381

2.7“Суміщення” площин, заданих слідами, за допомогою обертання навколо власного сліду

Сліди площин належать площинам проекцій, тому що є нульовими лініями рівнів, і вони вже суміщені з площинами проекцій. Залишається побудувати другу лінію, суміщену з площиною проекцій, яка перетинала б слід і мала натуральну величину. Проеціююча площина проводиться під кутом 900 до сліду тієї площини проекції, до якої вона сама перпендикулярна. Ознакою суміщення площин є той факт, що площину в суміщеному положенні створюють дві пересічні натуральні прямі – два пересічні сліди f01 та h0 (рис. 2.10).

Для площин, що задаються слідами, є цікавими два випадки розміщення проеціюючої площини Ф1, за допомогою якої будують натуральну величину лінії перетину вихідної площини з проеціюючою:

1. Проеціююча площина Ф1 перетинає обидва сліди вихідної площини h0 і f0, створюючи проекцію точки А2 на сліді f0 (рис. 2.10 а).

2. Проеціююча площина Ф1 перетинає один слід h0, а проекція точки А2 не належить фронтальному сліду (рис. 2.10 б).

Упершому випадку лінія перетину вихідної площини h0 ∩ f0 з проеціюю-

чою площиною Ф1 є лінія 1А (11А1, 12А2) або К1 і К2. За вісь обертання при суміщенні вибирають слід h0. Згідно правила прямокутного трикутника будують

натуральну величину лінії перетину площин. При цьому перша точка відрізка

повинна мати початок у точці 11, що належить горизонтальному сліду h0, а друга точка А0 – розташована на катеті А1А0 = А1А2.

Далі проводять дугу окружності радіусом 11А0 до перетину з горизонтальним слідом і з'єднують точку А0, що розташована на сліді площини Ф1, з точкою Х – сходу слідів площин. Пряма А0Х і є друга шукана пряма площини і тотожна фронтальному сліду f0. Крім того, пряма А011, що співпадає зі слідом Ф1, теж є прямою, яка має натуральну величину і належить суміщеній площині, але вона не тотожна фронтальному сліду.

Удругому випадку лінія перетину вихідної площини h0 ∩ f0 з проеціюю-

чою площиною Ф1 є лінія ОА (О1А1, О2А2) або К1 і К2. За вісь обертання при суміщенні також вибирають слід h0. Проекції точок А1 і А2 будують за допомогою побудови горизонталі h (h2, h1). Проекцію А2 визначають довільно на площині П2, а проекцію А1 – за проекційної відповідністю та належністю горизонталі. Згідно правила прямокутного трикутника будують натуральну величину лінії перетину площин. При цьому перша точка відрізка повинна мати початок

уточці О1, що належить горизонтальному сліду h0, а друга точка – А0 – розташовуюється на катеті АХА0 = А1А2. Далі проводять дугу радіусом О1А0 до перетину з горизонтальним слідом Ф1. Пряма А0О1 на горизонтальному сліді Ф1 є натуральною і належною площині П1. Слід h0 є також натуральним і належним П1. Сліди h0 і пряма А0О1 перетинаються у точці О1 і, таким чином, утворюють суміщену площину з площиною проекції П1.

82

2.8 Спосіб плоскопаралельного переміщення відрізків і площин

Цей спосіб застосовують тоді, коли необхідно уникнути накладення вихідних проекцій фігури і нового суміщеного положення.

Применяють цей спосіб для зміни положення фігур, щоб фігура відносно площин проекцій займала б окреме положення, для побудови натуральної величини фігури або її проеціюючого положення.

Суть способу полягає в тому, що одну проекцію повертають і переносять одночасно в будь-яке місце поля креслення, а другу проекцію будують у суворій проекційній відповідності за допомогою ліній зв'язку від відповідних точок

(рис. 2.11).

2.8.1Плоскопаралельне переміщення відрізка прямої загального положення спочатку в лінію рівня, а потім у проеціюючу пряму (рис. 2.11 а)

Це переміщення здійснюють у два етапи.

Перший етап: на площині проекцій П2 проводять горизонтальні лінії зв'язку, паралельні осі ОХ від А2 і В2; на площині П1 відрізок А1В1 переносять з поворотом у будь-яке місце, але обов'язково паралельно осі ОХ і одержують відрізок А11 і В11 ≡ f1 – горизонтальну проекцію фронтальної лінії рівня; на перетину ліній зв'язку від проекцій А11 і В11 з лініями зв'язку на площині П2 одержують проекції А21 ≡ А0 та В21 ≡ В0. Після з'єднання А21 з В21 одержують пряму А21В21 ≡ f2 ≡ НВ – фронтальну лінію рівня та кут α ≡ НВ нахилу відрізка АВ до площини П1.

Другий етап: на площині П1 продовжують лінію зв'язку від відрізка А11В11 ║ ОХ; на площині П2 відрізок А21В21 переносять з поворотом у будь-яке нове місце, але обов'язково в положення А211 В211 осі ОХ; на перетину лінії зв'язку на площині П1 одержують точки А111≡В111≡НВ. Проеціююча пряма побудована.

2.8.2 Плоскопаралельне переміщення площини загального положення спочатку в проеціюючу, а потім у площину рівня (рис. 2.11 б)

Це переміщення також здійснюють у два етапи.

