)2 = y + 2 ,

Формула имеет такой вид вследствие того, что расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую, а поскольку в условии задана прямая, параллельная оси Ox, то перпендикуляр к ней будет параллелен оси Oy, а, следовательно, абсциссы заданной точки и основания перпендикуляра совпадают.

Далее, по условию, AM = 3BM , следовательно, x2 + (y − 2)2 = 3 y + 2 .

Возводя обе части равенства в квадрат, получаем x2 + (y − 2)2 = 3 (y + 2)2 ,

x2 + y2 − 4y + 4 =3y2 +12y +12, x2 − 2y2 −16y −8 = 0 ,

x2 − 2(y2 +8y +16)+ 24 = 0,

x2 − 2(y + 4)2 = −24 ,

− (y + 4)2

= −1,

(y + 4)2

− (2 3)2 = −1.

(2 6)2

Таким образом, получили каноническое уравнение гиперболы с

центром

симметрии в

точке

(0;−4) и директрисами

y = −4 ±

x .

(Напомним,

что

из

уравнения гиперболы

(x − x0 )2

− (y − y0 )2

= −1

следуют

уравнения директрис

y − y0 = ±

(x − x0 ), а величины

и b

определяют стороны основного прямоугольника гиперболы).

		A(0;2)

		a	x
	b		x
	b
y+2=0			B

(0;-4)

Пример.2. Из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Основаниями перпендикуляров, опущенных из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости, служат точки P1(2;3;0), P2(2;0;-5) и P3(0;3;-5). требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Чтобы найти нормальный вектор плоскости, рассмотрим два вектора P1P2 ={0;−3;−5} и P1P3 ={− 2;0;−5}. Они лежат в искомой плоскости, значит, n P1P2 и n P1P3 . Следовательно,

							35
n = P1P2 × P1P3 =		i	j	k	=15i +10 j − 6k ,
		i	j	k
		0 − 3 − 5
		− 2	0	− 5
Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1)
перпендикулярно	вектору			n ={A, B,C},		имеет	вид
A(x − x1 ) + B( y − y1 ) + C(z − z1) = 0:
	15(x − 2) +10( y − 3) − 6z = 0;
	15x +10y − 6z − 60 = 0 .
в)Составить канонические уравнения прямой
	x + 2y		+ 3z − 4 = 0
			− 4z +1 = 0
	2x + y		− 4z +1 = 0

Чтобы найти какую – либо точку, принадлежащую прямой, зафиксируем одну переменную, например z, положив z = 0, и решим полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными

x + 2y = 4								x = −2

2x + y = −1								y = 3
Таким образом, одна из точек, принадлежащих прямой, имеет
координаты M (−2;3;0) .
Теперь найдем направляющий вектор прямой. Так как n1 ={1,2,3} и
n2 ={2;1;−4}, то
Sr = n1 × n2 =		i	j	k	= −11i +10 j − 3k .
		i	j	k
		1 2 3
		2	1	− 4
Канонические уравнения прямой запишутся в виде:
	x + 2		=	y −3		=	z	.
	−11		=			=		.
	−11			10			− 3

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

31-40. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.

x			+ 2x			2	+ x		4	= 2			x + x			2	+			3x	3	+ x			4	=		10
	1													1
x1 + 4x2 + 2x3 + x4 = 6													x2 + 3x3 − 4x4 = 6
31.	x		+ x			+ x			= 3				32.	4x	− 2x					+ 3x				− x				=		13
		2			3			4											2				3				4
														1
4x				+ x		2	+ 3x			+ x	4	=11	− x		+ x			2		+ 2x				− 7x				4	=1
		1								3				1								3

5x			+		4x					2		+ x					3		+ 2x						4	= 7
	1									2							3								4
x1 + x3 + x4 = 4
33.	2x		−		3x							− 2x							− x							= 2
	2x		−		3x					2		− 2x							− x						4	= 2
	1									2									3						4
− x				− x				2				+ x			3			+ x			4			= 3
		1						2							3						4
− 2x1 + x2 − x3 − 2x4 = 0
		+ 2x3									− x4 = −1
x2		+ 2x3									− x4 = −1
35.	x	−		2x							+ 4x								+ 3x							= −4
	x	−		2x			2				+ 4x						3		+ 3x						4	= −4
	1						2										3								4
2x			− x				2				− x							+ x		4		= 0
	1						2							3						4
x		−		3x			2				+ x			3			+ 2x					4			=1
	1						2							3								4
− 4x1 + x2 −3x4 = 0
37.	− 2x				+ 5x									−				6x				+ x						= 4
	− 2x				+ 5x								2	−				6x				+ x					4	= 4
			1										2						3								4
		− 4x3									+ 2x4 = 3
x2		− 4x3									+ 2x4 = 3
2x			+ x			2			+ 4x							3		+ x			4				= 7
	1					2										3					4
− x1 + x2 + 4x3 − 2x4 = −5
39.
2x2 + 3x3 −5x4 = 0
3x		− 2x						2				− x			3			+ 2x					4			= 4
	1							2							3								4

34.

36.

38.

40.

x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = −44x1 − 6x2 − 7x3 − 3x4 = −16x1 + x3 + x4 = 5

− x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 2

x1 + x2 − 3x3 + x4 = −2− 2x1 + 4x2 + 4x3 − x4 = 4x2 − 2x3 + x4 = −5

x1 − 3x2 + x3 − 2x4 = 6

x1 + 2x2 − 4x3 + x4 =162x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 4− 2x1 + 3x3 − x4 = −3x2 − 4x3 + 2x4 = 0

x1 + 3x2 + x3 − 2x4 = −4x1 + 5x3 −3x4 = −9

− 2x1 + 3x2 − x3 + 6x4 = 21− x2 + 3x3 − x4 = −3

Литература к задачам 31-40: [3], т.1, гл.I, §5; [5], т.I, р.I, гл.II, §2,6; [6], гл.IV, §2; [8], гл.2, §4; [9], с.124-139; [12], §1.9,1.10; [21], гл.3, §3; [22], §1.3; [25], гл.2, §2.3.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

− 2x1 + x2 − x3 + 4x4 = 2x1 − 4x2 + 3x3 − x4 = −32x1 + x2 + 7x3 + 5x4 =14

3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = −5

Перепишем систему в следующем виде:

x1 − 4x2 + 3x3 − x4 = −3− 2x1 + x2 − x3 + 4x4 = 22x1 + x2 + 7x3 + 5x4 =14

3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = −5

Теперь будем приводить систему к треугольному виду, последовательно исключая неизвестные. Начнем с исключения, x1 во втором, третьем и четвертом уравнениях.

Для этого, мы должны каждый элемент первой строки умножить на 2 и сложить соответственно с каждым элементом второй. Далее, чтобы исключить x1 из третьей строки, мы первую строку умножим на (-2) и

сложим с третьей и т.д. Получаем:
x		− 4x	2		+ 3x	− x	4		= −3
	1		2		3		4
		− 7x2 + 5x3 + 2x4 = −4
		9x2			+ x3 + 7x4 = 20
		9x2			+ x3 + 7x4 = 20
		10x		2	−8x	+ x		4	= 4
				2	3			4

Теперь, оставляя в неизменном виде первое и второе уравнения, исключаем переменную x2 во втором и в третьем уравнениях системы. Для этого мы должны второе уравнение системы умножить на 9/7 и сложить, соответственно, с каждым элементом третьей строки и т.д. Получаем следующую систему:

x		− 4x	2	+ 3x	3	− x	4	= − 3
	1		2		3		4
		− 7x2 + 5x3 + 2x4 = − 4
				52		67		104
				7 x3 + 7 x4 =					7
				7 x3 + 7 x4 =					7
			− 6 x3			+ 27 x4 = −			12
			− 6 x3			+ 27 x4 = −			12
				7		7			7
Теперь, оставляя в	неизменном					виде		первое, второе и третье