Перший етап: у трикутнику АВС будують горизонталь h (h2, h1) ≡ А1; А1В1С1 переносять побудовою або за допомогою кальки з поворотом у будь-яке нове місце, але обов'язково в положення А11В11С11, у якому h1≡ А11111 осі ОХ; на площині П2 на перетину ліній зв'язку будують у вигляді лінії проеціюючу площину В21А21С21 та кут нахилу її до П1 α ≡ НВ.

Другий етап: на П2 площину В21А21С21 переносять з поворотом у будь-яке нове місце, але обов'язково в положення А211 В211 С211║ОХ; на П1 на перетину ліній зв'язку будують трикутник А111В111С111 ≡ НВ.

84

2.9 Спосіб заміни площин проекцій, заданих слідами

Цей спосіб має таку ж суть, що і спосіб перетворення площин заданих не слідами, а проекціями геометричних елементів і виконується за такими ж пра-

вилами (див. § 2.1.1 та рис. 2.12).

Увипадку рис. 2.12 а площина h10 ∩ f20 займає вихідне положення. “Нову” площину і її вісь х14 будують перпендикулярно до сліду h10. При їх перетині утвориться точка Х1 – сходу слідів “нової” площини h10 ∩ f40. Для визначення другої точки 14 потрібно використати будь-яку горизонталь. На сліді f2 “старої” площини довільно вибирають точку 12. На осі Ох будують проекцію точки 11. Через точки 12 і 11 будують проекції горизонталі. На продовженні h1 у площину П4 відкладають відрізок 1114 = 1112. Після з'єднання Х1 з 14 завершується побудова сліду f40 і “нової” площини h10 ∩ f40.

Увипадку рис. 2.12 б площина h10 ∩ f20 також займає вихідне положення. “Нову” площину і її вісь х24 будують перпендикулярно до фронтального сліду f20. При їх перетині утвориться точка Х1 сходу слідів “нової” площини f20 ∩ f40. Для визначення другої точки 14 потрібно використати будь-яку фронталь. На сліді h1 “старої” площини довільно вибирають точку 11. На осі Ох будують проекцію точки 12. Через точки 12 і 11 будують проекції фронталі. На продовженні f2 у площині П4 відкладають відрізок 12114 = 1112. Після з'єднання Х1 з 14 завершується побудова сліду h40 і “нової” площини f20 ∩ h40.

Рисунок 2.12 – Заміна площин проекції, заданих слідами

86

Розділ ІІІ Метричні властивості пар елементів геометричних фігур

Під метричними властивостями пар елементів геометричних фігур розуміють такі, що оцінюються в мірах довжини та кутів (у мм, градусах) – це натуральні відстані, довжини елементів і кути між елементами. Така оцінка можлива тоді, коли елементи в парах займають проеціююче положення. Якщо елементи

займають загальне положення, то існуючими методами необхідно перетворити їх у проеціююче положення.

1. Відстань від точки А до прямої лінії АВ вимірюється відрізком перпен-

дикуляра n, опущеного з точки на пряму (рис. 3.1.1). Відстань від точки до прямої проеціюється без спотворення, якщо пряма перпендикулярна до площини проекцій, тобто якщо пряма проеціюється в точку.

2.Відстань від точки А до площини Ф вимірюється відрізком перпендикуляра n, опущеного з точки на площину (рис. 3.1.2). Відстань від точки до площини проеціюється без спотвореня, якщо площина перпендикулярна до площини проекцій, тобто якщо площина проеціюється в пряму лінію.

3.Відстань між прямою DE і площиною Ф (паралельними між собою) ви-

мірюється відрізком перпендикуляра n, опущеного на площину з будь-якої точки прямої (рис. 3.1.3). Відстань між взаємно паралельними прямою і площиною проеціюється без спотворення, якщо площина перпендикулярна до площини проекцій, тобто якщо площина проеціюється в пряму лінію. При цьому дана пряма може проеціюватися в точку або пряму лінію.

4.Відстань між двома взаємно паралельними площинами Ф и Ω вимі-

рюється відрізком перпендикуляра n, опущеного з будь-якої точки однієї площини на іншу (рис. 3.1.4). Відстань між двома взаємно паралельними площинами проеціюється без спотворення, якщо площини перпендикулярні до площини проекцій, тобто проеціюється в прямі лінії.

5.Відстань між двома паралельними або мимобіжними прямими АВ і СD вимірюється відрізком загального до них перпендикуляра n (рис. 3.1.5), де АВ – горизонтально-проеціююча пряма зображується неспотвореною проекцією

h1 горизонтальної лінії рівня, що проводиться з точки А1≡ В1 перпендикулярно до проекції відрізка С1 D1. Відстань між двома мимобіжними прямими проеціюється без спотворення, якщо одна з прямих перпендикулярна до площини проекцій.

6.Кут між мимобіжними прямими проеціюється без спотворення, якщо обидві прямі паралельні до однієї із площин проекцій (рис. 3.1.6).

7.Кут між площинами, що перетинаються, проеціюється без спотворення,

якщо лінія їх перетину займає проеціююче положення (рис. 3.1.7).

8.Відстань від точки до поверхні вимірюється відрізком перпендикуляра, проведеного із точки до поверхні.

9.Відстань між двома поверхнями вимірюється відрізком загального до них перпендикуляра, між утворюючою однієї поверхні та утворюючою іншої поверхні. Якщо поверхні лінійчаті, то ці утворюючі є паралельними або мимобіжними прямими. Тоді відстань між ними проеціюється без спотворення, якщо хоча

бодна з утворюючих перпендикулярна до площини проекцій.

90