уравнения системы, исключим переменную x3 в четвертом уравнении системы. Для этого мы должны третье уравнение системы умножить на 6/52 и сложить, соответственно, с каждым элементом четвертой строки. Получаем следующую систему:

x		− 4x	2	+ 3x	3	− x	4	= − 3
	1		2		3		4
		− 7x2 + 5x3 + 2x4 = − 4
				52		67			104
				7 x3 + 7 x4 =					7
				7 x3 + 7 x4 =					7
						201 x4 = 0
						201 x4 = 0
						182
Из последнего уравнения сразу видно, что значение x4 =0.
Подставляя его в третье уравнение, получаем 52 x =										104	, отсюда x3 =2.
								7	3	7

Подставляя x3 =2, и x4 =0 во второе уравнение системы получаем, что x2 =2. И, наконец, подставляя все полученные значения в первое уравнение системы, получаем x1 =-1.Таким образом, система имеет единственное решение x1 =-1, x2 =2, x3 =2, x4 =0.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

41-50. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

41. а) lim	1+ 4x + x2					1	+ 2x − 1	− x
			;	б)	lim				;
	3x2	+ 2					2x
x→∞					x→0

в)

42.а)

в)

43.а)

в)

44.а)

в)

45.а)

в)

46.а)

в)

47.а)

lim

cos4 x −cos

2 x

;

3x2

x→0

lim

6x4 + 2x3 +8x

;

12 + 7x4

x→∞

lim

2 − 2cos x

;

x→0

3x2

lim

1+ 4x

;

x→∞

2x −5

lim

arcsin 2x

;

tg3x

x→0

lim

3x3 +5

;

2 + x + x3

x→∞

lim

;

x→0 arctg4x

lim

4 + x + x

;

16x2 +11

x→∞

lim

1−cos6x

;

x→0

sin2 4x

lim

2 +5x + 7x2

;

3 +5x + 2x2

x→∞

lim

x3ctg5x

;

x→0 tg 2 (x 5)

lim

4x +11

;

1+8x

x→∞

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

	1+ x		2x
lim		.

x→∞ x −3

lim	2 −	4	− x2	;
		3x2
x→0

lim (x + 2)[ln(x + 4)−ln(x −1)].

x→∞

lim	9 − x −3	;
x→0	3x

lim (x −1)[ln(3x −5)−ln(3x + 2)].

x→∞

lim	3	− 25	− x2
		x −	4		;
x→4				x
		2x +5
				2	.
lim

x→∞ 2x +8
lim		x + 2x	2		;
		1+ 4x
x→0			−1

lim (1+3x)4x . x→0

lim	1+ 4x − 1+ 2x ;
x→0	x2 + 4x
		2x
lim (5 − 2x)x−2 .
x→2
lim	x −3 x ;

x→9 x2 −9x

	x(1−cos 2x)			4x
в) lim		;	г) lim (3x − 2)	x2−1	.

x→0 tg6x sin2 3x			x→1

48.а)

в)

49.а)

в)

50.а)

в)

		2 +11x +		9x3
lim							;
lim				+8			;
x→∞ x3 +3x2				+8
lim	tg 2 (x 4)		;
lim	1−cos x		;
x→0	1−cos x
lim		x2 +5			;
lim	1+ x + 2x2				;
x→∞	1+ x + 2x2
lim	arcsin 4x		;
lim		tg2x	;
x→0		tg2x
		2 + 4x2 + x6
lim						;
lim				+3		;
x→∞ x6 + 5x5				+3

lim ctg 2 2x sin 2 5x ; x→0

б)	lim		x2				;
	x→0 4 −		16 + x2
				2x+1
г)	lim (x −3) 4−x .
	x→4
б)	lim	3 −	4 + x				;
	x→5	2x −10
						3−x2
			5x				x
г)	lim	1+					.
г)	lim	1+					.
	x→0		3
б)	lim	1−	2 − x2
б)	lim	x2 −1					;
	x→1	x2 −1
					x+5
г)	lim (7 − 2x)2x−6 .
	x→3

Литература к задачам 41-50: [3], т.1, гл.IV, §4,5; [4], т.1, гл.II, §1-7,11; [5], т.I, р.II, гл.III, §10-14; [6], гл.III, §2,3; [9], с.300-343; [11], гл.II, §1,3; [15], гл.I, §6-9; [21], гл.3, §4; [22], §3.4; [25], гл.4, §4.2-4.6.

Пример.

а) При x → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к ∞. Чтобы

раскрыть

неопределенность

∞

нужно

числитель

и знаменатель

∞

разделить на старшую степень х.

3 +

3x4 + x2 + 2

lim

= lim

=3.

2 + x + x4

x→∞

б) Имеем

неопределенность

вида

Чтобы

избавиться от

иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов (a − b)(a + b)= a2 − b2 .

lim	x	2	= lim		x2 ( 1	− x2 + 1 − 2x2 )		=
	1 − x2 −	1 − 2x2		(	1 − x2 − 1 −	2x2 ) ( 1 − x2 +	1 − 2x2 )
x→0			x→0

= lim

x2 ( 1 − x2

+ 1 − 2x2 )

= lim

x2 ( 1

− x2 +

1 − 2x2 )

1 − x2 −1 + 2x2

x→0

= lim(

1 − x2 +

1 − 2x2 )=1 +1 = 2.

x→0

Аналогичным образом можно решить примеры, у которых

иррациональность в числителе.

в) lim

(1−cos 4x).

x→0

sin2 3x

Так

как

1−cos 2α = 2sin2 α,

то воспользовавшись

формулами

эквивалентности sin α ~ α при α → 0 , получим

lim

(1 − cos4x)

2sin2 2x

= lim

2 (2x)2

sin2

= lim

(3x)2

9x2

x→0

2 x

г) lim(3x − 5)x2 −4 .

x→2

Имеем неопределенность (1∞ ). Сведем наш предел ко второму

замечательному пределу lim(1+t)1t = e , который может быть записан в

t→0

обобщенном виде: lim (1+α(x))1 α (x ) = e .

α(x)→0

Предварительно преобразуем данное выражение, чтобы в скобке к единице прибавлялась бесконечно малая величина:

2 x

6 x

lim(3x −5)

x2 −4

= lim(1+ (3x −6))

(x−2)(x+2)

(3x−6)(x+2)

x→2

limx→2

x+2

(3x

− 6))3x−6

+ (3x − 6))3x−6

lim

= e3 .

lim

x→2

51-60. Задана функция y = f

существуют. Сделать чертеж.

	x − 2,	x ≤ −1;
51.	f (x)= x2 +1,	−1 < x < 2;
		x ≥ 2.
	2x +1,	x ≥ 2.
	3x − 4,	x <1;
53.	f (x)= x +3,	1 ≤ x < 6;
	x −3,	x ≥ 6.

(x). Найти точки разрыва функции, если они

		x,	x < 0;
52.	f (x)=	sin x,		0 ≤ x <π;

				x ≥π.
		2x − 4,		x ≥π.
		2x +3,		x ≤ −2;
54.	f (x)= −(x +3)2 , − 2 < x ≤ 0;
			x > 0.
		x,	x > 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.02.2016250.88 Кб6Практические работы ПГС дист.курс 1.doc
#
18.11.201911.33 Mб59Практические (ВСТИ).doc
#
21.02.20161.24 Mб28Практические занятия по ЭС.doc
#
21.11.20191.78 Mб34Практические СМ механика.doc
#
18.08.201943.77 Кб6Предсказания погоды.docx
#
21.02.2016855.41 Кб18Прикл. матем.pdf
#
21.02.20162.9 Mб14ПРИЛОЖЕНИЕ к ДБН рус (1).doc
#
21.02.201659.11 Кб105пример 4 практической.docx
#
21.02.2016709.12 Кб27пример бизнес проекта.doc
#
27.11.2019159.74 Кб4Пример Деловой игры.doc
#
21.02.2016381.88 Кб25Пример к.р. ООП.pdf